08 立体几何——【冲刺2023】高考数学考试易错题（全国通用）（原卷版+解析版）

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易错点08 立体几何易错点1：平行和垂直的判定在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。立体几何中平行与垂直的易错点易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视三个条件中的某一个。易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；易错点2：异面直线所成的角1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。 2.求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。易错点3：直线与平面所成的角1.传统几何方法：①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）求。2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则易错点4：二面角用向量求二面角大小的基本步骤1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；2.求出平面的法向量，平面的法向量3.进行向量运算求出法向量的夹角；4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：1．已知是两条不同的直线，是平面，且，则（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．3．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面4．平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（       ）A． B． C． D．5．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（       ）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β1．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（       ）A． B．AB与平面所成的角为C． D．与平面所成的角为2．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（       ）A． B． C． D．3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）A． B． C． D．4．如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（       ）A． B． C． D．5．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（       ）A．23 B．24 C．26 D．27一、单选题1．已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ）A． B． C． D．2．设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（       ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则3．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（       ）A． B． C． D．4．在三棱柱中，D，E分别为､的中点，若，，则与所成角的余弦值为（       ）A． B． C． D．5．已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（       ）A． B． C． D．6．如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．7．四面体中，，则二面角的平面角的余弦值为（       ）A． B． C． D．8．如图，三棱锥中，平面平面ABC，，，．三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（       ）A． B． C． D．二、多选题9．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是　　A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则与所成的角和与所成的角相等10．在正四面体A－BCD中，，点O为的重心，过点O的截面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则 （       ）A．四边形EFGH的周长为8B．四边形EFGH的面积为2C．直线AB和平面EFGH的距离为D．直线AC与平面EFGH所成的角为三、解答题11．如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.(1)证明:；(2)若，求二面角的余弦值.12．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，平面平面，．(1)求证：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．