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2023年海南省琼海市中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年海南省琼海市中考数学一模试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，3的相反数的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（ ）
A．7.8×10﹣5B．7.8×10﹣6C．7.8×10﹣7D．78×10﹣5
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
5．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．116°B．124°C．144°D．126°
6．（3分）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1B．方差是3.5
C．中位数是0.5D．众数是﹣1
7．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1B．2C．D．2
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）
10．（3分）△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能确保ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．a2：b2：c2＝3：4：5
C．c2＝a2﹣b2D．∠A﹣∠B＝∠C
11．（3分）如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）
A．（3﹣）cmB．（3﹣2）cmC．（6﹣）cmD．（6﹣2）cm
12．（3分）如图，点E为▱ABCD对角线的交点，点B在y轴正半轴上，CD在x轴上，点M为AB的中点．双曲线（x＜0）过点E，M，连接EM．已知，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ax+ay＝ ．
14．（3分）八边形内角和度数为 ．
15．（3分）△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
19．（10分）青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的“王者荣耀”玩家进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查中共调查了 人；请补全上面的条形统计图；
（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是 度；
（3）据报道，目前我国12﹣35岁“王者荣耀”玩家的人数约为2000万人，请估计其中12﹣23岁的青少年人数为 万人．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ ．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
2023年海南省琼海市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，3的相反数的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【解答】解：3的相反数是﹣3，﹣3的倒数是，
∴3的相反数的倒数是，
故选：D．
2．（3分）一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（ ）
A．7.8×10﹣5B．7.8×10﹣6C．7.8×10﹣7D．78×10﹣5
【解答】解：0.0000078用科学记数法表示：a值为7.8，n为从原数的小数点向右数起到7这个数字一共有6位，则n＝﹣6，即0.0000078＝7.8×10﹣6．
故选：B．
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，底层是3个小正方形，上层左边是1个小正方形．
故选：A．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
【解答】解：不等式去分母得：2﹣2x+12≤3x+3，
移项合并得：5x≥11，
解得：x≥，
故选：D．
5．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．116°B．124°C．144°D．126°
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝180°﹣36°﹣90°＝54°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝126°．
故选：D．
6．（3分）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1B．方差是3.5
C．中位数是0.5D．众数是﹣1
【解答】解：将这组数据重新排列为﹣1、﹣1、2、4，
所以这组数据的平均数为＝1，中位数为＝0.5，众数为﹣1，
方差为×[2×（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（4﹣1）2]＝4.5，
故选：B．
7．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【解答】解：方程变形得：+＝1，
去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1B．2C．D．2
【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，
∵OA＝OA′，
∴△ABC是等边三角形，
∴AA′＝OA＝2OB＝2，
故选：B．
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8．
A、2×4＝8；B、﹣1×（﹣8）＝8；C、﹣2×（﹣4）＝8；D、4×（﹣2）＝﹣8．
故选：D．
10．（3分）△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能确保ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．a2：b2：c2＝3：4：5
C．c2＝a2﹣b2D．∠A﹣∠B＝∠C
【解答】解：A、∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝3∠A，∠C＝2∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+3∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝3∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2：b2：c2＝3：4：5，
∴设a2＝3k，b2＝4k，c2＝5k，
∵a2+b2＝7k，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵c2＝a2﹣b2，
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°
∴△ABC为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
11．（3分）如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）
A．（3﹣）cmB．（3﹣2）cmC．（6﹣）cmD．（6﹣2）cm
【解答】解：如图，过M点作ME⊥AD于E点，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AD＝CD＝6，∠C＝∠D＝90°，
∵裁剪的两个梯形全等，
∴AN＝MC，
∵ME⊥AD，
∴四边形MCDE是矩形，
∴MC＝ED，ME＝CD＝6，
∴AN＝ED，
根据题意有∠MNE＝60°，
∴在Rt△MNE中，NE＝＝＝2，
∴AN+ED＝AD﹣NE＝6﹣2，
∴AN＝3﹣，
即梯形中较短的底为（3﹣）（cm）．
故选：A．
12．（3分）如图，点E为▱ABCD对角线的交点，点B在y轴正半轴上，CD在x轴上，点M为AB的中点．双曲线（x＜0）过点E，M，连接EM．已知，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2
【解答】解：∵点E为▱ABCD对角线的交点，
∴AE＝EC，BE＝DE，
∴S平行四边形ABCD＝4S△AEB，
∵点M为AB的中点，，
∴S△AEB＝2S△AEM＝3，
∴S平行四边形ABCD＝12，
∴AB•OB＝12，
∴BM•OB＝6，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ax+ay＝ a（x+y） ．
【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
14．（3分）八边形内角和度数为 1080° ．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
15．（3分）△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 105° ．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝45°，∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故答案为：105°．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 15 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
【解答】解：第1个图中有1个小正方形，
第2个图中有3个小正方形，3＝1+2，
第3个图中有6个小正方形，3＝1+2+3，
第4个图中有10个小正方形，3＝1+2+3+4，
…，
依此规律，则第5个图中有15个小正方形，第n个图中有个小正方形．
故答案为：15，．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝2mn（m2﹣16）
＝2mn（m+4）（m﹣4）．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
【解答】解：（1）设A厂每天生产x件新产品，B厂每天生产y件新产品，
根据题意得：，
解得：，
∴＝＝60，＝＝40．
答：A厂单独完成需要60天，B厂单独完成需要40天．
（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，
根据题意得：，
解得：，
∴选择A厂每天需付的工程款为1350元，选择B厂每天需付的工程款为2025元．
∴A厂单独完成需要费用为（1350+120）×60＝88200（元），
B厂单独完成需要费用为（2025+120）×40＝85800（元）．
设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40﹣a）天，
根据题意得：当a≤40﹣a，即a≤24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×（40﹣a）＝﹣80a+85800，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880；
当a≥40﹣a，即a≥24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×a＝120a+81000，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880．
∵88200＞85800＞83880，
∴A、B两厂每厂生产24天时，公司花费最少，最少金额为83880元．
19．（10分）青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的“王者荣耀”玩家进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查中共调查了 1500 人；请补全上面的条形统计图；
（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是 108 度；
（3）据报道，目前我国12﹣35岁“王者荣耀”玩家的人数约为2000万人，请估计其中12﹣23岁的青少年人数为 1000 万人．
【解答】解：（1）这次抽样调查中调查的总人数为：330÷22%＝1500（人）；
故答案为：1500；
（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）根据题意得：
2000×＝1000（万人），
即其中12﹣23岁的人数有1000万人．
故答案为：1000．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
【解答】（1）证明：∵将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，
∴∠ANM＝∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN；
（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC＝DN，NH＝DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴＝＝＝3，
∴MC＝3ND＝3HC，
∴MH＝2HC，
设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，
∴CM＝3x＝CN，
在Rt△CDN中，DC＝＝2x，
∴HN＝2x，
在Rt△MNH中，MN＝＝2x，
∴＝＝2．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ 1 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ 7或 ．
【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，
∴CD＝6﹣CD+4，
∴CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
【变式探究】DB＝CD+BA．
证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG，
又MB＝MB，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
【实践应用】
如图，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝6，圆的半径为5，
∴AC＝8，
∵∠D1AC＝45°，
∴CG1+AB＝AG1，
∴AG1＝（6+8）＝7，
∴AD1＝7．
当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
综上所述：AD的长为7或，
故答案为7或．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（−3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）①令x＝0，代入y＝﹣x2﹣2x+3，得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0），C（0，3），代入y＝kx+b得，
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x+3．
设F（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3），
∴FE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴△FBC的面积＝＝（﹣x2﹣3x）＝，
∴x＝﹣时，△FBC的面积最大，此时F（﹣，）；
②（Ⅰ）当∠CFE＝90°时，如图：
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF＝∠CFE＝90°，
∴CF∥OB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴F（﹣2，3），
（Ⅱ）当∠ECF＝90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE＝90°，
∵C（0，3），B（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEB＝∠CEH＝45°，
∵∠ECF＝90°，
∴CE＝CF，
∵CH⊥EF，
∴EF＝2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，﹣m2﹣2m+3），
∴EF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，CH＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0），
∴F（﹣1，4），
综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
1．（3分）下列各数中，3的相反数的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（3分）一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（ ）
A．7.8×10﹣5B．7.8×10﹣6C．7.8×10﹣7D．78×10﹣5
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
5．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．116°B．124°C．144°D．126°
6．（3分）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1B．方差是3.5
C．中位数是0.5D．众数是﹣1
7．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1B．2C．D．2
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）
10．（3分）△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能确保ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．a2：b2：c2＝3：4：5
C．c2＝a2﹣b2D．∠A﹣∠B＝∠C
11．（3分）如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）
A．（3﹣）cmB．（3﹣2）cmC．（6﹣）cmD．（6﹣2）cm
12．（3分）如图，点E为▱ABCD对角线的交点，点B在y轴正半轴上，CD在x轴上，点M为AB的中点．双曲线（x＜0）过点E，M，连接EM．已知，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ax+ay＝ ．
14．（3分）八边形内角和度数为 ．
15．（3分）△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
19．（10分）青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的“王者荣耀”玩家进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查中共调查了 人；请补全上面的条形统计图；
（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是 度；
（3）据报道，目前我国12﹣35岁“王者荣耀”玩家的人数约为2000万人，请估计其中12﹣23岁的青少年人数为 万人．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ ．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
2023年海南省琼海市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中，3的相反数的倒数是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【解答】解：3的相反数是﹣3，﹣3的倒数是，
∴3的相反数的倒数是，
故选：D．
2．（3分）一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（ ）
A．7.8×10﹣5B．7.8×10﹣6C．7.8×10﹣7D．78×10﹣5
【解答】解：0.0000078用科学记数法表示：a值为7.8，n为从原数的小数点向右数起到7这个数字一共有6位，则n＝﹣6，即0.0000078＝7.8×10﹣6．
故选：B．
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，底层是3个小正方形，上层左边是1个小正方形．
故选：A．
4．（3分）关于x的一元一次不等式+2≤的解集为（ ）
A．x≤B．x≥C．x≤D．x≥
【解答】解：不等式去分母得：2﹣2x+12≤3x+3，
移项合并得：5x≥11，
解得：x≥，
故选：D．
5．（3分）如图，已知直线a∥b，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝36°，则∠2的度数为（ ）
A．116°B．124°C．144°D．126°
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝180°﹣36°﹣90°＝54°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝126°．
故选：D．
6．（3分）对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1B．方差是3.5
C．中位数是0.5D．众数是﹣1
【解答】解：将这组数据重新排列为﹣1、﹣1、2、4，
所以这组数据的平均数为＝1，中位数为＝0.5，众数为﹣1，
方差为×[2×（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（4﹣1）2]＝4.5，
故选：B．
7．（3分）把分式方程﹣＝1化为整式方程正确的是（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【解答】解：方程变形得：+＝1，
去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1B．2C．D．2
【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，
∵OA＝OA′，
∴△ABC是等边三角形，
∴AA′＝OA＝2OB＝2，
故选：B．
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8．
A、2×4＝8；B、﹣1×（﹣8）＝8；C、﹣2×（﹣4）＝8；D、4×（﹣2）＝﹣8．
故选：D．
10．（3分）△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能确保ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．a2：b2：c2＝3：4：5
C．c2＝a2﹣b2D．∠A﹣∠B＝∠C
【解答】解：A、∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠B＝3∠A，∠C＝2∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+3∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝3∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2：b2：c2＝3：4：5，
∴设a2＝3k，b2＝4k，c2＝5k，
∵a2+b2＝7k，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵c2＝a2﹣b2，
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°
∴△ABC为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
11．（3分）如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）
A．（3﹣）cmB．（3﹣2）cmC．（6﹣）cmD．（6﹣2）cm
【解答】解：如图，过M点作ME⊥AD于E点，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AD＝CD＝6，∠C＝∠D＝90°，
∵裁剪的两个梯形全等，
∴AN＝MC，
∵ME⊥AD，
∴四边形MCDE是矩形，
∴MC＝ED，ME＝CD＝6，
∴AN＝ED，
根据题意有∠MNE＝60°，
∴在Rt△MNE中，NE＝＝＝2，
∴AN+ED＝AD﹣NE＝6﹣2，
∴AN＝3﹣，
即梯形中较短的底为（3﹣）（cm）．
故选：A．
12．（3分）如图，点E为▱ABCD对角线的交点，点B在y轴正半轴上，CD在x轴上，点M为AB的中点．双曲线（x＜0）过点E，M，连接EM．已知，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2
【解答】解：∵点E为▱ABCD对角线的交点，
∴AE＝EC，BE＝DE，
∴S平行四边形ABCD＝4S△AEB，
∵点M为AB的中点，，
∴S△AEB＝2S△AEM＝3，
∴S平行四边形ABCD＝12，
∴AB•OB＝12，
∴BM•OB＝6，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：ax+ay＝ a（x+y） ．
【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．
故答案为：a（x+y）．
14．（3分）八边形内角和度数为 1080° ．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
15．（3分）△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 105° ．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝45°，∠C＝∠C′＝30°；
∴∠B＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
故答案为：105°．
16．（3分）下列图案均是由边长相同的小正方形按一定的规律构成：第1个图中有1个小正方形，第2个图中有3个小正方形，……，依此规律，则第5个图中有 15 个小正方形，第n个图中有 个小正方形（用含n的代数式表示）．
【解答】解：第1个图中有1个小正方形，
第2个图中有3个小正方形，3＝1+2，
第3个图中有6个小正方形，3＝1+2+3，
第4个图中有10个小正方形，3＝1+2+3+4，
…，
依此规律，则第5个图中有15个小正方形，第n个图中有个小正方形．
故答案为：15，．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）分解因式：2m3n﹣32mn．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝2mn（m2﹣16）
＝2mn（m+4）（m﹣4）．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
【解答】解：（1）设A厂每天生产x件新产品，B厂每天生产y件新产品，
根据题意得：，
解得：，
∴＝＝60，＝＝40．
答：A厂单独完成需要60天，B厂单独完成需要40天．
（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，
根据题意得：，
解得：，
∴选择A厂每天需付的工程款为1350元，选择B厂每天需付的工程款为2025元．
∴A厂单独完成需要费用为（1350+120）×60＝88200（元），
B厂单独完成需要费用为（2025+120）×40＝85800（元）．
设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40﹣a）天，
根据题意得：当a≤40﹣a，即a≤24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×（40﹣a）＝﹣80a+85800，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880；
当a≥40﹣a，即a≥24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×a＝120a+81000，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880．
∵88200＞85800＞83880，
∴A、B两厂每厂生产24天时，公司花费最少，最少金额为83880元．
19．（10分）青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的“王者荣耀”玩家进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查中共调查了 1500 人；请补全上面的条形统计图；
（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是 108 度；
（3）据报道，目前我国12﹣35岁“王者荣耀”玩家的人数约为2000万人，请估计其中12﹣23岁的青少年人数为 1000 万人．
【解答】解：（1）这次抽样调查中调查的总人数为：330÷22%＝1500（人）；
故答案为：1500；
（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）根据题意得：
2000×＝1000（万人），
即其中12﹣23岁的人数有1000万人．
故答案为：1000．
20．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM＝CN；
（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．
【解答】（1）证明：∵将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，
∴∠ANM＝∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN；
（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，
则四边形NHCD是矩形，
∴HC＝DN，NH＝DC，
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，
∴＝＝＝3，
∴MC＝3ND＝3HC，
∴MH＝2HC，
设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，
∴CM＝3x＝CN，
在Rt△CDN中，DC＝＝2x，
∴HN＝2x，
在Rt△MNH中，MN＝＝2x，
∴＝＝2．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ 1 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ 7或 ．
【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，
∴CD＝6﹣CD+4，
∴CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
【变式探究】DB＝CD+BA．
证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG，
又MB＝MB，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
【实践应用】
如图，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝6，圆的半径为5，
∴AC＝8，
∵∠D1AC＝45°，
∴CG1+AB＝AG1，
∴AG1＝（6+8）＝7，
∴AD1＝7．
当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
综上所述：AD的长为7或，
故答案为7或．
22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（−3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）①令x＝0，代入y＝﹣x2﹣2x+3，得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0），C（0，3），代入y＝kx+b得，
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x+3．
设F（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3），
∴FE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴△FBC的面积＝＝（﹣x2﹣3x）＝，
∴x＝﹣时，△FBC的面积最大，此时F（﹣，）；
②（Ⅰ）当∠CFE＝90°时，如图：
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF＝∠CFE＝90°，
∴CF∥OB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴F（﹣2，3），
（Ⅱ）当∠ECF＝90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE＝90°，
∵C（0，3），B（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OEB＝∠CEH＝45°，
∵∠ECF＝90°，
∴CE＝CF，
∵CH⊥EF，
∴EF＝2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，﹣m2﹣2m+3），
∴EF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，CH＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0），
∴F（﹣1，4），
综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
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