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2023年海南省白沙县中考数学一模试卷(含答案)
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这是一份2023年海南省白沙县中考数学一模试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年海南省白沙县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
2．（3分）1纳米＝0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣8米 B．2.5×10﹣9米
C．2.5×10﹣10米 D．2.5×109米
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝5 D．无解
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（ ）
A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．3：1
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）x+y＝2，xy＝﹣1，则x2y+xy2＝ ．
14．（3分）正十边形的每个内角等于 度．
15．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
16．（3分）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）﹣4+；
（2）﹣|1﹣|+（﹣1）0+．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
19．（10分）某校在“爱心捐款”活动中，同学们都献出了自己的爱心，他们的捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数是 ，捐款金额的中位数是 ；
（2）捐款10元的人数是 ．
（3）该校学生总人数为1000人，请估计该校一共捐款多少元？
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ ．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省白沙县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
【解答】解：∵代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，
∴5x﹣7+13﹣2x＝0，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2，
故选：B．
2．（3分）1纳米＝0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣8米 B．2.5×10﹣9米
C．2.5×10﹣10米 D．2.5×109米
【解答】解：2.5纳米＝2.5×0.000 000 001米＝2.5×10﹣9米．
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看该几何体，底层是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：x≥3﹣2，
x≥1，
故选：D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，极差为5，
故选：B．
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝5 D．无解
【解答】解：去分母得：2＝3﹣x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入最简公分母得：3﹣x≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，
∵OA＝OA′，
∴△ABC是等边三角形，
∴AA′＝OA＝2OB＝2，
故选：B．
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8．
A、2×4＝8；B、﹣1×（﹣8）＝8；C、﹣2×（﹣4）＝8；D、4×（﹣2）＝﹣8．
故选：D．
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF＝AB，DF＝，DE＝AC，
∴EF+DF+DE＝（AB+BC+AC），
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥∥BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
12．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（ ）
A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．3：1
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵OE＝2OF，
∴OE＝×BC＝BC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABC＝BC•h，S△AOC＝OE•h＝×BC•h＝BC•h，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）x+y＝2，xy＝﹣1，则x2y+xy2＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵x+y＝2，xy＝﹣1，
∴原式＝xy（x+y）＝﹣1×2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（3分）正十边形的每个内角等于 144 度．
【解答】解：（10﹣2）×180÷10
＝8×180÷10
＝1440÷10
＝144（度）
∴正十边形的每个内角等于144度．
故答案为：144．
15．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 100° ．
【解答】解：△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠C＝∠C'＝30°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故答案为：100°．
16．（3分）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 15150 枚棋子．
【解答】解：第1个图形棋子的个数是：2×3﹣3＝（2﹣1）×3＝3，
第2个图形棋子的个数是：3×3﹣3＝（3﹣1）×3＝6，
第3个图形棋子的个数是：4×3﹣3＝（4﹣1）×3＝9，
第4个图形棋子的个数是：5×3﹣3＝（5﹣1）×3＝12，
…
以此类推，第100个图形棋子的个数是：101×3﹣3＝（101﹣1）×3＝300，
∴所有棋子的个数是3+6+9+12+…+300＝3（1+2+3+4+…+100）＝3×＝15150．
故答案为：15150．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）﹣4+；
（2）﹣|1﹣|+（﹣1）0+．
【解答】解：（1）﹣4+
＝3﹣4×+4
＝3﹣2+4
＝5．
（2）﹣|1﹣|+（﹣1）0+
＝2﹣（﹣1）+1+2
＝2﹣+1+1+2
＝2++2．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
【解答】解：（1）设A厂每天生产x件新产品，B厂每天生产y件新产品，
根据题意得：，
解得：，
∴＝＝60，＝＝40．
答：A厂单独完成需要60天，B厂单独完成需要40天．
（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，
根据题意得：，
解得：，
∴选择A厂每天需付的工程款为1350元，选择B厂每天需付的工程款为2025元．
∴A厂单独完成需要费用为（1350+120）×60＝88200（元），
B厂单独完成需要费用为（2025+120）×40＝85800（元）．
设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40﹣a）天，
根据题意得：当a≤40﹣a，即a≤24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×（40﹣a）＝﹣80a+85800，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880；
当a≥40﹣a，即a≥24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×a＝120a+81000，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880．
∵88200＞85800＞83880，
∴A、B两厂每厂生产24天时，公司花费最少，最少金额为83880元．
19．（10分）某校在“爱心捐款”活动中，同学们都献出了自己的爱心，他们的捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数是 50 ，捐款金额的中位数是 15 ；
（2）捐款10元的人数是 18 ．
（3）该校学生总人数为1000人，请估计该校一共捐款多少元？
【解答】解：（1）10÷20%＝50（人），
捐款10元的人数是50﹣6﹣16﹣10＝18（人），
所有数据排列之后得到中位数是15．
故答案为：50，15；
（2）捐款10元的人数是50﹣6﹣16﹣10＝18（人），．
故答案为：18；
（3）捐款5元的人数是（人），
捐款10元的人数是（人），
捐款15元的人数是（人），
捐款20元的人数是（人），
一共捐款120×5+360×10+320×15+200×20＝13000（元）．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径．
【解答】（1）证明：如图：连接OC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OE⊥AF于E，
∴，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°，
∴四边形OEDC为矩形，
∴CD＝OE＝3，DE＝OC，
设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r，
∴AE＝9﹣r，
∵OA2﹣AE2＝OE2，
∴r2﹣（9﹣r）2＝32，解得r＝5．
∴⊙O半径为5．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ 1 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ 7或 ．
【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，
∴CD＝6﹣CD+4，
∴CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
【变式探究】DB＝CD+BA．
证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG，
又MB＝MB，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
【实践应用】
如图，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝6，圆的半径为5，
∴AC＝8，
∵∠D1AC＝45°，
∴CG1+AB＝AG1，
∴AG1＝（6+8）＝7，
∴AD1＝7．
当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
综上所述：AD的长为7或，
故答案为7或．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．
令y＝0，得．
解得x1＝﹣2，x2＝8．
∴点B的坐标为（8，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b．
把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．
（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为．
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．
（3）∵．
∴．
如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．
设点．
∵点F在直线BC上，
∴F（t，﹣t+8）．
∴．
∴．
∴．
解得t1＝2，t2＝6．
∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．
（4）存在．
∵△BEM为等腰三角形，
∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，
设M（3，m），
∵B（8，0），E（3，5），
∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，
当BM＝EM时，
＝|m﹣5|，
∴m2+25＝（m﹣5）2，
解得：m＝0，
∴M（3，0）；
当BE＝BM时，
5＝，
∴m2+25＝50，
解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，
5＝|m﹣5|，
解得：m＝5+5或m＝5﹣5，
∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．
2023年海南省白沙县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
2．（3分）1纳米＝0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣8米 B．2.5×10﹣9米
C．2.5×10﹣10米 D．2.5×109米
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝5 D．无解
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（ ）
A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．3：1
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）x+y＝2，xy＝﹣1，则x2y+xy2＝ ．
14．（3分）正十边形的每个内角等于 度．
15．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 ．
16．（3分）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）﹣4+；
（2）﹣|1﹣|+（﹣1）0+．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
19．（10分）某校在“爱心捐款”活动中，同学们都献出了自己的爱心，他们的捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数是 ，捐款金额的中位数是 ；
（2）捐款10元的人数是 ．
（3）该校学生总人数为1000人，请估计该校一共捐款多少元？
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ ．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省白沙县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，则x的值是（ ）
A． B．2 C．﹣2 D．无法计算
【解答】解：∵代数式5x﹣7与13﹣2x互为相反数，
∴5x﹣7+13﹣2x＝0，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2，
故选：B．
2．（3分）1纳米＝0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣8米 B．2.5×10﹣9米
C．2.5×10﹣10米 D．2.5×109米
【解答】解：2.5纳米＝2.5×0.000 000 001米＝2.5×10﹣9米．
故选：B．
3．（3分）如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看该几何体，底层是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：C．
4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：x≥3﹣2，
x≥1，
故选：D．
5．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，极差为5，
故选：B．
7．（3分）分式方程＝1的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝5 D．无解
【解答】解：去分母得：2＝3﹣x，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入最简公分母得：3﹣x≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故选：A．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点B在x轴的正半轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为，将△ABO绕点O逆时针旋转，使点B的对应点B′落在边OA上，连接A、A′，则线段AA′的长度是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【解答】解：∵A（1，），∠ABO＝90°，
∴OB＝1，AB＝，
∴tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
由旋转的性质可知，∠AOB＝∠A′OA＝60°，
∵OA＝OA′，
∴△ABC是等边三角形，
∴AA′＝OA＝2OB＝2，
故选：B．
9．（3分）反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8．
A、2×4＝8；B、﹣1×（﹣8）＝8；C、﹣2×（﹣4）＝8；D、4×（﹣2）＝﹣8．
故选：D．
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF＝AB，DF＝，DE＝AC，
∴EF+DF+DE＝（AB+BC+AC），
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥∥BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
12．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足OE＝2OF，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（ ）
A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．3：1
【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵OE＝2OF，
∴OE＝×BC＝BC，
设点A到BC的距离为h，
则S△ABC＝BC•h，S△AOC＝OE•h＝×BC•h＝BC•h，
∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝3：1．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）x+y＝2，xy＝﹣1，则x2y+xy2＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵x+y＝2，xy＝﹣1，
∴原式＝xy（x+y）＝﹣1×2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（3分）正十边形的每个内角等于 144 度．
【解答】解：（10﹣2）×180÷10
＝8×180÷10
＝1440÷10
＝144（度）
∴正十边形的每个内角等于144度．
故答案为：144．
15．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 100° ．
【解答】解：△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠C＝∠C'＝30°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故答案为：100°．
16．（3分）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 15150 枚棋子．
【解答】解：第1个图形棋子的个数是：2×3﹣3＝（2﹣1）×3＝3，
第2个图形棋子的个数是：3×3﹣3＝（3﹣1）×3＝6，
第3个图形棋子的个数是：4×3﹣3＝（4﹣1）×3＝9，
第4个图形棋子的个数是：5×3﹣3＝（5﹣1）×3＝12，
…
以此类推，第100个图形棋子的个数是：101×3﹣3＝（101﹣1）×3＝300，
∴所有棋子的个数是3+6+9+12+…+300＝3（1+2+3+4+…+100）＝3×＝15150．
故答案为：15150．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算：
（1）﹣4+；
（2）﹣|1﹣|+（﹣1）0+．
【解答】解：（1）﹣4+
＝3﹣4×+4
＝3﹣2+4
＝5．
（2）﹣|1﹣|+（﹣1）0+
＝2﹣（﹣1）+1+2
＝2﹣+1+1+2
＝2++2．
18．（10分）某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，已知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？
【解答】解：（1）设A厂每天生产x件新产品，B厂每天生产y件新产品，
根据题意得：，
解得：，
∴＝＝60，＝＝40．
答：A厂单独完成需要60天，B厂单独完成需要40天．
（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，
根据题意得：，
解得：，
∴选择A厂每天需付的工程款为1350元，选择B厂每天需付的工程款为2025元．
∴A厂单独完成需要费用为（1350+120）×60＝88200（元），
B厂单独完成需要费用为（2025+120）×40＝85800（元）．
设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40﹣a）天，
根据题意得：当a≤40﹣a，即a≤24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×（40﹣a）＝﹣80a+85800，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880；
当a≥40﹣a，即a≥24时，w＝1350a+2025（40﹣a）+120×a＝120a+81000，
此时，当a＝24时，w取最小值，最小值为83880．
∵88200＞85800＞83880，
∴A、B两厂每厂生产24天时，公司花费最少，最少金额为83880元．
19．（10分）某校在“爱心捐款”活动中，同学们都献出了自己的爱心，他们的捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况，根据随机抽样统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样的学生人数是 50 ，捐款金额的中位数是 15 ；
（2）捐款10元的人数是 18 ．
（3）该校学生总人数为1000人，请估计该校一共捐款多少元？
【解答】解：（1）10÷20%＝50（人），
捐款10元的人数是50﹣6﹣16﹣10＝18（人），
所有数据排列之后得到中位数是15．
故答案为：50，15；
（2）捐款10元的人数是50﹣6﹣16﹣10＝18（人），．
故答案为：18；
（3）捐款5元的人数是（人），
捐款10元的人数是（人），
捐款15元的人数是（人），
捐款20元的人数是（人），
一共捐款120×5+360×10+320×15+200×20＝13000（元）．
20．（10分）如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径．
【解答】（1）证明：如图：连接OC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OE⊥AF于E，
∴，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°，
∴四边形OEDC为矩形，
∴CD＝OE＝3，DE＝OC，
设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r，
∴AE＝9﹣r，
∵OA2﹣AE2＝OE2，
∴r2﹣（9﹣r）2＝32，解得r＝5．
∴⊙O半径为5．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ 1 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ 7或 ．
【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，
∴CD＝6﹣CD+4，
∴CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
【变式探究】DB＝CD+BA．
证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG，
又MB＝MB，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
【实践应用】
如图，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝6，圆的半径为5，
∴AC＝8，
∵∠D1AC＝45°，
∴CG1+AB＝AG1，
∴AG1＝（6+8）＝7，
∴AD1＝7．
当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
综上所述：AD的长为7或，
故答案为7或．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．
令y＝0，得．
解得x1＝﹣2，x2＝8．
∴点B的坐标为（8，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b．
把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．
（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为．
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．
（3）∵．
∴．
如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．
设点．
∵点F在直线BC上，
∴F（t，﹣t+8）．
∴．
∴．
∴．
解得t1＝2，t2＝6．
∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．
（4）存在．
∵△BEM为等腰三角形，
∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，
设M（3，m），
∵B（8，0），E（3，5），
∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，
当BM＝EM时，
＝|m﹣5|，
∴m2+25＝（m﹣5）2，
解得：m＝0，
∴M（3，0）；
当BE＝BM时，
5＝，
∴m2+25＝50，
解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，
5＝|m﹣5|，
解得：m＝5+5或m＝5﹣5，
∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．
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