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2023年海南省琼中县中考数学一模试卷(含答案)
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这是一份2023年海南省琼中县中考数学一模试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，八年级抽取的学生数学成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
2023年海南省琼中县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①a2与b2；②a2与﹣b2；③a3与b3；④a3与﹣b3．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（3分）在一项科学研究中，科学家对人体血液中尺寸小于0.000508毫米的微小颗粒进行分析，发现在部分血液样本中含有“微塑料”颗粒，这是科学家首次在人类血液中检测到“微塑料”污染．我们可以把数据“0.000508”用科学记数法表示为（ ）
A．5.08×10﹣5 B．5.08×10﹣4 C．50.8×10﹣5 D．508×10﹣6
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）将不等式x﹣3≥0的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：xm﹣xn＝ ．
14．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm．
16．（3分）用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为 ．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算下列各题：
（1）sin245°﹣+（﹣2006）0+6tan30°
（2）sin230°﹣cos45°•tan60°+﹣tan45°．
18．（10分）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，m表示 ，n表示 ；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
19．（10分）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
20．（10分）为测量某机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D处，测得建筑物B的俯角为37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．
（1）无人机距离地面的飞行高度是多少千米？
（2）求该机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．（结果精确到0.01千米）
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ ．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省琼中县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①a2与b2；②a2与﹣b2；③a3与b3；④a3与﹣b3．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①a，b互为相反数，则a2＝b2，即a2与b2不互为相反数，故①不符合题意；
②a，b互为相反数，则a2＝b2，故a2+（﹣b2）＝0，即a2与﹣b2互为相反数，故②符合题意；
③a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3+b3＝（﹣b）3+b3＝0，即a3与b3互为相反数，故③符合题意；
④a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3﹣b3＝（﹣b）3﹣b3＝﹣b3﹣b3＝﹣2b3≠0，即a3与﹣b3不互为相反数，故④不符合题意；
符合题意的有2个，
故选：C．
2．（3分）在一项科学研究中，科学家对人体血液中尺寸小于0.000508毫米的微小颗粒进行分析，发现在部分血液样本中含有“微塑料”颗粒，这是科学家首次在人类血液中检测到“微塑料”污染．我们可以把数据“0.000508”用科学记数法表示为（ ）
A．5.08×10﹣5 B．5.08×10﹣4 C．50.8×10﹣5 D．508×10﹣6
【解答】解：把数据“0.000508”用科学记数法表示为5.08×10﹣4．
故选：B．
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，底层是3个小正方形，上层左边是1个小正方形．
故选：A．
4．（3分）将不等式x﹣3≥0的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式x﹣3≥0，
解得：x≥3，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：D．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，极差为5，
故选：B．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的解，
∴袋子中黄球的个数可能是4个．
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴BC＝EF＝AD＝1，AE＝AB，
∵DE＝EF＝1，
∴AE＝＝AB，
∴EC＝﹣1，
∴四边形ABCE的面积＝×（+﹣1）×1＝﹣，
故选：C．
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），
∴k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12，
∵﹣2×3＝﹣6≠﹣1，故选项A不符合题意，
∵4×（﹣3）＝﹣12，故选项B符合题意，
∵﹣6×（﹣2）＝12≠﹣12，故选项C不符合题意，
∵8×＝12≠﹣12，故选项D不符合题意，
故选：B．
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
【解答】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，
∴O点为△ABC的重心，
∴OB＝2OE，
∴S△BOD＝2S△DOE＝2×1＝2，
∴S△BDE＝3，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△BDE＝6，
∵AE＝CE，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：xm﹣xn＝ x（m﹣n） ．
【解答】解：xm﹣xn＝x（m﹣n）．
故答案为：x（m﹣n）．
14．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 140° ．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝＝140°．
故答案为：140°．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 30 cm．
【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴MC＝PC，ND＝PD，
∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．
故答案为：30．
16．（3分）用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为 ．
【解答】解：第1个图案有1个三角形，
第2个图案有1+2个三角形，
第3个图案有1+2+3个三角形，
…，
依此类推，第n个图案有：1+2+3+…+n个三角形，
∵1+2+3+…+n＝，
∴第n个图案所用的火柴棒的根数为3×＝．
故答案为：．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算下列各题：
（1）sin245°﹣+（﹣2006）0+6tan30°
（2）sin230°﹣cos45°•tan60°+﹣tan45°．
【解答】解：（1）原式＝﹣3++6×
＝1﹣；
（2）原式＝﹣×+1﹣1
＝﹣．
18．（10分）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，m表示 ，n表示 ；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【解答】解：（1）①，
故答案为：，；
②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）
选择①
解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则
，
解得，
经检验，符合题意
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
选择②
解：设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则
，
解得，
经检验，符合题意
甲整治的河道长度：15×16＝240米；乙整治的河道长度：5×24＝120米
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
19．（10分）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4
（1）填空：a＝ 84 ，b＝ 100 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
【解答】解：（1）由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个，
∵初二的测试成绩在C组中的数据为：83，84，89，
∴中位数a＝84，
∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多，
∴众数b＝100；
故答案为：84，100；
（2）根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好．
理由：八年级的平均数、中位数、众数均高于七年级，方差比七年级小，说明八年级学生计算能力较好．
（3）2500×＝1000（名），
答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1000人．
20．（10分）为测量某机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D处，测得建筑物B的俯角为37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．
（1）无人机距离地面的飞行高度是多少千米？
（2）求该机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．（结果精确到0.01千米）
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
在Rt△AEC中，∠C＝50°，sin∠ECA＝≈0.77，
∴AE≈0.77×2＝1.54（千米），
答：无人机距离地面的飞行高度约是1.54千米；
（2）在Rt△ACE中，CE＝AC•cos50°≈2×0.64＝1.28（千米），
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴四边形AEFB是矩形．
∴AE＝BF＝1.54千米，EF＝AB，
在Rt△DFB中，tan∠FDB＝，0.75＝，
解得DF≈2.1（千米），
∴EF＝CD+DF﹣CE＝6.4+2.1﹣1.28≈7.2（千米），
∴AB＝EF＝7.2（千米），
答：该机场东西两建筑物AB的距离约为7.2千米．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ 1 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ 7或 ．
【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，
∴CD＝6﹣CD+4，
∴CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
【变式探究】DB＝CD+BA．
证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG，
又MB＝MB，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
【实践应用】
如图，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝6，圆的半径为5，
∴AC＝8，
∵∠D1AC＝45°，
∴CG1+AB＝AG1，
∴AG1＝（6+8）＝7，
∴AD1＝7．
当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
综上所述：AD的长为7或，
故答案为7或．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．
令y＝0，得．
解得x1＝﹣2，x2＝8．
∴点B的坐标为（8，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b．
把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．
（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为．
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．
（3）∵．
∴．
如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．
设点．
∵点F在直线BC上，
∴F（t，﹣t+8）．
∴．
∴．
∴．
解得t1＝2，t2＝6．
∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．
（4）存在．
∵△BEM为等腰三角形，
∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，
设M（3，m），
∵B（8，0），E（3，5），
∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，
当BM＝EM时，
＝|m﹣5|，
∴m2+25＝（m﹣5）2，
解得：m＝0，
∴M（3，0）；
当BE＝BM时，
5＝，
∴m2+25＝50，
解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，
5＝|m﹣5|，
解得：m＝5+5或m＝5﹣5，
∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．
2023年海南省琼中县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①a2与b2；②a2与﹣b2；③a3与b3；④a3与﹣b3．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（3分）在一项科学研究中，科学家对人体血液中尺寸小于0.000508毫米的微小颗粒进行分析，发现在部分血液样本中含有“微塑料”颗粒，这是科学家首次在人类血液中检测到“微塑料”污染．我们可以把数据“0.000508”用科学记数法表示为（ ）
A．5.08×10﹣5 B．5.08×10﹣4 C．50.8×10﹣5 D．508×10﹣6
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）将不等式x﹣3≥0的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：xm﹣xn＝ ．
14．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 cm．
16．（3分）用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为 ．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算下列各题：
（1）sin245°﹣+（﹣2006）0+6tan30°
（2）sin230°﹣cos45°•tan60°+﹣tan45°．
18．（10分）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，m表示 ，n表示 ；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
19．（10分）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
20．（10分）为测量某机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D处，测得建筑物B的俯角为37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．
（1）无人机距离地面的飞行高度是多少千米？
（2）求该机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．（结果精确到0.01千米）
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ ．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年海南省琼中县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（ ）
①a2与b2；②a2与﹣b2；③a3与b3；④a3与﹣b3．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①a，b互为相反数，则a2＝b2，即a2与b2不互为相反数，故①不符合题意；
②a，b互为相反数，则a2＝b2，故a2+（﹣b2）＝0，即a2与﹣b2互为相反数，故②符合题意；
③a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3+b3＝（﹣b）3+b3＝0，即a3与b3互为相反数，故③符合题意；
④a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3﹣b3＝（﹣b）3﹣b3＝﹣b3﹣b3＝﹣2b3≠0，即a3与﹣b3不互为相反数，故④不符合题意；
符合题意的有2个，
故选：C．
2．（3分）在一项科学研究中，科学家对人体血液中尺寸小于0.000508毫米的微小颗粒进行分析，发现在部分血液样本中含有“微塑料”颗粒，这是科学家首次在人类血液中检测到“微塑料”污染．我们可以把数据“0.000508”用科学记数法表示为（ ）
A．5.08×10﹣5 B．5.08×10﹣4 C．50.8×10﹣5 D．508×10﹣6
【解答】解：把数据“0.000508”用科学记数法表示为5.08×10﹣4．
故选：B．
3．（3分）如图中几何体从正面看能得到（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，底层是3个小正方形，上层左边是1个小正方形．
故选：A．
4．（3分）将不等式x﹣3≥0的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式x﹣3≥0，
解得：x≥3，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选：D．
5．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．同旁内角互补
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数是3 D．极差是5
【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，极差为5，
故选：B．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝4，
经检验x＝4是原方程的解，
∴袋子中黄球的个数可能是4个．
故选：C．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1 B． C．﹣ D．﹣1
【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，
∴BC＝EF＝AD＝1，AE＝AB，
∵DE＝EF＝1，
∴AE＝＝AB，
∴EC＝﹣1，
∴四边形ABCE的面积＝×（+﹣1）×1＝﹣，
故选：C．
9．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3） B．（4，﹣3） C．（﹣6，﹣2） D．（8，）
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），
∴k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12，
∵﹣2×3＝﹣6≠﹣1，故选项A不符合题意，
∵4×（﹣3）＝﹣12，故选项B符合题意，
∵﹣6×（﹣2）＝12≠﹣12，故选项C不符合题意，
∵8×＝12≠﹣12，故选项D不符合题意，
故选：B．
10．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（ ）
A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°
【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝15°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．
故选：C．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）
A．8 B．8 C．4 D．6
【解答】解：如图，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB＝90°
∴∠FCO＝∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∵BF＝BE，
∴BO⊥EF，∠BOF＝90°，
∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO＝∠EOA，
∴EA＝EO＝OF＝FC＝2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO＝BC，
在RT△ABC中，∵AO＝OC，
∴BO＝AO＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴EB＝EF＝4，
∴AB＝AE+EB＝2+4＝6．
故选：D．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
【解答】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，
∴O点为△ABC的重心，
∴OB＝2OE，
∴S△BOD＝2S△DOE＝2×1＝2，
∴S△BDE＝3，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△BDE＝6，
∵AE＝CE，
∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：xm﹣xn＝ x（m﹣n） ．
【解答】解：xm﹣xn＝x（m﹣n）．
故答案为：x（m﹣n）．
14．（3分）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 140° ．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝＝140°．
故答案为：140°．
15．（3分）如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为 30 cm．
【解答】解：∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴MC＝PC，ND＝PD，
∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．
故答案为：30．
16．（3分）用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为 ．
【解答】解：第1个图案有1个三角形，
第2个图案有1+2个三角形，
第3个图案有1+2+3个三角形，
…，
依此类推，第n个图案有：1+2+3+…+n个三角形，
∵1+2+3+…+n＝，
∴第n个图案所用的火柴棒的根数为3×＝．
故答案为：．
三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）
17．（12分）计算下列各题：
（1）sin245°﹣+（﹣2006）0+6tan30°
（2）sin230°﹣cos45°•tan60°+﹣tan45°．
【解答】解：（1）原式＝﹣3++6×
＝1﹣；
（2）原式＝﹣×+1﹣1
＝﹣．
18．（10分）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，m表示 ，n表示 ；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【解答】解：（1）①，
故答案为：，；
②m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）
选择①
解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则
，
解得，
经检验，符合题意
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
选择②
解：设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天．则
，
解得，
经检验，符合题意
甲整治的河道长度：15×16＝240米；乙整治的河道长度：5×24＝120米
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
19．（10分）为了提高学生的计算能力，某校举行了数学计算比赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的数学成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A．60≤x＜70，B．70≤x＜80，C．80≤x＜90，D．90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的数学成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生数学成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生数学成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4
（1）填空：a＝ 84 ，b＝ 100 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生计算能力较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共2500人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
【解答】解：（1）由直方图可知，七年级的数学成绩15个数据按从小到大的顺序排列，第8个数落在C组的第二个，
∵初二的测试成绩在C组中的数据为：83，84，89，
∴中位数a＝84，
∵八年级抽取的学生数学成绩中100分的最多，
∴众数b＝100；
故答案为：84，100；
（2）根据以上数据，我认为八年级学生计算能力较好．
理由：八年级的平均数、中位数、众数均高于七年级，方差比七年级小，说明八年级学生计算能力较好．
（3）2500×＝1000（名），
答：估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有1000人．
20．（10分）为测量某机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．如图，勘测无人机在点C处，测得建筑物A的俯角为50°，CA的距离为2千米，然后沿着平行于AB的方向飞行6.4千米到点D处，测得建筑物B的俯角为37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．
（1）无人机距离地面的飞行高度是多少千米？
（2）求该机场东西两栋建筑物A、B之间的距离．（结果精确到0.01千米）
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
在Rt△AEC中，∠C＝50°，sin∠ECA＝≈0.77，
∴AE≈0.77×2＝1.54（千米），
答：无人机距离地面的飞行高度约是1.54千米；
（2）在Rt△ACE中，CE＝AC•cos50°≈2×0.64＝1.28（千米），
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠EFB＝∠EAB＝90°，
∴四边形AEFB是矩形．
∴AE＝BF＝1.54千米，EF＝AB，
在Rt△DFB中，tan∠FDB＝，0.75＝，
解得DF≈2.1（千米），
∴EF＝CD+DF﹣CE＝6.4+2.1﹣1.28≈7.2（千米），
∴AB＝EF＝7.2（千米），
答：该机场东西两建筑物AB的距离约为7.2千米．
21．（15分）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
又∵∠A＝∠C，BA＝GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝DG，
∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA．
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝ 1 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝ 7或 ．
【解答】解：【理解运用】：由题意可得CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，
∴CD＝6﹣CD+4，
∴CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
【变式探究】DB＝CD+BA．
证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG，
又MB＝MB，
∴△MAB≌△MGB（SAS），
∴MA＝MG，
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；
【实践应用】
如图，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝6，圆的半径为5，
∴AC＝8，
∵∠D1AC＝45°，
∴CG1+AB＝AG1，
∴AG1＝（6+8）＝7，
∴AD1＝7．
当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
综上所述：AD的长为7或，
故答案为7或．
22．（15分）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）过点A（﹣2，0）和C（0，8），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+8．
令y＝0，得．
解得x1＝﹣2，x2＝8．
∴点B的坐标为（8，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b．
把点B（8，0），C（0，8）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+8．
（2）如图1，设抛物线的对称轴l与x轴交于点H．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标为．
∴S四边形ABDC＝S△AOC+S梯形OCDH+S△BDH＝＝＝70．
（3）∵．
∴．
如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．
设点．
∵点F在直线BC上，
∴F（t，﹣t+8）．
∴．
∴．
∴．
解得t1＝2，t2＝6．
∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．
（4）存在．
∵△BEM为等腰三角形，
∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，
设M（3，m），
∵B（8，0），E（3，5），
∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，
当BM＝EM时，
＝|m﹣5|，
∴m2+25＝（m﹣5）2，
解得：m＝0，
∴M（3，0）；
当BE＝BM时，
5＝，
∴m2+25＝50，
解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），
∴M（3，﹣5）；
当BE＝EM时，
5＝|m﹣5|，
解得：m＝5+5或m＝5﹣5，
∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），
综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．
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