初中数学中考复习 考点27 概率-中考数学考点一遍过

这是一份初中数学中考复习 考点27 概率-中考数学考点一遍过，共30页。试卷主要包含了事件的分类，概率的计算，利用频率估计概率，概率的应用等内容，欢迎下载使用。
一、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
二、概率的计算
1．公式法
P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
（1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
（2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
三、利用频率估计概率
1．定义
一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法
进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用
概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．
考向一 事件的分类
1．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．
2．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．
典例1 下列事件中，是必然事件的是
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果a2=b2，那么a=b
D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上
【答案】
【解析】A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件．
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
C．如果a2=b2，那么a=b，也可能是a=–b，此事件是随机事件；
D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上是必然事件；
故选D．
1．下列事件中，属于不可能事件的是
A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°
C．任意写一个数，这个数大于–1
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行
2．口袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是
A．随机摸出1个球，是白球B．随机摸出1个球，是红球
C．随机摸出1个球，是红球或黄球D．随机摸出2个球，都是黄球
考向二 概率的计算
在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
典例2 （一个不透明的盒子里有3个红球、5个白球，他们除颜色外其他都一样，先从盒子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵盒子里有3个红球、5个白球，共8个球，
∴从盒子中随机取出一个球，取出的球是白球的概率是，
故选C．
典例3 经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】列表得：
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是，故选A．
3．小敏的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文2页、数学4页、英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为
A．B．C．D．
4．从一副洗匀的普通扑克牌（共54张）中随机抽取一张，则抽出黑桃的概率是__________．
5．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
考向三 利用频率估计概率
在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．
典例4 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有
A．12个B．14个C．18个D．28个
【答案】B
【解析】设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：=0.35，
解得：x=14，
即布袋中黄球可能有14个，故选B．
6．做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为
A．0.22B．0.44C．0.50D．0.56
考向四 概率的应用
游戏是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戏公平；可能性不相等，则游戏不公平．
典例5 小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．
（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；
（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．
【解析】（1）列表如下：
一共出现16种等可能结果，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，
则P（甲、乙在同一层楼梯）=．
（2）由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果，
故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）=，P（小芳胜）=1-，
∵>，
∴游戏不公平，
修改规则：若甲、乙同住一层或相邻楼层，则小亮得3分；否则，小芳得5分．
7．一个不透明的布袋里装有6个白球，2个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）小亮和小丽将布袋中的白球取出5个，利用剩下的球进行摸球游戏，他们约定：先抹出1个球后不放回，再摸出1个球，若两个球中有红球则小亮胜，否则小丽胜，你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图说明理由．
1．下列事件中，是必然事件的是
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．购买一张彩票，一定中奖
C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°
D．掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于7
2．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样，规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回），某顾客刚好消费200元，则该原客所获得购物券的金额超过30元的概率为
A． B．C． D．
3．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为
A．0.42B．0.50C．0.58D．0.72
4．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是
A．3B．4C．1D．2
5．在一个不透明的口袋中，装有12个黄球和若干个红球，这些球除颜色外没有其他区别．小李通过多次摸球试验后发现，从中随机摸出一个红球的频率稳定在25%，则该口袋中红球的个数可能是__________．
6．不透明的布袋里有白球2个，红球10个，它们除了颜色不同其余均相同，为了使从布袋里随机摸一个球是白球的概率为，若白球个数保持不变，则要从布袋里拿去__________个红球．
7．如果m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概率为__________．
8．一个不透明的布袋中有4个红球、5个白球、11个黄球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个黄球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率不小于，问至少需取走多少个黄球？
9．某报社为了解温州市民对大范围雾霾天气的成因、影响以及应对措施的看法，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，回执了不完整的三种统计图表．请结合统计图表，回答下列问题：
（1）本次参与调查的市民共有__________人，m=__________，n=__________．
（2）统计图中扇形D的圆心角是__________度．
（3）某校准备开展关于雾霾的知识竞赛，九（3）班郑老师欲从2名男生和一名女生中任选2人参加比赛，求恰好选中“1男1女”的概率（要求列表或画树状图）．
10．图1是一个可以自由转动的转盘，被分成了面积相等的三个扇形，分别标有数-1，-2，-3，甲转动一次转盘，转盘停止后指针指向的扇形内的数记为A（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形为止），图2是背面完全一样、牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌，把四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上，乙随机抽出一张牌的牌面数字记为B．
（1）用树状图或列表法求A+B=0的概率；
（2）甲、乙两人玩游戏，规定：当A+B是正数时，甲胜；否则，乙胜．你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
1．（2018·铁岭）有8张看上去无差别的卡片，正面分别写着1、2、3、4、5、6、7、8．把卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取一张卡片，卡片上的数字是偶数的概率是
A．B．
C．D．
2．（2018·本溪）下列事件属于必然事件的是
A．经过有交通信号的路口，遇到红灯
B．任意买一张电影票，座位号是双号
C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落
D．三角形中，任意两边之和大于第三边
3．（2018·巴彦淖尔）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=13，AC=5，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为
A．B．C．D．
4．（2018·青海）用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是
A．B．C．D．
5．（2018·德阳）下列说法正确的是
A．“明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨
B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件
D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
6．（2018·镇江）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标上连续偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为
A．36B．30C．24D．18
7．（2018·梧州）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中，轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是
A．B．C．D．
8．（2018·凉山州）以下四个事件是必然事件的是
①|a|≥0；②a0=1；③am•an=am+n；④a–n=（a≠0，n为整数）．
A．①②B．①④C．②③D．③④
9．（2018·荆州）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是
A．B．C．D．
10．（2018·阜新）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是
A．B．C．D．
11．（2018·攀枝花）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是
A．B．C．D．
12．（2018·大连）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是
A．B．C．D．
13．（2018·贵港）笔筒中有10支型号，颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1–10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是
A．B．
C．D．
14．（2018·柳州）现有四张扑克牌：红桃A、黑桃A、梅花A和方块A．将这四张牌洗匀后正面朝下放在桌面上，再从中任意抽取一张牌，则抽到红桃A的概率为
A．1B．C．D．
15．（2018·铜仁市）掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点，则点数为奇数的概率是
A．B．C．D．
16．（2018·包头）下列事件中，属于不可能事件的是
A．某个数的绝对值大于0
B．某个数的相反数等于它本身
C．任意一个五边形的外角和等于540°
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
17．（2018·苏州）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是
A．B．C．D．
18．（2018·贵阳）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是
A．B．C．D．
19．（2018·昆明）下列判断正确的是
A．甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2=2.3，S乙2=1.8，则甲组学生的身高较整齐
B．为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为4000
C．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.7
D．有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件
20．（2018·咸宁）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是__________．
21．（2018·舟山）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，那么我赢．”小红赢的概率是__________，据此判断该游戏__________（填“公平”或“不公平”）．
22．（2018·鄂尔多斯）从平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是__________．
23．（2018·营口）在一个不透明的小盒中装有m张除颜色外其它完全相同的卡片，这m张卡片中两面均为红色的只有3张．搅匀后，从小盒中任意抽出一张卡片记下颜色，再放回小盒中．通过大量重复抽取卡片实验，发现抽到两面均为红色卡片的频率稳定在0.3附近，可推算出m的值约为__________．
24．（2018·朝阳）有四张正面分别标有数字1，2，–3，–4的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地抽取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请用画树状图或列表法写出（m，n）所有的可能情况；
（2）求所选的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限的概率．
25．（2018·丹东）在一个不透明的布袋里，装有完全相同的3个小球，小球上分别标有数字1，2，5；先从袋子里任意摸出1个球，记其标有的数字为x，不放回；再从袋子里任意摸出一个球，记其标有的数字为y，依次确定有理数．
（1）请用画树状图或列表的方法，写出的所有可能的有理数；
（2）求有理数为整数的概率．
26．（2018·鄂尔多斯）“金山银山，不如绿水青山”．鄂尔多斯市某旗区不断推进“森林城市”建设，今春种植四类树苗，园林部门从种植的这批树苗中随机抽取了4000棵，将各类树苗的种植棵数绘制成扇形统计图，将各类树苗的成活棵数绘制成条形统计图，经统计松树和杨树的成活率较高，且杨树的成活率为97%，根据图表中的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为__________度，并补全条形统计图．
（2）该旗区今年共种树32万棵，成活了约多少棵？
（3）园林部门决定明年从这四类树苗中选两类种植，请用列表法或树状图求恰好选到成活率较高的两类树苗的概率．（松树、杨树、榆树、柳树分别用A，B，C，D表示）
27．（2018·巴彦淖尔）小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A，B，C，D，E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入：②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元．
（1）请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况；
（2）小美得到小兔玩具的机会有多大？
（3）假设有125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元．
28．（2018·济南）某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表．
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a=__________，b=__________；
（2）“D”对应扇形的圆心角为__________度；
（3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数；
（4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
29．（2018·毕节市）2017年9月，我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读，某校对A《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：
（1）本次一共调查了__________名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率．
变式拓展
1．【答案】B
【解析】A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件；
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件；
C．任意写一个数，这个数大于–1是随机事件；
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件；
故选B．
2．【答案】B
【解析】A、从袋中随机摸出1个球，是白球是不可能事件；B、从袋中随机摸出1个球，是红球是随机事件；C、从袋中随机摸出1个球，是红球或黄球是必然事件；D、从袋中随机摸出2个球，都是黄球是不可能事件，故选B．
3．【答案】D
【解析】∵相同的试卷共12页，其中语文2页、数学4页、英语6页，
∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为=；
故选D．
4．【答案】
【解析】∵一副扑克牌共54张，其中黑桃13张，∴随机抽出一张牌得到黑桃的概率是；
故答案为：．
5．【解析】（1）树状图如下：
（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，
∴两个数字之和能被3整除的概率为，
即P（两个数字之和能被3整除）=．
6．【答案】D
【解析】因为瓶盖只有两面，”凸面向上”频率约为0.44，所以，”凹面向上”的概率约为1-0.44=0.56，
故选D．
7．【解析】（1）设布袋里红球有x个，
根据题意，得：=，
解得：x=1，
经检验：x=1是原分式方程的解，
所以布袋里有1个红球；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中两个球中有红球的有6种情况，两个球中没有红球的有6种情况，
∴P（小亮胜）=P（小丽胜）=，
∴这个游戏公平．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】A．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；
B．购买一张彩票，一定中奖是随机事件；
C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；
D．掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于7是不可能事件；
故选C．
2．【答案】B
【解析】根据题意画图如下：
共有12种可能结果，其中该原客所获得购物券的金额超过30元的有4种可能结果，
因此P（超过30元）==；故选B．
3．【答案】A
【解析】∵由题易知抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，“凸面向上”的次数约为420次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为=0.42，故选A．
4．【答案】D
【解析】由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知，
绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，
列方程可得x+2x+2x=10，
解得x=2，
故选D．
5．【答案】4
【解析】设袋中有红球x个，由题意得×100%=25%，解得x=4个，故答案为：4．
6．【答案】6
【解析】设白球的概率为时，布袋里红球有x个．由题意，得，解得x=4，所以10-x=6．故答案为：6．
7．【答案】
【解析】从0，1，2，3四个数中任取的一个数，从0，1，2三个数中任取的一个数，画树状图可知共有12种结果，∵满足关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根，则Δ=（-2m）2-4n2=4（m2-n2）≥0，符合的有9个，∴关于x的一元二次方程x2-2mx+n2=0有实数根的概率为．故答案为：．
8．【解析】（1）∵袋中有4个红球、5个白球、11个黄球，
∴摸出一个球是红球的概率==．
（2）设取走x个黄球，则放入x个红球，
由题意得，≥，
解得x≥，
∵x为整数，
∴x的最小正整数值是3．
答：至少取走3个黄球．
9．【解析】（1）本次参与调查的市民共有：20÷5%=400（人），
m%=×100%=15%，则m=15，
n%=1–5%–45%–15%=35%，则n=35；
故答案为：400，15，35；
（2）扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是360°×35%=126°．
故答案为：126；
（3）根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为4种，
所以恰好选中1男1女的概率是=．
10．【解析】（1）由题意可得，A+B的所有可能性是：
-1+2=1，-1+3=2，-1+4=3，-1+5=4，-2+2=0，-2+3=1，-2+4=2，-2+5=3，-3+2=-1，-3+3=0，-3+4=1，-3+5=2，∴A+B=0的概率是：，即A+B=0的概率是．
（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平，
理由：由题意可得，A+B的所有可能性是：
-1+2=1，-1+3=2，-1+4=3，-1+5=4，-2+2=0，-2+3=1，-2+4=2，-2+5=3，-3+2=-1，-3+3=0，-3+4=1，
-3+5=2，∴A+B的和为正数的概率是：，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵≠，∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
直通中考
1．【答案】C
【解析】∵共有8张无差别的卡片，其中偶数有2、4、6、8，共4张，∴从中任意抽取一张卡片数字是偶数的概率是=；故选C．
【名师点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；关键是找出卡片中偶数的个数．
2．【答案】D
【解析】A、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，故选项错误；
B、任意买一张电影票，座位号是双号，是随机事件，故选项错误；
C、向空中抛一枚硬币，不向地面掉落，是不可能事件，故此选项错误；
D、三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件，正确；
故选D．
【名师点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．【答案】B
【解析】∵AB=13，AC=5，BC=12，∴AB2=BC2+AC2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的内切圆半径==2，∴S△ABC=AC•BC=×12×5=30，S圆=4π，∴小鸟落在花圃上的概率==；故选B．
【名师点睛】本题考查了几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．同时也考查了勾股定理的逆定理．
4．【答案】D
【解析】∵“陆地”部分对应的圆心角是108°，∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360=，∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是，故选D．
【名师点睛】此题主要考查了几何概率，以及扇形统计图．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
5．【答案】D
【解析】A、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨，此选项错误；
B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，此选项错误；
C、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，此选项错误；
D、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大，此选项正确；
故选D．
【名师点睛】本题考查了概率的意义、随机事件，利用概率的意义，事件发生可能性的大小是解题关键．
6．【答案】C
【解析】∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，∴=，解得：n=24，故选C．
【名师点睛】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．
7．【答案】D
【解析】红，黄，白三个球分别记为A，B，C，列出如下树状图:
如图，一共有27种可能，三人摸到球的颜色都不相同有6种可能，
∴P（三人摸到球的颜色都不相同）==．故选D．
【名师点睛】本题考查列表法与树状图，解题的关键是学会利用树状图解决概率问题．
8．【答案】B
【解析】①|a|≥0是必然事件；②a0=1（a≠0）是随机事件；③am•an=am+n是随机事件；
④a–n=（a≠0，n为整数）是必然事件，故选B．
【名师点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．【答案】B
【解析】设CD=5a，
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=，
∴CF=4a，DF=3a，∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是：=，故选B．
【名师点睛】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．【答案】C
【解析】设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，
则这个点取在阴影部分的概率是，故选C．
【名师点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．
11．【答案】A
【解析】画树状图得：
则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为，故选A．
【名师点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．【答案】D
【解析】列表得：
所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为，故选D．
【名师点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．【答案】C
【解析】∵在标有1–10的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，
∴抽到编号是3的倍数的概率是，故选C．
【名师点睛】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．【答案】B
【解析】∵从4张纸牌中任意抽取一张牌有4种等可能结果，其中抽到红桃A的只有1种结果，∴抽到红桃A的概率为，故选B．
【名师点睛】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．【答案】C
【解析】由题意可得，点数为奇数的概率是：＝，故选C．
【名师点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
16．【答案】C
【解析】A、某个数的绝对值大于0，是随机事件，故此选项错误；
B、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，故此选项错误；
C、任意一个五边形的外角和等于540°，是不可能事件，故此选项正确；
D、长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形，是必然事件，故此选项错误．
故选C．
【名师点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确把握相关定义是解题关键．
17．【答案】C
【解析】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4××1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是，故选C．
【名师点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．
18．【答案】A
【解析】如图，
因为两个棋子不在同一条网格线上，所以两个棋子必在对角线上，如图，有6条对角线供这两个棋子摆放，考虑每条对角线两端点都可以摆放黑白棋子，故有6×2=12种课鞥呢，而满足题意的只有一种可能，从而恰好摆放成如图所示位置的概率是，故选A．
19．【答案】D
【解析】A、甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为S甲2=2.3，S乙2=1.8，则乙组学生的身高较整齐，故此选项错误；
B、为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为100，故此选项错误；
C、在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：
则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.6，故此选项错误；
D、有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件，正确．
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了样本容量以及方差、中位数和必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
20．【答案】
【解析】根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，
所以两次摸出的小球标号相同的概率是，故答案为：．
【名师点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．【答案】，不公平．
【解析】所有可能出现的结果如下表所示：
因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反，所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为=，因为二者概率不等，所以游戏不公平．故答案为：，不公平．
【名师点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．【答案】
【解析】∵平行四边形、菱形、正五边形、圆、角中随机抽取一个图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的有菱形、圆共2个，∴抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；故答案为：．
23．【答案】10
【解析】由题意可得，=0.3，解得m=10．故答案为：10．
【名师点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
24．【解析】（1）画树状图如下：
则（m，n）所有的可能情况是（1，2），（1，–3），（1，–4），（2，1），（2，–3），（2，–4），（–3，1），（–3，2），（–3，–4），（–4，1），（–4，2），（–4，–3）．
（2）所选的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限的情况有：
（1，–3）（1，–4）（2，–3）（2，–4）共4种情况，
则能使一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限的概率是=．
【名师点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率和一次函数的性质．列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．【解析】（1）树状图如图所示．
的所有可能的有理数：，，2，，5，．
（2）有理数为整数的概率==．
【名师点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．【解析】（1）扇形统计图中松树所对的圆心角为360°×（1–20%–15%–25%）=144°，
杨树的棵数=4000×25%×97%=970（棵），
补全条形统计图如图所示，
故答案为：144；
（2）320000××100%=300000（棵），
答：成活了约300000棵；
（3）
所有等可能的情况有12种，其中恰好选到成活率较高的两类树苗有2种，
∴恰好选到成活率较高的两类树苗的概率==．
【名师点睛】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．
27．【解析】（1）画树状图为：
（2）由树状图知，共有10种等可能的结果数，其中从开始进入的出入口离开的结果数为2，
所以小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率==；
（2）125×0.8×3–125×0.2×4=200，
所以估计游戏设计者可赚200元．
【名师点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
28．【解析】（1）a=36÷0.45=80，b=16÷80=0.20，故答案为：80，0.20；
（2）“D”对应扇形的圆心角的度数为：8÷80×360°=36°，故答案为：36；
（3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25=500（人）；
（4）列表格如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：=．
【名师点睛】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键．
29．【解析】（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；故答案为：50；
（2）B对应的人数为：50–16–15–7=12，如图所示：
（3）列表：
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，∴P（选中A、B）==．
【名师点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，列表与树状图的应用，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解．甲
乙
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
对雾霾的了解程度
百分比
A
非常了解
5%
B
比较了解
m%
C
基本了解
45%
D
不了解
n%
比赛成绩/分
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
参赛队个数
9
8
6
4
3
校本课程
频数
频率
A
36
0.45
B
0.25
C
16
b
D
8
合计
a
1
白
黑
黑
红
白
（白，黑）
（白，黑）
（白，红）
黑
（黑，白）
（黑，黑）
（黑，红）
黑
（黑，白）
（黑，黑）
（黑，红）
红
（红，白）
（红，黑）
（红，黑）
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
比赛成绩/分
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
参赛队个数
9
8
6
4
3
正
反
正
（正，正）
（正，反）
反
（反，正）
（反，反）
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC