2023年上海市徐汇区中考数学一模试卷（含解析）

2023年上海市徐汇区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在中，，，下列四个选项，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列命题中假命题是(    )

A. 任意两个等腰直角三角形都相似
B. 任意两个含内角的等腰三角形相似
C. 任意两个等边三角形都相似
D. 任意两个直角边之比为：的直角三角形相似

3.  如图，，若，则下面结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  二次函数的图象如图所示，点在轴的正半轴上，且，下列选项中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将抛物线经过下列平移能得到抛物线的是(    )

A. 向右平移个单位，向下平移个单位 B. 向左平移个单位，向下平移个单位
C. 向右平移个单位，向上平移个单位 D. 向左平移个单位，向上平移个单位

6.  如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  已知，则        ．

8.  计算：        ．

9.  两个相似三角形的对应边上的中线之比：，则这两个三角形面积之比为        ．

10.  大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”如图，为线段的黄金分割点；如果的长度为，那么叶片部分的长度是        ．

11.  如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、设，，试用、为实数的形式表示向量        ．

12.  小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上如图所示已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米那么观景台的高度为        米
 

13.  已知点、在抛物线上，则        填“”、“”或“”．

14.  小球沿着坡度为：的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是       

15.  计算：        ．

16.  如图，在由正三角形构成的网格图中，、、三点均在格点上，则的值为        ．

17.  如图，点是矩形纸片边上一点，如果沿着折叠矩形纸片，恰好使点落在边上的点处，已知，，那么折痕的长是        ．

18.  规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”例如，如图所示，在中，，，是斜边上的高，其中是等腰三角形，且和相似，所以是“和谐三角形”，直线为的“和谐分割线”请依据规定求解问题：已知是“和谐三角形”，，当直线是的“和谐分割线”时，的度数是        写出所有符合条件的情况

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
如图，在中，已知，点为边上一点，，，求的长．

20.  本小题分
如图，点在平行四边形的边的延长线上，且，与交于点设，．
用向量、表示向量；
求作：向量分别在向量、方向上的分向量．
不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量

21.  本小题分
已知二次函数．
用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点的坐标；
如果将该函数图象向右平移个单位，所得的新函数的图象与轴交于点、点在点左侧，与轴交于点，顶点为，求四边形的面积．

22.  本小题分
如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高为，宽为，点是的中点，连杆、的长度分别为和，，且连杆、与始终在同一平面内．
求点到水平桌面的距离；
产品说明书提示，若点与的水平距离超过的长度，则该支架会倾倒现将调节为，此时支架会倾倒吗？
参考数据：，，，

23.  本小题分
如图，已知是等边三角形，、分别是边、上的点，且在的延长线上取点，使得，联结．
求证：；
求证：．

24.  本小题分
已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与轴相交于点．
求抛物线的表达式；
点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴，垂足为点，直线与直线相交于点．
当时，求点的坐标；
联结，过点作直线的平行线，交轴于点，当时，求点的坐标．

25.  本小题分
如图，已知菱形，点在边上，，交对角线于点．
求证：∽；
如图，联结．
当为直角三角形时，求的大小；
如图，联结当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图，根据勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、任意两个等腰直角三角形都相似，正确，故A不符合题意；
B、任意两个含内角的等腰三角形不一定相似，故B符合题意；
C、任意两个等边三角形都相似，正确，故C不符合题意；
D、任意两个直角边之比为：的直角三角形相似，正确，故D不符合题意．
故选：．
由相似三角形的判定方法，即可判断．
本题考查相似三角形的判定，等边三角形，等腰直角三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，得，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
根据已知条件得不出，故C符合题意；
由，得，故D不符合题意；
故选：．
已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：、二次函数的图像开口向下，，故A不符合题意；
B、当时，，故B不符合题意；
C、当时，故C不符合题意；
D、抛物线的对称轴是直线，由，得到，故D符合题意．
故选：．
由二次函数的图像和性质，即可判断．
本题考查二次函数的图像与系数的关系，关键是掌握：二次函数的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位，向下个单位得到抛物线．
故选：．
由图象平移的，上加下减，左加右减的法则，即可得到答案．
本题考查二次函数图象与几何变换，关键是掌握函数图象平移的方法：上加下减，左加右减．
 

6.【答案】 

【解析】解：过作交延长线于，
，
平分，
，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
令，则，，
∽，
：：：：，
，
故A正确．
，
：：：：，
，
故B正确．
，，
∽，
，
故C正确．
，和不一定相等，
不一定等于．
故选：．
过作交延长线于，由条件可以证明≌，得到，，由∽，再由平行线分线段成比例，即可解决问题．
本题考查角的平分线，相似三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造相似三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由题干可得，再把代入式子即可解得答案．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
由平面向量的加减运算法则，即可计算．
本题考查平面向量，关键是掌握平面向量的加减运算方法．
 

9.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的对应边上的中线之比：，则这两个相似三角形的相似比是：，
这两个三角形面积之比为：：．
故答案为：：．
由相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
由黄金分割的定义，即可计算．
本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的定义．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，
为的重心，
：：，
，
：：：，
∽，
：：：，
，
，
．
故答案为：．
由三角形重心的性质，相似三角形的判定和性质，平面向量的减法公式，即可求解．
本题考查平面向量，三角形的重心，关键是掌握平面向量的有关公式．
 

12.【答案】 

【解析】解：作于，交于，

米，米，
米，米，
，
∽，
：：，
：：，
米，
米，
观景台的高度为米．
故答案为：．
作于，交于，由∽，求出的长，即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，关键是通过辅助线构造相似三角形．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴是直线，，
抛物线在对称轴是直线左侧时，图象上升，随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
由开口向下的抛物线的性质：抛物线在对称轴左侧时，图象上升，随的增大而增大，即可判断．
本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，关键是掌握：二次函数的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：设坡面的铅直高度是和水平宽度是，
：：：，
令，则，
，
，
，
．
故答案为：．
坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比，由此即可计算．
本题考查解直角三角形的应用坡度，关键是掌握坡度的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
把特殊角的三角函数值，代入原式即可计算
本题考查特殊角的三角函数值，关键是要熟记特殊角的三角函数值，
 

16.【答案】 

【解析】解：令正三角形的边长是“”，
，，
，
．
故答案为：．
由等边三角形的性质，求出长，由勾股定理求出长，由锐角的正弦定义即可计算．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，关键是掌握三角函数定义．
 

17.【答案】 

【解析】解：矩形中，，
，
，

由题意得：，
令，则，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由锐角的正切求出的长，由勾股定理求出的长，由轴对称的性质，勾股定理列出关于的方程，求出长，由勾股定理即可求出的长．
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

18.【答案】或或或． 

【解析】解：若是等腰三角形，与相似，
如图，

当，时，
，
，
如图，

当，时，
，
，
当是等腰三角形，与相似时，
如图，

当，时，
，
，
如图，

当，时，
，
设，
，
，
，
，
综上所述：或或或，
故答案为或或或．
分为是等腰三角形，与相似及是等腰三角形，与相似；当是等腰三角形时，又分为和两种；当是等腰三角形时，也分为和两种进行讨论．
本题考查了等腰三角形的分类，相似三角形的判定等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类．
 

19.【答案】解：，
，
令，，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】令，，由的正弦得到，是等腰直角三角形，，得到，求出的值，即可得到答案．
本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．
 

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
；
过作，交于，交于，
向量分别在向量、方向上的分向量是向量和向量． 

【解析】由平面向量的三角形法则，即可计算；
由平面向量的平行四边形法则，即可作图．
本题考查平面向量，平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质，平面向量的运算法则．
 

21.【答案】解：


，
，
，
图象开口向下，
则对称轴，顶点坐标为；
根据题意可得平移后的解析式为：，
顶点坐标为，即，
当时，即，解得：，，
新函数的图像与轴交于点、点在点左侧，
，，
当是，，
点的坐标为，
如图所示

，
四边形的面积为． 

【解析】利用配方法把一般式配成顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标，根据即可得出图象开口向下；
根据题意先求出平移后的抛物线的解析式，即可写出顶点的坐标，求出当时对应的值，即可写出点、的坐标，求出当时对应的值，即可求出点的坐标，然后根据坐标画出图象，即可求出四边形的面积．
本题考查的是二次函数的图像与性质，解题关键是掌握二次函数顶点式的配法．
 

22.【答案】解：作于，于，
，
，
，
．
点到水平桌面的距离是；
作交延长线于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
此时支架不会倾倒． 

【解析】作于，于，由锐角的正弦求出的长，即可解决问题；
作交延长线于，作于，由锐角的余弦求出的长，而，即可求出的长，从而解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，关键是通过辅助线构造直角三角形．
 

23.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
：：，
∽，
，
，
．
连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
． 

【解析】由条件可以证明∽，得到，又，；
由证明条件可以≌，得到，因此，即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线经过点、，
，
，
抛物线的表达式：；
过作于，
，
，
，
，
，
，
令，则，，，
的坐标是，
在抛物线上，
，
或舍，
的坐标是；
，
，
，，
，
，
，
，
，
在抛物线上，
设，
，
，
，
，
或舍，
当时，，
的坐标是 

【解析】抛物线经过点、，把，坐标代入抛物线解析式，求出，的值即可；
过作于，由，得到：：，令，表示出的坐标，代入函数关系式求出的值即可；
由条件得到，推出，由，得到，设出的坐标，得到，求出的值即可得到答案．
本题考查二次函数的综合知识，熟练掌握几何知识，二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
菱形是轴对称图形，
，
令，则，
当时，，
，
；
当时，，
，不符合题意；
当时，，
，
，
当为直角三角形时，或；
连接交于，交于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，，，
，
，
垂直平分，
，
∽，
：：，
，
设，菱形边长是，
，
，或舍，
，
，
．
的值是． 

【解析】由菱形的性质，三角形外角的性质即可证明；
分情况讨论，即可求出的度数；
由条件可以证明垂直平分，得到，由∽，设，菱形边长是，得到，求出，即可解决问题．
本题考查相似形综合题，熟练掌握菱形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．