初二数学人教版春季班 第4讲 平行四边形--尖子班 试卷

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初二数学人教版下册春季班

第4讲 平行四边形


知识点1、平行四边形的性质
1. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 平行四边形的性质
①平行四边形的对边平行且相等
②平行四边形的对角相等
③平行四边形的对角线互相平分
如图，已知▱ABCD.

则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;
②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;
③OA=OC,OB=OD.
拓展：①平行四边形的邻角互补；
②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.
3. 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.

EF是平行线AB，CD之间的距离.
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.
【典例】
例1（2020春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．
（1）求证：DF＝BE；
（2）若DF=34，AD＝32，求四边形ADEB的周长．

【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，
∴∠FED＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠FED＝90°，∠ADE＝∠ABC＝45°，
∴AE＝DE，
∵CE＝AF，
∴AB＝EF，
△FDE和△BEA中，DE=AE∠FED=∠BAEEF=AB，
∴△FDE≌△BEA（SAS），
∴DF＝BE；
（2）在Rt△ADE中，AE＝DE，AD＝32，
由勾股定理得：DE＝3，
在Rt△FDE中，DE＝3，DF=34，
∴EF=DF2−DE2=(34)2−32=5，
由（1）知，AB＝EF＝5，BE＝DF=34，
∴四边形ADEB的周长为：AD+DE+BE+AB＝32+3+34+5＝8+32+34．

【方法总结】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得AB＝EF，DE＝AE，是解决问题的关键．
例2（2020春•南岗区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AG⊥BD于G，CH⊥BD于H．
（1）求证：OG＝OH；
（2）若∠BAC＝90°，∠AOD＝120°，请直接写出图中所有长度是OG长度2倍的线段．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，BO＝DO，
∴∠ABG＝∠CDH，
∵AG⊥BD，CH⊥BD，
∴∠AGB＝∠CHD＝90°，
在△ABG和△CDH中，
∠AGB=∠CHD∠ABG=∠CDHAB=CD，
∴△ABG≌△CDH（AAS），
∴BG＝DH，
∴BO﹣BG＝DO﹣DH，
∴OG＝OH；
（2）∵OG＝OH，
∴GH＝2OG，
∵∠AOD＝120°，AG⊥BD于G，
∴∠OAG＝30°，
∴CO＝AO＝2OG，
∴长度是OG长度2倍的线段为GH，AO，CO．

【方法总结】
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
【随堂练习】
1．（2020春•仪征市期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：BE∥DF．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠DAE＝∠BCF，
∵∠1＝∠DAE+∠ADE，∠2＝∠BCF+∠CBF，∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵在△ADE与△CBF中，∠DAE=∠BCFAD=BC∠ADE=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴BE∥DF．
2．（2020春•惠州期末）如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是　4　．

【解答】解：过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于点H，如图：

∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP+∠PDC＝∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，∠A＝∠CHQ＝90°，
∴△ADP≌△HCQ（AAS），
∴AD＝HC，
∵AD＝1，BC＝3，
∴BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故答案为：4．



知识点2、平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离
从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
（2）平行线间的距离处处相等．
【典例】
例1（2020•铜仁市）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　7或17　cm．
【解答】解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当AB，CD在EF同侧时，如图：

∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．
【方法总结】
本题考查了平行线之间的距离．解题的关键是掌握平行线之间的距离的定义，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．

例2（2020秋•平舆县期中）如图，AB∥DE，AB＝DE，过点A、D分别作BE的垂线，垂足为C、F．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD、线段CF与AD是否互相平分？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵AC⊥BE，DF⊥BE，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∠ACB=∠DFE∠B=∠EAB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（2）解：线段CF与AD互相平分，理由如下：
连接AD交CF于O，连接AF、CD，如图所示：
由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∵AC⊥BE，DF⊥BE，
∴AC∥DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴线段CF与AD互相平分．

【方法总结】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
【随堂练习】
1．（2019春•东湖区校级期中）已知直线a∥b，b∥c，a与b的距离为6cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为　8cm或4cm　．
【解答】解：如图，①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为6cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为6+2＝8（cm），
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为6cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为6﹣2＝4（cm），
综上所述，a与c的距离为8cm或4cm．
故答案为：8cm或4cm．


2．（2020秋•锦江区校级期中）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：BM＝DN；
（2）求证：四边形AECF为平行四边形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴CM＝AN，
∴BC﹣CM＝AD﹣AN，
即BM＝DN；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴∠EMB＝∠FND＝90°，
在△BME和△DNF中，
∠EBM=∠FDNBM=DN∠EMB=∠FND，
∴△BME≌△DBF（ASA），
∴EM＝DF，
∵四边形AMCN为平行四边形，
∴AM＝CN，AM∥CN，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．

知识点3、平行四边形的判定
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【典例】
例1（2020春•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE＝BF，则下列结论不一定正确的是（　　）

A．CF＝AE
B．OE＝OF
C．△CDE为直角三角形
D．四边形ABCD是平行四边形
【解答】解：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠DFC＝∠BEA＝90°，
∵DE＝BF，
∴DE﹣EF＝BF﹣EF，
即DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，CD=ABDF=BE，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），
∴CF＝AE，故选项A不符合题意；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC，
∵CF＝AE，
∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE＝OF，故选项B不符合题意；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
无法证明△CDE为直角三角形，故选项C符合题意；
故选：C．
【方法总结】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识；得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题关键．

例2（2020春•东坡区校级期中）在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t，当t为（　　）s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形？

A．2 B．3 C．6 D．2或6
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
故选：D．
【方法总结】
此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．

【随堂练习】
1．（2020春•钦州期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．当t＝　5　s时，四边形APQB是平行四边形．

【解答】解：由题意可得AP＝tcm，CQ＝2tcm，BQ＝15﹣2t（cm），
∵四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣2t，
∴t＝5，
故答案为：5．
2．（2020春•南召县期末）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，已知△ABC，A（2，3），B（﹣2，0），C（0，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为　（0，4）（4，2）（﹣4，﹣4）　．

【解答】解：如图，若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为D1（0，4）或D2（4，2）或D3（﹣4，4）（填一个即可）．
故答案为：（0，4）或（4，2）或（﹣4，4）．

知识点4、平行四边形性质与判定的综合
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
【典例】
例1（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在DC的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝210，求GF的长．

【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，BC＝EC，
∴∠ABF＝∠CBE，∠CBE＝∠E，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝210，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF=10，
在△ABF和△DEF中，∠ABF=∠E∠AFB=∠DFEAF=DF，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴BF＝EF＝6，AB＝DE，
∵AB＝CD，
∴AB＝CD＝DE=12CE=12BC=10，
∵FG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∴GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，
即（10）2﹣AG2＝62﹣（10+AG）2，
解得：AG=4105，
∴GF=(10)2−(4105)2=3105．
【方法总结】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
例2（2020春•渝中区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AC是它的一条对角线，过B、D两点作BH⊥AC，DG⊥AC，垂足分别为H、G，延长BH、DG分别交CD、AB于F、E．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）求证：△FCH≌△EAG．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
即DF∥BE，
∵BH⊥AC，DG⊥AC，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠FCH＝∠EAG，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE，
∴CF＝AE，
∵BH⊥AC，DG⊥AC，
∴∠AGE＝∠CHF＝90°，
∴△FCH≌△EAG（AAS）．
【方法总结】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【随堂练习】
1．（2020春•抚州期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值可以是　6或10或12　．

【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵P在AD上运动，
∴t≤151=15，即t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣15＝15﹣t，
解得：t＝6；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，
解得：t＝10；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣45＝15﹣t，
解得：t＝12；
故答案为：6或10或12．


2．（2020春•鹿城区校级期中）如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AE＝EF＝FC．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠CDE＝90°，DC＝8，DE＝6，求▱DEBF的周长．

【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即EO＝FO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵∠CDE＝90°，DC＝8，ED＝6，
∴CE=CD2+DE2=64+36=10，
∵EF＝CF，
∴DF=12CE＝5，
∴▱DEBF的周长＝2（DF+DE）＝2×（5+6）＝22．



综合运用
1．（2020春•碑林区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．（2020春•无棣县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24，CD＝8，则△ABO的周长是（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝8，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵AC+BD＝24，
∴AB+OA+OB
＝8+12AC+12BD
＝8+12
＝20，
∴△ABO的周长是20．
故选：D．
3．（2020春•中山市校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）

A．12cm B．14cm C．16cm D．28cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝14cm，
故选：B．

4．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC＝84°，则∠ADE的度数为　28°　．

【解答】解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝84°﹣x，
∴2x＝84°﹣x，
解得：x＝28°，
即∠ADE＝28°；
故答案为：28°．

5．（2020春•南岗区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝60°，则平行四边形的面积是　123　．

【解答】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
又∵∠EAF＝60°，
∴∠C＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠B＝∠D＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∵AB＝4，BC＝6，
∴BE＝2，
∴AE=42−22=23，
∴平行四边形的面积是：23×6＝123．
故答案为：123．

6．（2020春•亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，∠ADC＝118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝　62　度．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝118°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
则∠EDH＝28°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣28°＝62°．
故答案为：62．
8.
7. （2020春•沙坪坝区校级期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是BD的中点．点E、F在对角线AC上，连接DE、BF，DE∥BF，AE＝CF．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

【解答】证明：∵DE∥BF，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DEO与△BFO中∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
8.（2020秋•朝阳区校级月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O．
（1）求证：AD与BE互相平分；
（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求AB的长．

【解答】（1）证明：如图，连接BD、AE，
∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∠BAC=∠DEFBC=EF∠ACB=∠DFE，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分；
（2）解：∵FB＝CE，
∴BE＝2BF+FC，
∴BF=BE−FC2=8−22=3，
∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：AB=BC2−AC2=52−32=4．