高中数学高考专题20 不等式性质与基本不等式（解析版）

这是一份高中数学高考专题20 不等式性质与基本不等式（解析版），共20页。试卷主要包含了设，则的大小关系为，若，则，若，，则，若，且，则下列不等式成立的是，已知，且，则，已知定义在上的函数满足等内容，欢迎下载使用。

大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点66不等式性质及其应用
1．（2020全国I理14）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解析】设，则为增函数，∵，
∴，
∴，∴．
∴，
当时，，此时，有；当时，，此时，有，∴C、D错误，故选B．
2．（2020天津6）设，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】D【解析】由题知，，易知函数在上单调递增，所以，所以，故选D．
3．（2019•新课标Ⅱ，理6）若，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取，，则，排除；，排除；
，故对；，排除．故选．
4．（2016•新课标Ⅰ，理8）若，，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，函数在上为增函数，故，故错误，
∵函数在上为减函数，故，故，即；故错误；
∵，且，，即，即．故错误；
，故，即，即，故正确；故选．
5．（2016•新课标Ⅰ，文8）若，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，故正确；当时，，故错误；，故错误；，故错误，故选．
6．（2017山东）若，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：取，，则，，，所以， 选B．
解法二：由题意，，所以，，又，所以，所以，故， 选B．
7．(2016年北京)已知，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，选项A，取，则，排除A；
选项B，取，则，排除B；
选项D，，则，排除D，故选C．
8．（2014山东）若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，又，由不等式性质知：，所以，故选D．
9．（2014四川）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，此时大小不定，排除A，B；由正弦函数的性质，可知C不成立；故选D．
10．（2014辽宁）已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有．
若对所有，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】不妨设，当时，；
当时，
，∴．
考点67 不等式解法
1．（2019•新课标Ⅰ，理1）已知集合，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，故选．
2．（2019•新课标Ⅱ，理1）设集合，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，或，，
则，故选．
3．（2019•新课标Ⅲ，理1）已知集合，0，1，，，则
A．，0，B．，C．，D．，1，
【答案】A
【解析】因为，0，1，，，所以，0，，故选．
4．（2018•新课标Ⅰ，文12）设函数，则满足的的取值范围是
A．，B．C．D．
【答案】D
【解析】函数，的图象如图，满足，可得：或，解得，故选．
5．（2017•新课标Ⅰ，理1）已知集合，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知，，，故正确，错误；
，故和都错误，故选．
6．（2016•新课标Ⅰ，理1）设集合，，则
A．B．C．D．，
【答案】D
【解析】集合，，，，，故选．
7．（2016•新课标Ⅱ，理2）已知集合，2，，，，则等于
A．B．，C．，1，2，D．，0，1，2，
【答案】C
【解析】集合，2，，，，，，1，2，，故选．
8．（2016•新课标Ⅱ，文1）已知集合，2，，，则
A．，，0，1，2，B．，，0，1，
C．，2，D．，
【答案】D
【解析】集合，2，，，，，故选．
9．（2016•新课标Ⅲ，理1）设集合，，则
A．，B．，， C．，D．，，
【答案】D
【解析】由题知，，，，，，，故选．
10．（2015•新课标Ⅱ，理1）已知集合，，0，1，，，则（ ）
A．，B．，C．，0，D．，1，
【答案】A
【解析】，，，0，1，，，，故选．
11．（2014新课标Ⅰ，理1）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=
．[-2，-1] ．[-1，2） ．[-1，1] ．[1，2）
【答案】A
【解析】∵A=，∴=[-2，-1]，故选A．
12．（2014新课标Ⅱ，理1）设集合M=｛0，1，2｝，N=，则=( )
A．｛1｝ B． ｛2｝ C． ｛0，1｝ D． ｛1，2｝
【答案】D
【解析】∵，∴，故选D．
13．（2013新课标Ⅰ，理1）已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－ eq \r(5)＜x＜ eq \r(5)｝，则 ( )
A、A∩B= B、A∪B=R C、B⊆AD、A⊆B
【答案】B
【解析】A=(-，0)∪(2，+)， ∴A∪B=R，故选B．
14．（2013新课标Ⅱ，理1）已知集合M={∈R|}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=
A．{0，1，2} B．{-1，0，1，2} C．{-1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
【答案】A
【解析】M=(-1，3)， ∴M∩N={0，1，2}，故选A．
15．（2012•新课标，文1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1（A）A eq \(,)B （B）B eq \(,)A （C）A=B （D）A∩B=
【答案】B
【解析】A=（－1，2），故B eq \(,)A，故选B．
16．（2017山东）设函数的定义域，函数的定义域为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，由得，故，选D．
17．（2012•新课标，文11）当0<≤ eq \f(1,2)时，，则a的取值范围是
（A）(0， eq \f(\r(2),2)) （B）( eq \f(\r(2),2)，1) （C）(1， eq \r(2)) （D）( eq \r(2)，2)
【答案】A
【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选A．
18．（2015山东）已知集合，，则=
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【答案】C
【解析】．
19．（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x(单位m)的取值范围是
A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为，则，所以，又，所以，即，解得．
20．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，
且，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵由 ()，得，即，∴，∵，∴．故选A．
21．（2017•新课标Ⅲ，理15）设函数，则满足的的取值范围是 ．
【答案】，
【解析】若，则，则等价为，即，则，此时，
当时，，，
当即时，满足恒成立，
当，即时，，
此时恒成立，综上．
22．（2014新课标I，文15）设函数则使得成立的的取值范围是________．
【答案】
【解析】原不等式等价于或，解得，故的取值范围是．
23．（2017江苏）记函数 的定义域为．在区间上随机取一个数，则 的概率是 ．
【答案】
【解析】由，解得，根据几何概型的计算公式得概率为
24．（2014江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得．
25．（2013重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解析】不等式对恒成立，
则有
即．
∴．∴．
又，结合下图可知，∈．
26．（2013江苏）已知是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集用区间表示为 ．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出 ()的图像，如下图所示．由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像．不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．
27．（2013四川）已知的定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是____________．
【答案】(－7，3)
【解析】当≥0时，令，解得，．又因为为定义域为R的偶函数，则不等式等价于，即－7＜＜3；故解集为(－7，3)．
28．（2012福建）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】(0，8)
【解析】因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．
29．（2012江苏）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ．
【答案】9
【解析】因为的值域为[0，+∞），所以即，所以的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得=9．
30．（2012江西）不等式的解集是___________．
【答案】
【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可．
31．(2018浙江)已知，函数，当时，不等式的解集是___________．若函数恰有2个零点，则的取值范围是___________．
【答案】；
【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．
考点68 基本不等式应用
1．（2020全国3文12）已知函数，则( )
A． 的最小值为2B． 的图像关于轴对称
C． 的图像关于直线对称D． 的图像关于直线对称
【答案】D【解析】由题意得．对于A，当时，，当且仅当时取等号；当时，，当且仅当时取等号，所以A错误．对于B，，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误．对于C，，，则，的图象不关于直线对称，所以C错误．对于D，，，所以，的图象关于直线对称，所以D正确．故选D．
2．（2020山东11）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D ．
【答案】ABD
【思路导引】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．
【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确，故选：ABD．
3．（2020上海13）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；，即恒成立，故B正确；当时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确，故选B．
4．（2013四川）已知函数在时取得最小值，则__．
【答案】
【解析】因为，，当且仅当，即，解得．
5．（2015陕西）设，，若，，
，则下列关系式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，又在上单调递增，故，即，∵= == ==，∴．
6．（2015北京）设是等差数列．下列结论中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】若是递减的等差数列，则选项都不一定正确．若为公差为0的等差数列，则选项D不正确．对于C选项，由条件可知为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得，由基本不等式得，所以C正确．
7．（2014重庆）若的最小值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，且，可知，所以()，，当且仅当时取等号．
8．（2013福建）若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，
所以，当且仅当，即时取等号．
9．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，
的最大值为
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】由，得．
所以，当且仅当，
即时取等号此时，．
，
故选B．
10．（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】由得，
，
当且仅当即时，有最小值1，
将代入原式得，
所以，
当时有最大值2．故选C．
11．（2012浙江）若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】，∴，∴ ．
12．（2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则
A． B．= C．<< D．=
【答案】A
【解析】设从甲地到乙地所走路程为，则．
∵ ，∴ ，∴．选A．
13．（2011陕西）设，则下列不等式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】（方法一）已知和，比较与，
因为，所以，同理由
得；作差法：，
所以，综上可得；故选B．
（方法二）取，，
则，，所以．
14．（2011上海）若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A取，此时，因此A不正确；对于B取
，此时，因此B不正确；对于C取，
此时，因此C不正确；对于D，∵，
∴，，∴，D正确．
15．（2020江苏12）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】，故，
当且仅当，即，时，取等号．∴．
16．（2020天津14）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【思路导引】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解．
【解析】，，
，当且仅当=4时取等号，结合，解得，或时，等号成立，故答案为：．
17．（2019天津理13）设，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，，，
则；
由基本不等式，（当且仅当时，即，且时，即或时，等号成立）．
故的最小值为．
18．(2018天津)已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，得，所以=≥==，当且仅当，即时等号成立．
19．(2017北京)已知，，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题意，，且，又时，，时，，当时，，所以取值范围为．
20．（2017天津）若，，则的最小值为___________．
【答案】4
【解析】 ，当且仅当，且，即时取等号．
21．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是 ．
【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
22．（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，∴
①当时，，
所以的最大值，即（舍去）
②当时，，此时命题成立．
③当时，，则
或，
解得或，
综上可得，实数的取值范围是．
23．（2014浙江）已知实数满足，，则的最大值是__
【答案】
【解析】由得，，则
，又，所以，解得，故的最大值为．
24．（2014辽宁）对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 ．
【答案】－1
【解析】设最大，则必须同号，
因为，
故有，，当且仅当时取等号，此时，
所以=．
25．（2014辽宁）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为 ．
【答案】－2
【解析】 设，则，因为，
所以将代入整理可得①，
由解得，当取得最大值时，，
代入①式得，再由得，
所以．
当且仅当时等号成立．
26．（2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为．
（Ⅰ）如果不限定车型，，则最大车流量为 辆/小时；
（Ⅱ）如果限定车型，，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时．
【答案】1900 100
【解析】（Ⅰ），当且仅当时等号成立．
（Ⅱ），当且仅当时等号成立．
．
27．（2013天津）设a + b = 2， b>0， 则当a = 时， 取得最小值．
【答案】－2
【解析】∵=
当且仅当，即时取等号
故取得最小值时，
28．（2013四川）已知函数在时取得最小值，则__．
【答案】
【解析】因为，，当且仅当，即，解得．
29．（2011浙江）若实数满足，则的最大值是____．
【答案】
【解析】∵，∴，即，∴，．
30．（2011湖南）设，则的最小值为 ．
【答案】9
【解析】由柯西不等式可知．年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2012
文11
不等式解法
利用指数函数与对数函数的图像与性质解不等式及数形结合思想
2013
卷2
理1[来源:学.科.网]
不等式解法[来源:Z。xx。k.Cm]
一元二次不等式解法、集合运算
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系
2014
卷2
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷1
文15
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
2015
卷2
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2016
卷3
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
文1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
理2
不等式解法
一元二次不等式解法及并集运算
卷1
文8
不等式性质及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质
卷1
理8
不等式性质及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2017
卷3
理15
文16
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
卷1
理1
不等式解法
简单指数不等式解法及集合并集、交集运算
2018
卷1
文12
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，数形结合思想及转化与化归思想
2019
卷1
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷2
理6
不等式性质及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质．
卷3
理1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2020
卷1
理14
不等关系
指数函数、对数函数的单调性，数式的大小比较
卷3
文12
三角函数，基本不等式
三角函数图象及其性质，均值不等式
考 点
出现频率
2021年预测
考点66不等式性质及其应用
3/22
2021年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法，基本不等式的多在解析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题．
考点67不等式解法
19/22
考点68基本不等式
0/22