人教版高中数学高考一轮复习训练--等式的性质与不等式的性质、基本不等式

考点规范练3　等式的性质与不等式的性质、基本不等式

一、基础巩固

1.已知a>b,c>d,且c,d都不为0,则下列不等式成立的是(　　)

A.ad>bc B.ac>bd

C.a-c>b-d D.a+c>b+d

2.若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是 (　　)

A.24 B.28

C.25 D.26

3.设a,b∈[0,+∞),A=,B=,则A,B的大小关系是(　　)

A.A≤B B.A≥B

C.A<B D.A>B

4.(多选)下列函数中,最小值为2的是(　　)

A.y=x2+2x+3  B.y=ex+e-x

C.y=sin x+,x∈ D.y=3x+2

5.(多选)已知6<a<60,15<b<18,则下列结论正确的是(　　)

A. B.a+2b∈(21,78)

C.a-b∈(-12,45) D.

6.若两个正实数x,y满足=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)

C.(-2,4) D.(-4,2)

7.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则的最小值为　　　　　. 

二、综合应用

8.(多选)若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是(　　)

A.ab有最大值 B.有最大值

C.有最小值2 D.a2+b2有最大值

9.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(　　)

A.a<v< B.v=

C.<v< D.v=

10.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　　. 

12.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是　　　　　. 

13.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　　. 

14.已知实数x,y满足-1<x+y<4,2<x-y<3,则3x+2y的取值范围是　　　　　. 

15.已知x>0,a为大于2x的常数.

(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;

(2)求y=-x的最小值.

三、探究创新

16.若不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤2 B.a≥2

C.a≤ D.a≤

17.设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值为　　　　　. 

考点规范练3　

等式的性质与不等式的性质、基本不等式

1.D　由不等式的同向可加性得a+c>b+d.

2.C　∵正数x,y满足=1,∴3x+4y=(3x+4y)=13+13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.

3.B　由题意知B2-A2=-20,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.

4.AB　A选项中,y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当且仅当x=-1时取等号.故A正确.

B选项中,y=ex+e-x≥2=2,当且仅当x=0时取等号.故B正确.

C选项中,y=sin x+2=2.取等号时sin x=,又x,故不可能成立.故C错误.

D选项中,因为3x>0,所以y=3x+2>2.故D错误.

5.AC　因为15<b<18,又6<a<60,所以根据不等式的性质可得6<a<60,即<4,故A正确;

因为30<2b<36,所以36<a+2b<96,故B错误;

因为-18<-b<-15,所以-12<a-b<45,故C正确;

+1,故D错误.

6.D　因为x>0,y>0,=1,所以x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y时等号成立.

由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,

即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.

7.4　∵ab=1,∴b=

令+a=t>0,则原式=2=2=4.

当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时+a=4.

8.AB　对于选项A,ab,当且仅当a=b=时取等号.故A正确.

对于选项B,()2=a+b+2a+b+a+b=2,

故,当且仅当a=b=时取等号.故B正确.

对于选项C,(a+b)=2+2+2=4,当且仅当a=b=时取等号.所以有最小值4.故C错误.

对于选项D,由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1≤a2+(a2+b2)+b2,即a2+b2,当且仅当a=b=时取等号.故a2+b2有最小值故D错误.

9.A　设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为,

从而v=

∵0<a<b,=a,

,即,∴a<v<

10.D　令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;

令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.

11　因为2a>0,>0,所以2a+=2a+2-3b≥2=2,当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.

因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.

所以2a+2,即2a+的最小值为

12.(-∞,-1)　由ab2>a>ab,得a≠0.

当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;

当a<0时,有b2<1<b,即无解.

综上可得b<-1.

13　∵5x2y2+y4=1,∴y≠0,且x2=,

∴x2+y2=+y2=2,当且仅当,即x2=,y2=时取等号.

∴x2+y2的最小值为

14　令3x+2y=m(x+y)+n(x-y),

则解得

即3x+2y=(x+y)+(x-y).

由于-1<x+y<4,2<x-y<3,

则-(x+y)<10,1<(x-y)<,

所以-(x+y)+(x-y)<,

即-<3x+2y<

15.解 (1)由于x>0,a>2x,则y=x(a-2x)=2x(a-2x),当且仅当x=时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为

(2)由于x>0,a>2x,则y=-x=2,当且仅当x=时取等号.

故y=-x的最小值为

16.A　因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2-a+1≥0.令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.

由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈,2,

即2t2-at+1≥0在t∈,2时恒成立.

由2t2-at+1≥0可得a,

即a≤2t+又2t+2=2,

当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+的最小值为2,所以有a≤2,故选A.

17.27　令(xy2)n,则x3·y-4=x2m+n·y2n-m,

所以解得m=2,n=-1,所以(xy2)-1,由于49,3≤xy2≤8,则1681,,所以(xy2)-1∈[2,27],故的最大值为27.