2022年中考数学一轮复习第7讲《一元二次方程》讲学案

中考数学一轮复习第7讲《一元二次方程》

【考点解析】

题型一   一元二次方程的有关概念

【例题】（2014•湖南张家界）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k=　 　．

【解析】将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．

解答根据题意，得

（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，

解得k=1；

故答案是：1．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【变式】

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（       ）

A．2x2＝0            B．4x2＝3y

C．x2＋＝－1       D．x2＝(x－1)(x－2)

【答案】A

【解析】A、满足一元二次方程的条件，所以正确；B、是二元二次方程，所以错误；C、是分式方程；所以错误；D、整理得：3x-2=0，所以错误；故选A.

2.（四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4

【解析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．

【解答】解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：

4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，

左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，

∴a﹣1=0，或a+4=0，

解得：a=1或﹣4，

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

题型二   一元二次方程的解法 

【例题】（湖北鄂州）方程x2－3=0的根是       

【答案】x1=，x2= -．

【解析】移项得x2=3，开方得x1=，x2= -．

【变式】（•重庆A8，4分）一元二次方程的根是（     ）

A.     　　　 B.   

C.             D.

【解析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】，

     x （x ﹣2 ）=0 ，

     x=0 ，x ﹣2=0 ，

     X1 =0 ，x2 =2 ，

     故选D ．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．

题型三   一元二次方程根的判别式的应用

【例题】（广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，

∴，即，

解得：k＜5且k≠1．

故选B．

【变式】

1.（贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（　　）

A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2

【分析】根据判别式的意义，当b=﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．

【解答】解：△=b2﹣4，当b=﹣1时，△＜0，方程没有实数解，

所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题的反例．

故选C．

2 .（云南昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

【考点】根的判别式．

【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．

【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，

△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，

∴该方程有两个相等的实数根．

故选B．

题型四   一元二次方程根与系数的关系

【例题】2. （江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（　　）

A．2   B．1    C．﹣2     D．﹣1

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．

【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，

∴αβ=，

故选D．

【变式】

若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（  ）

A．x2+3x﹣2=0    B．x2﹣3x+2=0    C．x2﹣2x+3=0   D．x2+3x+2=0

【答案】B．

【解析】

试题分析：两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．

A、两根之和等于﹣3，两根之积却等于﹣2，所以此选项不正确．

B、两根之积等于2，两根之和等于3，所以此选项正确．

C、两根之和等于2，两根之积却等3，所以此选项不正确．

D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确．

故选B．

题型五   用一元二次方程解实际问题 

【例题】（湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20

C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，年约为28.8万人次”，可得出方程．

【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，

故选C．

【变式】

1．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增长到长边相等（长边不变），使扩大后的棣地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（  ）

（A） x(x-60)=1600  (B) x(x+60)=1600   (C) 60(x+60)=1600  (D) 60(x-60)=1600

【答案】A

【解析】

试题分析：根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为x米和(x－60)米，根据长方形的面积计算法则列出方程.

2.据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？

【答案】（1）20%；（2）8640万人次

【解析】

试题分析：（1）本题考查了一元二次方程的应用，可以套用增长率问题的模型，第一年的产量是a，n年后的产量是b，若平均每年的增长率是x，则有，将相关的数据对应代入即可得到符合题意的方程；

（2）将（1）中求得的增长率x代入到式子7200（1＋x）中，即可得到结果.

试题解析：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，由题意得

5000（1＋x）2 ＝7200

解得 x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝﹣2.2 （不合题意，舍去）

答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，

则2012年我国公民出境旅游总人数为7200（1＋x）＝7200×120%＝8640万人次

答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次.

【典例解析】

1.（河南）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　   　．

【考点】根的判别式；解一元一次不等式．

【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，

∴△=32﹣4×1×（﹣k）=9+4k＞0，

解得：k＞﹣．

故答案为：k＞﹣．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．

2.（四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为　     　．

【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．

【解答】解：由题意可得，

100（1+x）2=169，

故答案为：100（1+x）2=169．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程．

【中考热点】

1. （山东潍坊）关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．

【考点】根与系数的关系．

【分析】由于x=是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．

【解答】解：设方程的另一根为t．

依题意得：3×（）2+m﹣8=0，

解得m=10．

又t=﹣，

所以t=﹣4．

综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．

2.（广西百色·10分）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．

（1）求这地面矩形的长；

（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可；

（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．

【解答】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：

x（20﹣x）=96，

解得x1=12，x2=8（舍去），

答：这地面矩形的长是12米；

（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96×（0.80×0.80）×55=8250（元）．

规格为1.00×1.00所需的费用：96×（1.00×1.00）×80=7680（元）．

因为8250＜7680，

所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少

3．（湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；

（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可．

（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．

【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，

∴x≥0且x≠1，

又∵x=≥0，且≠1，

∴解得k≥﹣1且k≠1，

又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，

∴k≠2，

综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；

（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，

∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，

∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，

∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），

∵x1、x2是整数，k、m都是整数，

∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣，

∴1﹣为整数，

∴m=1或﹣1，

∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，

x2﹣3x=0，

x（x﹣3）=0，

x1=0，x2=3；

把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，

x2﹣3x+2=0，

（x﹣1）（x﹣2）=0，

x1=1，x2=2；

（3）|m|≤2不成立，理由是：

由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，

∵k是负整数，

∴k=﹣1，

（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，

∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，

x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），

x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，

x12+x22═x1x2+k2，

（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，

（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，

（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，

m2﹣4=1，

m2=5，

m=±，

∴|m|≤2不成立．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．