高中数学高考课后限时集训22 同角三角函数的基本关系与诱导公式 作业

　　　　　　　　　同角三角函数的基本关系与诱导公式

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一、选择题

1．若＝，则tan θ＝(　　)

A．1　　　　B．－1　　　　C．3　　　　D．－3

D　[因为＝＝，

所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，

所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.]

2．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－  B.  C.  D．－

D　[∵tan α＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－，故选D.]

3．已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值是(　　)

A.   B.

C.   D．－

B　[sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝.]

4．若θ∈(，π)，则等于(　　)

A．sin θ－cos θ   B．cos θ－sin θ

C．±(sin θ－cos θ)   D．sin θ＋cos θ

A　[因为

＝＝

＝|sin θ－cos θ|，

又θ∈(，π)，所以sin θ－cos θ＞0，

所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.]

5．(2019·武汉模拟)cos(－θ)＝，则sin(＋θ)等于(　　)

A.   B.

C．－   D．－

A　[sin(＋θ)＝sin[－(－θ)]

＝cos(－θ)＝.]

二、填空题

6．sin π·cos π·tan(－π)的值是________．

－　[原式＝sin(π＋)·cos(π－)·tan(－π－)

＝(－sin )·(－cos )·(－tan )

＝(－)×(－)×(－)＝－.]

7．若角α的终边落在第三象限，则＋＝________．

－3　[由角α的终边落在第三象限，

得sin α＜0，cos α＜0，

故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.]

8．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________．

　[因为tan A＝＞0，所以A为锐角，

由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，

可求得sin A＝.]

三、解答题

9．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin 2α.

[解]　由已知得sin α＝2cos α.

(1)原式＝＝－.

(2)原式＝

＝＝.

10．已知α为第三象限角，

f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)的值．

[解]　(1)f(α)＝

＝＝－cos α.

(2)因为cos＝，所以－sin α＝，

从而sin α＝－.

又α为第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以f(α)＝－cos α＝.

1．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为(　　)

A．－1  B．1  C．3  D．－3

D　[∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)

＝asin α＋bcos β＝3，

∴f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)

＝－asin α－bcos β＝－3.]

2．(2019·长春模拟)已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ的值为(　　)

A.  B．－  C.  D.

C　[∵sin θ－2cos θ＝－，∴sin θ＝2cos θ－，

∴(2cos θ－)2＋cos2θ＝1，

∴5cos2θ－cos θ－＝0，

即(cos θ－)(5cos θ＋)＝0.

又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝，

∴sin θ＝，∴sin θ＋cos θ＝.]

3．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝________．

0　[原式＝cos α＋sin α

＝cos α＋sin α，

因为α是第二象限角，

所以sin α＞0，cos α＜0，

所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，

即原式等于0.]

4．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．

(1)求＋的值；

(2)求m的值；

(3)求方程的两根及此时θ的值．

[解]　(1)由根与系数的关系可知

而＋＝＋

＝sin θ＋cos θ＝.

(2)由①两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，将②代入，得m＝.

(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，

则或

∵θ∈(0，2π)，∴θ＝或θ＝.

1．已知α，β∈(0，)，且sin(π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)，则α＝________，β＝________．

　　[由已知可得

∴sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，又α∈(0，)，

∴sin α＝，α＝.

将α＝代入①中得sin β＝，又β∈(0，)，

∴β＝，

综上α＝，β＝.]

2．已知cos(－α)＋sin(＋β)＝1.

求cos2(π＋α)＋cos β－1的取值范围．

[解]　由已知得cos β＝1－sin α.

∵－1≤cos β≤1，

∴－1≤1－sin α≤1，

又－1≤sin α≤1，

可得0≤sin α≤1，

∴cos2(π＋α)＋cos β－1

＝sin2α＋1－sin α－1＝sin2α－sin α

＝(sin α－)2－.(*)

又0≤sin α≤1，

∴当sin α＝时，(*)式取得最小值－，

当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，

故所求范围是[－，0]．