高中数学高考考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式（解析版）

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考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式【命题解读】理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(kZ)，－α，π±α，±α]．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明【基础知识回顾】  1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．诱导公式 一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsin α－sin α－sin αsin_αcos_αcos_αcos α－cos αcos α－cos_αsin_α－sin_αtan αtan α－tan α－tan_α   3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法． 4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sin＝sin＝cos；cos＝cos＝sin.1、是第三象限角，且，则（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是第三象限角，且，所以，所以，故选B。2、已知，则（   ）A． B．6 C． D．【答案】B【解析】化简所以，故选B。3、sin 600°＋tan 240°的值为（     ） A.  B.  C.  D. 【答案】：C【解析】：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－＋＝．4、已知sin＝，则cos等于(　　)A.   B.  C．－  D．－【答案】：B【解析】：因为sin＝，所以cos＝sin＝sin＝.5、化简：的值为（     ） A.  B.  C.  D. 【答案】：B【解析】：原式＝＝＝＝－1．6、 sin ·cos ·tan的值为（     ） A.  B.  C.  D. 【答案】：　A【解析】：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.考向一　三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝．(1)若cos＝，求f(α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 【解析】：f(α)＝＝－cosα．(1) ∵ cos＝－sinα＝，∴ sinα＝－．∵ α是第三象限的角，∴ cosα＝－＝－．∴f(α)＝－cosα＝．(2) f(α)＝－cos(－1860°)＝－cos(－60°)＝－．变式1、角的终边在直线上，则（  ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角的终边在直线上，，则，故选C。变式2、 已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝__     __． 【答案】18【解析】　∵sin(3π＋θ)＝－sinθ＝，∴sinθ＝－，∴原式＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝18. 变式3、已知f(α)＝(sin α≠0且1＋2sin α≠0)，则f＝________.【答案】【解析】∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝. 方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二  同角函数关系式的运用例2　(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为_  __．(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为__ __．【答案】（1）－.（2）.【解析】　(1)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cosα＜0，∴cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.(2)∵＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.变式1、若3sinα＋cosα＝0，则＝   ___．【答案】.【解析】　(1)3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝. 变式2、(1)若tan(α－π)＝，则＝(　　)A.－   B.－2   C.   D.2(2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　)A.－   B.   C.－   D.【答案】　(1)D　(2)D【解析】(1)tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tan α＝，＝＝＝＝2.（2）sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，又tan θ＝2，故原式＝＝.方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三  同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值． 【解析】：因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)=．因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)= ．变式1、已知sin(3πα)=cos，cos(α)=cos(π+β)，0<α<π，0<β<π，求α，β的值． 【解析】：由已知等式可得sin α=sin β，①cos α=cos β．②两式平方相加，得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，则sin α=±．又因为0<α<π，所以sin α=，α=或．当α=时，由①②可得sin β=，cos β=，又0<β<π，所以β=;当α=时，由①②可得sin β=，cos β=-，又0<β<π，所以β=．故或．方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.         1、（2016新课标卷3，理5）若 ，则 (A)            (B)            (C)  1            (D) 【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A．2、（2016全国课标卷3，文6）若 ，则（      ）（A）    （B）      （C）     （D）【答案】D3、(2012江西)若，则tan2α=（  ）A．−        B．        C．−        D．【答案】B【解析】分子分母同除得：∴，∴ 4、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角． 【解析】　由已知得①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±.(1)当cosA＝时，cosB＝，又A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.(2)当cosA＝－时，cosB＝－.又A、B是三角形的内角，∴A＝π，B＝π，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝π.5、已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．【解析】　(1)原式＝＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝，故＋＝.(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝，又1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，可得m＝.(3)由得或又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝.