高中数学高考课后限时集训20 任意角、弧度制及任意角的三角函数 作业

任意角、弧度制及任意角的三角函数

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一、选择题

1．角－870°的终边所在的象限是(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

C　[由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．]

2．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)

A．(1，)   B．(，1)

C．(，)   D．(1,1)

D　[设P(x，y)，则sin α＝＝sin ，∴y＝1.

又cos α＝＝cos ，∴x＝1，∴P(1,1)．]

3．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)

A．－3   B．3

C.   D．±3

B　[sin θ＝＝，且m＞0，解得m＝3.]

4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)

A．2   B．4

C．6   D．8

C　[设扇形的半径为R，则×4×R2＝2，

∴R＝1，弧度l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.]

5．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)

A．小于0   B．大于0

C．等于0   D．不存在

A　[∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，

∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.]

二、填空题

6．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝        .

120°或－240°　[因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，

所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，

令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.]

7．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于        ．

　[设扇形半径为r，弧长为l，

则

解得]

8．函数y＝的定义域为        ．

　[利用三角函数线(如图)，

由sin x≥，可知

2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]

三、解答题

9．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．

(1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．

[解]　(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，

所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos  θ＝.

(2)当a＞0时，sin θ＝∈，

cos θ＝－∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；

当a＜0时，sin θ＝－∈，

cos θ＝∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．

10．已知sin α＜0，tan α＞0.

(1)求角α的集合；

(2)求终边所在的象限；

(3)试判断tan sin cos 的符号．

[解]　(1)因为sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合为

(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，

故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，

当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角．

当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，即是第四象限角，

综上，的终边在第二或第四象限．

(3)当是第二象限角时，

tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0，

故tan sin cos ＞0，

当是第四象限角时，

tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0，

故tan sin cos ＞0，

综上，tan sin cos 取正号．

1．点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为(　　)

A．(－，)   B．(－，1)

C．(－1，)   D．(1，－)

B　[由题意可知Q(2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))，

因为－2 010°＝－360°×6＋150°，

所以cos(－2 010°)＝cos 150°＝－，

sin(－2 010°)＝sin 150°＝.

∴Q(－，1)，故选B.]

2.(2019·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为        ．

4＋2　[由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.]

3.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是        ．

S1＝S2　[设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，

∴S1＝tm·r－S扇形AOB，

S2＝tm·r－S扇形AOB，

∴S1＝S2恒成立．]

4．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．

[解]　(1)由＝－，得sin α＜0，

由lg(cos α)有意义，可知cos α＞0，

所以α是第四象限角．

(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.

又α为第四象限角，故m＜0，

∴m＝－，sin α＝＝＝－.

1．已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是(　　)

A．若α，β是第一象限的角，则cos α＞cos β

B．若α，β是第二象限的角，则tan α＞tan β

C．若α，β是第三象限的角，则cos α＞cos β

D．若α，β是第四象限的角，则tan α＞tan β

D　[如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，

观察知当sin α＞sin β时，tan α＞tan β.

]

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；

(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

[解]　(1)由题意可得B，

根据三角函数的定义得tan α＝＝－.

(2)若△AOB为等边三角形，

则∠AOB＝，

故与角α终边相同的角β的集合为

(3)若α∈，

则S扇形＝αr2＝α，

而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，

故弓形AB的面积

S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.