高中数学高考解密15 导数与函数的单调性、极值、最值问题（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

这是一份高中数学高考解密15 导数与函数的单调性、极值、最值问题（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组 考点专练
一、选择题
1.函数f(x)＝ln x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝( )
A.－1 B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D.1
【答案】B
【解析】由f(x)＝ln x－ax，得f′(x)＝eq \f(1,x)－a，∴f(x)在x＝2处切线的斜率k＝f′(2)＝eq \f(1,2)－a.依题意eq \f(1,2)－a＝a，
所以a＝eq \f(1,4).
2.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
【答案】D
【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.
3.已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－eq \f(x,e)，则f(x)的极大值点为( )
A.eq \f(1,e) B.1 C.e D.2e
【答案】D
【解析】因为f(x)＝2ef′(e)ln x－eq \f(x,e)(x＞0)，
所以f′(x)＝eq \f(2ef′（e）,x)－eq \f(1,e)，所以f′(e)＝eq \f(2ef′（e）,e)－eq \f(1,e)＝2f′(e)－eq \f(1,e)，
因此f′(e)＝eq \f(1,e)，所以f′(x)＝eq \f(2,x)－eq \f(1,e)，
由f′(x)＞0，得0＜x＜2e；由f′(x)＜0，得x＞2e.
所以函数f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，
因此f(x)的极大值点为x＝2e.
4.已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－eq \f(2,3)，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为( )
A.－3e B.－2e C.e D.2e
【答案】B
【解析】由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，
∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，
故f(x)＝eq \f(1,3)x3＋nx＋2，∵f(1)＝eq \f(1,3)＋n＋2＝－eq \f(2,3)，∴n＝－3.
∴f(x)＝eq \f(1,3)x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，
则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)，
据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，
故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.
5.(多选题)已知定义在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cs x＋f(x)sin xeq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) D.feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))>eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
【答案】CD
【解析】令g(x)＝eq \f(f（x）,cs x)，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则g′(x)＝eq \f(f′（x）cs x＋f（x）sin x,cs2x).
因为f′(x)cs x＋f(x)sin xeq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),cs \f(π,4))，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>eq \f(\r(6),2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，故A错误；又f(0)＝0，所以g(0)＝eq \f(f（0）,cs 0)＝0，所以g(x)＝eq \f(f（x）,cs x)≤0在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上恒成立，因为ln eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(π,3)))geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))),cs \f(π,6))>eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))),cs \f(π,3))，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>eq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，故C正确；又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))>geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))),cs \f(π,4))>eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))),cs \f(π,3))，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))>eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，故D正确.故选CD.
二、填空题
6.若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝________.
【答案】2
【解析】令y＝f(x)＝ex，y＝g(x)＝ln x＋b，
∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，
∵f(0)＝1，∴曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设切线y＝x＋1与曲线y＝g(x)＝ln x＋b的切点坐标为(m，m＋1)，
∵g′(x)＝eq \f(1,x)，∴g′(m)＝eq \f(1,m)＝1，∴m＝1，
∴切点坐标为(1，2)，∴2＝ln 1＋b，∴b＝2.
7.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)