高中数学高考解密10 直线与圆（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

这是一份高中数学高考解密10 直线与圆（分层训练）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.命题p：m＝2，命题q：直线(m－1)x－y＋m－12＝0与直线mx＋2y－3m＝0垂直，则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若两直线垂直，则(m－1)×m＋(－1)×2＝0，解之得m＝2或m＝－1.∴p是q成立的充分不必要条件.
2.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A.y－x＝1 B.y＋x＝3
C.2x－y＝0或x＋y＝3 D.2x－y＝0或y－x＝1
【答案】D
【解析】当直线过原点时，可得斜率为eq \f(2－0,1－0)＝2，
故直线方程为y＝2x，
当直线不过原点时，设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，
代入点(1，2)可得eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝1，解得a＝－1，
方程为x－y＋1＝0，
故所求直线方程为2x－y＝0或y－x＝1.
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
【答案】B
【解析】依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点.∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为eq \f(1,2)，所以切线的斜率k＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
4.点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
【答案】B
【解析】设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为eq \r(2).故选B.
5.已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( )
A.eq \r(26)＋2 B.eq \r(26)＋4
C.2eq \r(26)＋4 D.2eq \r(26)＋2
【答案】C
【解析】取AB中点D(2，－3)，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PD,\s\up6(→))，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝|2eq \(PD,\s\up6(→))|＝2|eq \(PD,\s\up6(→))|，
又由题意知，圆C的圆心C(1，2)，半径为2，
|eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为圆心C(1，2)到D(2，－3)的距离d再加半径r，
又d＝eq \r(1＋25)＝eq \r(26)，∴d＋r＝eq \r(26)＋2，
∴2|eq \(PD,\s\up6(→))|的最大值为2eq \r(26)＋4，即|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为2eq \r(26)＋4.
6.(多选题)集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
【答案】AC
【解析】圆x2＋y2＝4的圆心是O(0，0)，半径为R＝2，圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2的圆心是C(3，4)，半径为r，|OC|＝5，当2＋r＝5，r＝3时，两圆外切；当|r－2|＝5，r＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A∩B只有一个元素.故选AC.
7.(多选题)已知点A是直线l：x＋y－eq \r(2)＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是( )
A.(0，eq \r(2)) B.(1，eq \r(2)－1)
C.(eq \r(2)，0) D.(eq \r(2)－1，1)
【答案】AC
【解析】如图所示，坐标原点O到直线l：x＋y－eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq \r(2)|OP|＝eq \r(2).设A(t，eq \r(2)－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝eq \r(t2＋（\r(2)－t）2)＝eq \r(2)，整理得2t2－2eq \r(2)t＝0，解得t＝0或t＝eq \r(2)，因此，点A的坐标为(0，eq \r(2))或(eq \r(2)，0).故选AC.
8.(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是( )
A.a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B.2ax1＋2by1＝a2＋b2
C.x1＋x2＝a
D.y1＋y2＝2b
【答案】ABC
【解析】圆C2的方程为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减，可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即得2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入，可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A、B均正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C正确，选项D不正确.
二、填空题
9.【2019北京卷】设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________.
【答案】(x－1)2＋y2＝4
【解析】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线l为直线x＝－1，
所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2.
所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
10.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________.
【答案】(x－2)2＋y2＝9
【解析】∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0.
则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(|2a－0|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，解得a＝2.
∴圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(（2－0）2＋（0－\r(5)）2)＝3，因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
11.已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为________________.
【答案】x＋y－3＝0
【解析】圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线l与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此a·kCP＝a·eq \f(1－0,4－3)＝－1，∴a＝－1.
故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
12.已知直线Ax＋By＋C＝0(其中A2＋B2＝C2，C≠0)与圆x2＋y2＝6交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|＝________，eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝________.
【答案】2eq \r(5)，－10
【解析】由于A2＋B2＝C2，且C≠0，∴圆心(0，0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|C|,\r(A2＋B2))＝1.所以|MN|＝2eq \r(|OM|2－d2)＝2eq \r(6－1)＝2eq \r(5).设向量eq \(OM,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))的夹角为θ，则cs(π－θ)＝eq \f(\f(1,2)|MN|,|OM|)＝eq \f(\r(30),6)，所以cs θ＝－eq \f(\r(30),6)，所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝|eq \(OM,\s\up6(→))||eq \(MN,\s\up6(→))|cs θ＝eq \r(6)×2eq \r(5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(30),6)))＝－10.
B组 专题综合练
13.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2，6] B.[4，8]
C.[eq \r(2)，3eq \r(2)] D.[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
【答案】A
【解析】由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝eq \r(2)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq \f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3eq \r(2)，最小距离是d－r＝eq \r(2).易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq \r(2)，所以2≤S△ABP≤6.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点
A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程.
【解析】圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6，7)，半径为5，
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)，
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为eq \f(4－0,2－0)＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离d＝eq \f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq \f(|m＋5|,\r(5)).
因为|BC|＝|OA|＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，又|MC|2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|BC|,2)))eq \s\up12(2)，
所以25＝eq \f(（m＋5）2,5)＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.