中考数学二轮培优专题填空压轴题一（教师版）

这是一份中考数学二轮培优专题填空压轴题一（教师版），共48页。
【详解】如图所示．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的外接圆 SKIPIF 1 < 0 （因求 SKIPIF 1 < 0 最小值，故圆心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧），连接 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的值最小．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，
SKIPIF 1 < 0 最小为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2021•成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1， SKIPIF 1 < 0 是该三角形的顺序旋转和， SKIPIF 1 < 0 是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为 SKIPIF 1 < 0 ，从1，2，3，4中任取一个数作为 SKIPIF 1 < 0 ，则对任意正整数 SKIPIF 1 < 0 ，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为 SKIPIF 1 < 0 ，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2021•北京）某企业有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， SKIPIF 1 < 0 生产线共加工 SKIPIF 1 < 0 吨原材料，加工时间为 SKIPIF 1 < 0 小时；在一天内， SKIPIF 1 < 0 生产线共加工 SKIPIF 1 < 0 吨原材料，加工时间为 SKIPIF 1 < 0 小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 SKIPIF 1 < 0 生产线的吨数与分配到 SKIPIF 1 < 0 生产线的吨数的比为 SKIPIF 1 < 0 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给 SKIPIF 1 < 0 生产线分配了 SKIPIF 1 < 0 吨原材料，给 SKIPIF 1 < 0 生产线分配了 SKIPIF 1 < 0 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【详解】设分配到 SKIPIF 1 < 0 生产线的吨数为 SKIPIF 1 < 0 吨，则分配到 SKIPIF 1 < 0 生产线的吨数为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 吨，依题意可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 分配到 SKIPIF 1 < 0 生产线的吨数为 SKIPIF 1 < 0 （吨 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 分配到 SKIPIF 1 < 0 生产线的吨数与分配到 SKIPIF 1 < 0 生产线的吨数的比为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 第二天开工时，给 SKIPIF 1 < 0 生产线分配了 SKIPIF 1 < 0 吨原材料，给 SKIPIF 1 < 0 生产线分配了 SKIPIF 1 < 0 吨原材料，
SKIPIF 1 < 0 加工时间相同，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2021•南京）如图，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】法一、如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
由旋转可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
法二、如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由旋转可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一条直线上，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
法三、构造相似，如图，延长 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由旋转可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
解法四：如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形内角和可知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由旋转可知， SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2021•重庆）某销售商五月份销售 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三种饮料的数量之比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三种饮料的单价之比为 SKIPIF 1 < 0 ．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加， SKIPIF 1 < 0 饮料增加的销售额占六月份销售总额的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 饮料增加的销售额之比为 SKIPIF 1 < 0 ．六月份 SKIPIF 1 < 0 饮料单价上调 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 饮料的销售额与 SKIPIF 1 < 0 饮料的销售额之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意可设五月份 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三种饮料的销售的数量为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，单价为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ；六月份 SKIPIF 1 < 0 的销售量为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 饮料的六月销售额为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 饮料的六月销售额为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 饮料增加的销售额为分别 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 饮料增加的销售额之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 饮料增加的销售额为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 饮料六月的销售额为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 饮料增加的销售额占六月份销售总额的 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2021•苏州）如图，射线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 位于射线 SKIPIF 1 < 0 的上方，且在线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转得到对应线段 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在射线 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 到射线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转得到对应线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随之旋转到 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转得到对应线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 随之旋转到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
由旋转可知：点 SKIPIF 1 < 0 到射线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2021•重庆）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三种盲盒各一个，其中 SKIPIF 1 < 0 盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱； SKIPIF 1 < 0 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算， SKIPIF 1 < 0 盒的成本为145元， SKIPIF 1 < 0 盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则 SKIPIF 1 < 0 盒的成本为 155 元．
【答案】155
【详解】 SKIPIF 1 < 0 蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个， SKIPIF 1 < 0 盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱； SKIPIF 1 < 0 盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
SKIPIF 1 < 0 盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 SKIPIF 1 < 0 （个 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 盒中有多接口优盘 SKIPIF 1 < 0 （个 SKIPIF 1 < 0 ，蓝牙耳机有 SKIPIF 1 < 0 （个 SKIPIF 1 < 0 ，迷你音箱有 SKIPIF 1 < 0 （个 SKIPIF 1 < 0 ，
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为 SKIPIF 1 < 0 元， SKIPIF 1 < 0 元， SKIPIF 1 < 0 元，
由题知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 盒的成本为： SKIPIF 1 < 0 （元 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：155．
8．（2021•河北）用绘图软件绘制双曲线 SKIPIF 1 < 0 与动直线 SKIPIF 1 < 0 ，且交于一点，图1为 SKIPIF 1 < 0 时的视窗情形．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 SKIPIF 1 < 0 始终在视窗中心．
例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，其可视范围就由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 变成了 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 （如图 SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点分别是点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，为能看到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，则整数 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 4
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
为能看到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 整数 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：4．
9．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是对角线 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上，把 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 处，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 18 度．
【答案】18
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：18．
10．（2021•安徽）设抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为实数．
（1）若抛物线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 0 ；
（2）将抛物线 SKIPIF 1 < 0 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．
【答案】0，2
【详解】（1）点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线解析式 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：0．
（2） SKIPIF 1 < 0 向上平移2个单位可得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 抛物线顶点的纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大值为2．
故答案为：2．
11．（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．第一步，在 SKIPIF 1 < 0 边上找一点 SKIPIF 1 < 0 ，将纸片沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 处，如图2；第二步，将纸片沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 处，如图3．当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】①点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在直角三角形纸片的 SKIPIF 1 < 0 边上时，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由题意： SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直平分线段 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
②点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在直角三角形纸片的 SKIPIF 1 < 0 边上时，如图，
由题意： SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
综上，线段 SKIPIF 1 < 0 的长为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2021•连云港）如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为： ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点在二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又已知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2021•广州）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，3为半径的圆分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．并与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
（4） SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）（3）（4）
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由垂径定理，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，故（1）正确；
（2）如图，过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是错误的，故（2）不正确；
（3）过 SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故（3）正确；
（4）由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故（4）正确．
15．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中 SKIPIF 1 < 0 的长应是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 地毯面积被平均分成了3份，
SKIPIF 1 < 0 每一份的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又根据剪裁可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2021•扬州）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：
图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10， SKIPIF 1 < 0 ，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 1275 ．
【答案】1275
【详解】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为： SKIPIF 1 < 0 ，
第③个图形中的黑色圆点的个数为： SKIPIF 1 < 0 ，
第④个图形中的黑色圆点的个数为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
第 SKIPIF 1 < 0 个图形中的黑色圆点的个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91， SKIPIF 1 < 0 ，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1275．
17．（2021•常州）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点（点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 不重合）．若在 SKIPIF 1 < 0 的直角边上存在4个不同的点分别和点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成为直角三角形的三个顶点，则 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的直角边上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使以点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形是直角三角形，
①当点 SKIPIF 1 < 0 是直角顶点时，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线；②当点 SKIPIF 1 < 0 是直角顶点时，点 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 长为直径的圆与直角边的交点，
如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意；
当以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与 SKIPIF 1 < 0 相切时，如图所示，
设圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 的长的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为 SKIPIF 1 < 0 ，在正方形外有一点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当正方形绕着点 SKIPIF 1 < 0 旋转时，则点 SKIPIF 1 < 0 到正方形的最短距离 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图：设 SKIPIF 1 < 0 的中点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 上所有点的连线中， SKIPIF 1 < 0 最小，此时 SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 过顶点 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 上所有点的连线中， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 最小，
如图①： SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为2， SKIPIF 1 < 0 为正方形中心，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
如图②： SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 边长为2， SKIPIF 1 < 0 为正方形中心，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2021•武汉）如图（1），在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，边 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 从顶点 SKIPIF 1 < 0 出发，向顶点 SKIPIF 1 < 0 运动，同时，边 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 从顶点 SKIPIF 1 < 0 出发，向顶点 SKIPIF 1 < 0 运动， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点运动速度的大小相等，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数图象如图（2），图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，则图象最低点的横坐标是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，并使得 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，如图所示，此时：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 图象最低点的横坐标为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2021•丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值是 SKIPIF 1 < 0 或1 ．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，代数式 SKIPIF 1 < 0 的值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或1 7
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或1，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或1；
（2）联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
将① SKIPIF 1 < 0 ②，得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得： SKIPIF 1 < 0 ③，
将① SKIPIF 1 < 0 ②，得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ④，
将④代入③，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：7．
21．（2021•陕西）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4， SKIPIF 1 < 0 的半径为1．若 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 内平移 SKIPIF 1 < 0 可以与该正方形的边相切），则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相切时，点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，如图，
过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
22．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图 SKIPIF 1 < 0 ，则图1中所标注的 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ；记图1中小正方形的中心为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，图2中的对应点为点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．以大正方形的中心 SKIPIF 1 < 0 为圆心作圆，则当点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．
【答案】，
【详解】如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 大正方形的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为．
故答案为：，．
23．（2021•盐城）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得△，连接，当 或 时，是以为腰的等腰三角形．
【答案】或
【详解】设，则，
由翻折得：，当时，，
矩形，
，
由勾股定理得：，
解得：，
当时，如图，作
，
，
，
沿翻折得△，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
综上所述：或．
故答案为：或．
24．（2021•深圳）如图，在中，，分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】如图，延长交于，延长，交于点，
将沿折叠，得到，
，，，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
25．（2021•宿迁）如图，在中，，，点、分别在、上，，，交于点，则面积的最大值是 ．
【答案】
【详解】连接．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，的面积最大，最大值，
的面积的最大值，
故答案为：
26．（2021•长沙）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按，，，四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为等的作品份数为 50 ．
【答案】50
【详解】（份，
一共抽取了120份作品，
此次抽取的作品中，等级为等的作品份数为：（份，
故答案为：50．
27．（2021•泰安）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交轴于点，以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；以为边，向右作正方形，延长交轴于点；；照这个规律进行下去，则第个正方形的边长为 （结果用含正整数的代数式表示）．
【答案】
【详解】设直线与轴夹角为，过作轴于，如图：
点的横坐标为2，点在直线上，令得，
，，，
，
△中，，即第1个正方形边长是，
，
△中，，即第2个正方形边长是，
，
△中，，即第3个正方形边长是，
，
△中，，即第4个正方形边长是，
．
观察规律可知：第个正方形边长是，
故答案为：．
28．（2021•南通）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，过点作，交于点，连接，则的值为 ．
【答案】
【详解】如图，过点作的垂线交延长线于，
过作交于，连，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，则，
，
，
、均为的半径，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
．
故答案为：．
29．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．
（Ⅰ）线段的长等于 ；
（Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】
【详解】（Ⅰ）．
故答案为：．
（Ⅱ）如图，点即为所求．
故答案为：如图，取与网格线的交点，则点为中点，连接并延长交于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于，则为△的中位线，则，连接延长交于点，则，，即△△，则点即为所求．
30．（2021•福建）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：
①与一定互补；
②点到边，的距离一定相等；
③点到边，的距离可能相等；
④点到边的距离的最大值为．
其中正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【详解】四边形是矩形，
，
又，四边形内角和是，
，
故①正确；
过作，，分别交于，交于，
且，
，
又，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故②正确；
，，并由②知，
点到边，的距离不相等，
故③错误：
在直角三角形中，，当点、重合时最大，
，
，
故④正确．
故答案为：①②④．
已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求代数式 SKIPIF 1 < 0 的值．