北师大版高中数学选择性必修第一册5-1基本计数原理学案

第五章　计数原理§1　基本计数原理 新课程标准新学法解读1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．2．了解计数原理的简单应用.1.通过本节课的学习，了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理结合树状图等分析和解决一些简单的应用问题.[笔记教材]知识点一　分类加法计数原理(1)完成一件事有两类不同的办法办法，在第1类中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(2)推广：完成一件事，可以有n类，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝________种方法．(也称“加法原理”)答案：(1)m＋n　(2)m1＋m2＋…＋mn知识点二　分步乘法计数原理(1)完成一件事需要经过两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．(2)推广：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝________种方法．(也称“乘法原理”)答案：(1)m×n　(2)m1·m2·…·mn知识点三　加法原理与乘法原理的区别与联系1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．区别在于：(1)分类加法计数原理针对的是“________”问题，其中各种方法________，用其中任何一种方法都可以做完这件事；(2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法________，只有每一个步骤都完成才算做完这件事．2．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：要完成的“一件事”是什么；需要分类还是需要分步．分类要做到“________”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到“________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．答案：1.(1)分类　相互独立　(2)相互依存2．不重不漏　步骤完整[重点理解]1．分类加法计数原理的理解“完成一件事，有n类办法“，这是对完成这件事的所有方法的一个分类．分类时，首先，要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类．其次，分类时要注意满足两个基本原则 ：第一，完成这件事的所有方法都要包括在内；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法．前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复．2．分步乘法计数原理的理解“完成一件事，需要分成n个步骤”，这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这n个步骤．分步时，首先，要根据问题的特点确定一个可行的分步标准．其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算最终完成．[自我排查]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)(1)在加法原理中，两类办法中的某两种方法可以相同．()(2)在加法原理中，任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事．(√)(3)在乘法原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)(4)在乘法原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有　(　　)A．3种  B．4种  C．7种  D．12种答案：C3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)A．7  B．12  C．64  D．81答案：B　4．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有________种不同的取法．答案：485．如图，从A→C有________种不同的走法．答案：6 研习1　分类加法计数原理的应用[典例1]　满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)A．14  B．13  C．12  D．10[答案]　B[解析]　 当a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2时方程都有解；当a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b可取－1,0，由分类加法计数原理，知满足条件的有序数对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.[巧归纳]　1.应用分类加法计数原理解题的策略：分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下“不重不漏”分类，确定的每一类办法中的每一个方法必须能独立地完成这件事．2．利用分类加法计数原理计数时的解题流程： 3．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．[练习1]若x，y∈N＋，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有________个．答案：15解析：将满足条件x，y∈N＋，且x＋y≤6的x的值进行分类：当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个；当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个；当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个；当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个；当x＝5时，y可取的值为1，共1个．即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个，由分类加法计数原理，得不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个).研习2　分步乘法计数原理的应用[典例2]　(1) 5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为(　　)A．9  B．15  C．18  D．24(2) 已知a∈{－1,2,3}，b∈{0,3,4,5}，r∈{1,2}，则(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示的不同的圆共有________个．(1)答案： C[解析]　根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6(种)情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18(种)分工方案． (2)答案：24[解析]　圆的方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24.[巧归纳]　1.利用乘法计数原理解题的注意点：应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路①分步：将完成这件事的过程分成若干步；②计数：求出每一步中的方法数；③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．[练习2]已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？解：完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定a有3种不同的选取方法；第二步：确定b有4种不同的选取方法；第三步：确定r有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个).研习3　可重复选取问题[典例3]　4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？[解]　要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步．又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．[巧归纳]　(1)解决元素可重复选取的计数问题时，一般采用分步乘法计数原理，分步时，要看哪类元素必须用完，就以该元素为分步的依据进行分步，也就是说，解决此类问题时，关键在于弄清楚以谁为主．(2)间接法：去掉限制条件计算所有的方法数，然后减去所有不符合条件的方法数即可．当正面情况较复杂，用直接法比较困难时，常使用间接法，即先从问题的对立面思考，再用减法得解．[练习3]　某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数为(　　)A．8   B．15C．243   D．125答案：C解析：每个邮件有3种不同的发送方法，故5个邮件的发送方法有35＝243(种).研习4　种植与涂色问题[典例4]　(1)如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图涂色，要求相邻区域不得使用同1种颜色，现有4种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法．(2)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法.      [解]　(1)因为区域1与其他4个区域都相邻，首先考虑区域1，有4种涂法．若区域2,4同色，有3种涂法，此时区域3,5均有2种涂法，涂法总数为4×3×2×2＝48；若区域2,4不同色，先涂区域2，有3种方法，再涂区域4有2种方法，此时区域3,5都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1＝24.因此，满足条件的涂色方法共有48＋24＝72(种)．(2)分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(i)若第三块田放c：abc第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．(ii)若第三块田放a：aba第四块田有b或c两种方法．①若第四块放c：abac第五块有2种方法；②若第四块放b：abab第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．[巧归纳]　解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数．或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数.[练习4]将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解：如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．1234(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．研习5　两个计数原理的简单应用[典例5]　甲、乙、丙、丁四个好朋友每人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？[解]　设甲、乙、丙、丁的贺卡分别记为A，B，C，D.由题意，甲取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行，为了避免重复、遗漏，用“树形图”表示，如图．所以共有9种不同的分配方式．[巧归纳]　利用两个计数原理解题时的三个注意点：(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰．(3)综合问题一般是先分类再分步．[练习5]一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法；(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？解：(1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况．第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．(2)解：想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法．第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法．1.某城市电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)A.9×8×7×6×5×4×3B.8×96C.9×106D.8.1×106答案：D解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理，升为七位时为9×106部，所以可增加的电话部数是9×106－9×105＝8.1×106.2.有5名高二学生，3名高一学生，4名初三学生，2名初二学生，若从中随机抽取2名学生，要求高中生和初中生各1名，则不同的抽法种数是　(　　)A.14  B．23  C．48  D．120答案：C解析：分两步：第一步，抽高中生，有5＋3＝8(种)不同的抽法；第二步，抽初中生，有4＋2＝6(种)不同的抽法．所以不同的抽法种数是8×6＝48.3.有三个车队分别有4辆、5辆、6辆车，现欲从其中两个车队各抽取1辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．答案：74解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各1辆共4×5＝20(种)；甲、丙各1辆共4×6＝24(种)；乙、丙各1辆共5×6＝30(种)．所以共有20＋24＋30＝74(种).4.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．答案：12解析：先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法.[误区警示]分类或分步的标准不清致错[示例]　把5本书全部借给3名学生，有________种不同的借法．[错解]　540[错因分析]　求解本题时，常常容易出现如下错误：第一个人借五本书中的一本，有5种借法；第二个人借剩下的四本书中的一本，有4种借法；第三个人借剩下的三本书中的一本，有3种借法；还剩下两本书，借给三个人中的任何一个人即可．故共有5×4×3×3×3＝540(种)借法．导致上述错误解法的原因：借书时，并没有要求每人必须借书，而只要把书借完即可，并且按上述借法还有重复的．如果将这5本书编号为1,2,3,4,5，三个人不妨设为A，B，C.设开始A借1号书，而剩下的两本书(4,5号)中4号书借给A；反过来，开始A借4号书，而后来把1号书借给A，那么这两件事实质上都是A借了1,4号书，因而它们是同一件事(B，C借的书同样也有这种情况)，并且这其中重复的次数不好计算，因此用“映射”关系即可快速而准确地求解．[正解]　依题意，知每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步乘法计数原理，得共有3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．故填243.[题后总结]　分类或分步的标准要统一、清晰、注意对题目中关键词的准确理解．