北师大版高中数学选择性必修第一册3-4-1直线的方向向量与平面的法向量课件

4.1 直线的方向向量与平面的法向量 在前面我们已经把向量从平面推广到空间，由此认识到：向量既有长度又有方向，且能用代数方法来表达几何特征，是用代数方法研究几何问题的有效工具.本节我们将学习用向量方法解决立体几何中的一些问题. 空间向量在立体几何中的应用主要有以下三个方面:刻画基本图形,讨论位置关系，研究度量关系. 前面的学习中，我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是:首先将立体 几何问题转化为向量问题，然后运用向量方法求解，最后再回到立体儿何问题.几何特征的 代数表述起着重要的作用. 我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来. 1.掌握直线的方向向量与直线的向量表示及应用.2.理解平面的法向量及其应用.1.掌握直线的方向向量与直线的向量表示及应用.逻辑思维、数学运算素养.2.理解平面的法向量及其应用.逻辑思维、数学运算素养.课标要求素养要求探究点1 直线的方向向量与直线的向量表示及应用  由此可见,空间中任意一条直线l的位置可以由直线l上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定.如图3-30,已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t使得  反之，由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示.      图 3 - 31探究点2 平面的法向量及其应用 我们已经知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地，空间中给定一点和一条直线后，可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n±α. 那么如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢？  例4 已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标. 例5 在长方体 ABCD-A'B'C'D'中，已知 AB = 1,AD=2,AA'= 3. ⑴ 在四边形BCC'B'内是否存在一点N,使得AN丄平面A'BD?⑵ 求证:AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.    AC