高中数学高考第1部分 板块3 基础考点练透提速不失分 第5讲 计数原理(1)

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第5讲　计数原理1.(2019·广元统考)在我市举行“四川省运动会”期间，组委会将甲、乙、丙、丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个运动场馆执勤.若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是(　　)A.24  B.36  C.72  D.96答案　B解析　根据题意，将甲、乙、丙、丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤.若每个场馆至少分配一人，则其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可分为2步进行分析：①将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有C＝6(种)分组方法，②将分好的3组对应3个场馆，有A＝6(种)对应方法，则一共有6×6＝36(种)不同分配方案.2.n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)A.28  B.－28  C.70  D.－70答案　A解析　n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故n＝8.n即8，它的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(－1)k· ，令＝0，求得k＝2，则展开式中的常数项是C＝28.3.(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)A.12  B.16  C.20  D.24答案　A解析　展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.4.若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)A.29  B.29－1  C.39  D.39－1答案　D解析　令x＝0，则a0＝1，令x＝2，a0＋2a1＋22a2＋…＋29a9＝39∴2a1＋22a2＋…＋29a9＝39－1.5.2019年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有(　　)A.18种   B.24种C.48种   D.36种答案　B解析　由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C＝3(种)，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为CC＝4(种)，故有3×4＝12(种)；第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C＝3(种)，然后再从剩下的两个班级中分别选择一个学生为CC＝4(种)，这时共有3×4＝12(种)，根据分类加法计数原理得，共有12＋12＝24(种)不同的乘车方式.6.(2019·百色模拟)若n的展开式存在常数项，则n的最小值为(　　)A.3  B.4  C.5  D.6答案　C解析　n的展开式的通项公式为Tk＋1＝C·(x2)n－k·k＝C·2k·x2n－5k，k＝0,1,2，…，n，由题意可得2n－5k＝0，即n＝，则n为正整数，可得k＝2时，n取得最小值5.7.在12的展开式中，x5项的系数等于264，则ʃdx等于(　　)A.2＋ln 2   B.ln 2＋3C.3－ln 2   D.2－ln 2答案　B解析　12的展开式的通项为Tk＋1＝C·a12－k·(－)k＝(－1)k·a12－k·C·.由＝5，得k＝10.∴a2·C＝264，解得a＝－2(舍)或a＝2.∴ʃdx＝ʃdx＝(ln x＋x2)|＝ln 2＋4－ln 1－1＝ln 2＋3.8.(2019·洛阳考试)某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有(　　)A.900种   B.600种C.300种   D.150种答案　B解析　第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有C＝10(种)不同选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有C＝15(种)不同选法，所以不同的选派方案共有(10＋15)A＝600(种).9.(2019·沈阳东北育才学校模拟)某次文艺汇演，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目       如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有(　　)A.192种   B.144种C.96种   D.72种答案　B解析　A，B两个节目可以排在1,2两个位置，可以排在4,5两个位置，可以排在5,6两个位置；∴这两个元素共有CA种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，∴节目单上不同的排序方式有CAA＝144(种).10.(2019·衡水模拟)某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A，B两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为(　　)A.72  B.56  C.57  D.63答案　A解析　先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有C种，然后将新的4个语文老师分给两个学校有CA种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校有CA种，所以共有CCACA＝72(种)分配方法.11.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有(　　)A.12种  B.11种  C.10种  D.9种答案　B解析　设五位妈妈为A，B，C，D，E，五个小孩为a，b，c，d，e，对五个小孩进行排列后坐五位妈妈的车即可，由于甲的小孩一定要做戊妈妈的车.故排列的第五个位置一定是a，对其余的四个小孩进行排列，则满足题意的排列方法为：bcde，bdec，bedc，cdbe，cdeb，cedb，dcbe，dceb，debc，ecdb，edbc，共有11种.12.某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点.若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为(　　)A.3 600  B.1 080  C.1 440  D.2 520答案　C解析　由于每个班级必须参加且只能游览1个景点，且每个景点至多有两个班级游览，因此可以把问题看成是将6个班级分配到除新四军军部旧址外的四个景点或三个景点，可以分两种情况：第一种，先将6个班级分成四组，分别为1,1,2,2，再分配到四个景点，不同的参观方法数为·A＝1 080，第二种，将6人平均分成三组，在分配到除新四军军部旧址外的四个景点中的任意三个景点，不同的参观方法数为·A＝360，∴由上可知，不同的参观方法数为1 080＋360＝1 440.13.(2019·彬州模拟)如果n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是________.答案　252解析　n的展开式中，令x＝1可得各项系数之和为(3－1)n＝256，求得n＝8，则n＝8的通项是Tk＋1＝C·(3x)8－k·k＝C·38－k·(－1)k·，令8－k＝－2，解得k＝6，故展开式中的系数是C·32＝252.14.若二项式n的展开式中所有二项式系数的和为64，展开式中的常数项为－160，则a＝________.答案　1解析　由题设可得2n＝64，则n＝6.由于展开式的通项是Tk＋1＝＝(－a)k26－kCx3－k，令3－k＝0，可得k＝3，则(－a)3·26－3·C＝－160，即a3C＝20，即a3＝1，所以a＝1.15.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________.答案　10解析　设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将n－3个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成的n－2个间隔中，故有A种；恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到将n－3个停车位排放好所成的n－2个间隔中，故有AA种；因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以A＝AA，解得n＝10.16.已知数列{an}共16项，且a1＝1，a8＝4.记关于x的函数fn(x)＝x3－anx2＋(a－1)x，n∈N*.若x＝an＋1(1≤n≤15)是函数fn(x)的极值点，且曲线y＝f8(x)在点(a16，f8(a16))处的切线的斜率为15.则满足条件的数列的个数为________.答案　1 176解析　由题意得fn′(x)＝x2－2anx＋a－1，x＝an＋1(1≤n≤15)是函数fn(x)的极值点，即a－2an·an＋1＋a－1＝0，2＝1，∴＝1，∵＋＋…＋＝a1－a8＝－3，又＝＝…＝＝1，故这七项中必有2项取1,5项取－1，即C种方法.又曲线y＝f8(x)在点(a16，f8(a16))处的切线的斜率为15，即2＝16，∴＝4，a16＝0或a16＝8，∵＋＋…＋＝a8－a16＝4(或－4)，故这八项中必有2项取－1,6项取1(或这八项中必有6项取－1,2项取1)，故满足条件的数列共有C(或C)种方法，所以方法总数为C(C＋C)＝1 176个.