(新高考)高考数学一轮复习讲义第5章§5.3平面向量的数量积(含详解)

§5.3　平面向量的数量积考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq \o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up6(—→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论已知向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，B错误；对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝eq \f(1,2)(2m·n)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋n,2)))2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．7．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.答案　－eq \f(10,3)解析　c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq \f(10,3).8．(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.答案　eq \r(3)解析　将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.∴|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1－－1＋1)＝eq \r(3).9．(2022·长沙模拟)在△ABC中，BC的中点为D，设向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq \o(AD,\s\up6(→))；(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，求eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))的值．解　(1)eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，所以eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.(2)eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)a·b＝eq \f(1,2)×32＋eq \f(1,2)×3×2×cos 60°＝6，所以eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝6.10．(2022·湛江模拟)已知向量m＝(eq \r(3)sin x，cos x－1)，n＝(cos x，cos x＋1)，若f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝eq \r(3)，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．解　(1)f(x)＝m·n＝eq \r(3)sin x·cos x＋cos2x－1＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cos 2x－eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,2).令2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．(2)f(C)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))－eq \f(1,2)＝0，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，又C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以C＝eq \f(π,3).在△ACD中，CD＝eq \f(2\r(3),3)，在△BCE中，BE＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2－2×2×\f(\r(3),3)×\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(21),3).11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))等于(　　)A．12 B．－12C．20 D．－20答案　B解析　如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝(eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→)))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→))·eq \o(BD,\s\up6(→))＝|eq \o(AD,\s\up6(→))||eq \o(BD,\s\up6(→))|cos∠BDA－|eq \o(DC,\s\up6(→))||eq \o(BD,\s\up6(→))|cos∠BDC＝|eq \o(AD,\s\up6(→))|2－|eq \o(DC,\s\up6(→))|2＝4－16＝－12.12．在△ABC中，已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形答案　A解析　eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)分别为与eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AC,\s\up6(→))方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)所在的直线为∠BAC的平分线．因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.又eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·cos∠BAC＝eq \f(1,2)，所以cos∠BAC＝eq \f(1,2)，∠BAC＝60°.所以△ABC为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，则物体的重力大小为________ N.答案　20解析　如图所示，∵|F1|＝|F2|＝10eq \r(2) N，∴|F1＋F2|＝10eq \r(2)×eq \r(2)＝20 N，∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2eq \o(BE,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))|的值为________；(eq \o(DE,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→)))·eq \o(DA,\s\up6(→))的最小值为________．答案　1　eq \f(11,20)解析　设BE＝x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝eq \r(3)x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，∴(2eq \o(BE,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→)))2＝4eq \o(BE,\s\up6(→))2＋4eq \o(BE,\s\up6(→))·eq \o(DF,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，∴|2eq \o(BE,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))|＝1，∵(eq \o(DE,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→)))·eq \o(DA,\s\up6(→))＝(eq \o(DE,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→)))·(eq \o(DE,\s\up6(→))＋eq \o(EA,\s\up6(→)))＝eq \o(DE,\s\up6(→))2＋eq \o(DF,\s\up6(→))·eq \o(EA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,10)))2＋eq \f(11,20)，∴当x＝eq \f(3,10)时，(eq \o(DE,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→)))·eq \o(DA,\s\up6(→))的最小值为eq \f(11,20).15．(多选)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是(　　)A．a⊗b＝b⊗aB．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)C．(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗cD．若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1答案　AD解析　当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故A正确；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故B错误；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|