初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理课堂检测

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【典例1】如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．
（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．
①求证：∠BAC是直角；
②求AE的长度．
【思路点拨】
（1）求出∠DAC，∠EAC，可得结论；
（2）①利用勾股定理的逆定理证明即可．
②过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，证明△AME，△AEN都是等腰直角三角形，推出AN＝NE＝EM＝AM，利用面积法求解．
【解题过程】
解：（1）∵AE平分∠ABC，
∴∠EAC=12∠BAC＝43°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°．
（2）①证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD=AB2-AD2=152-122=9，CD=AC2-AD2=202-122=16，
∴BC＝BD+DC＝9+16＝25，
∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°；
②解：过点E作EM⊥AC于M，EN⊥AB于N，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠AEC＝45°，
∴△AME，△AEN都是等腰直角三角形，
∴AN＝NE＝EM＝AM，
∵12•AB•AC=12•AB•EN+12•AC•EM，
∴EM=15×2015+20=607．
∴AE=2EM=6027．
1．（2021秋•锦江区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中：①a2：b2：c2＝1：2：3；②（a+b）（a﹣b）＝c2；③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；④a＝9，b＝40，c＝41．不能判断△ABC是符合条件的直角三角形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．（2021秋•平昌县期末）有下列各组数：①3，4，5；②62，82，102；③0.5，1.2，1.3；④1，3，2．其中勾股数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
3．（2021秋•电白区期末）将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A．可能是锐角三角形B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形D．可能是钝角三角形
4．（2021秋•南岸区期末）如图，在单位为1的方格中，有标号为①、②、③、④的四个三角形，其中直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2021秋•成华区期末）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
6．（2021秋•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
7．（2021春•黄石期末）如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．
8．（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °．
9．（2021春•海淀区校级期中）如图所示的是正方形网格，则∠MDC﹣∠MAB＝ °（点A，B，C，D，M．网格线交点）．
10．（2021春•濉溪县期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，且a+b＝7，ab＝1，c2＝47，试判断△ABC的形状，并说明理由．
11．（2021春•靖宇县期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格线的交点上．解答下列问题：
（1）四边形ABCD的周长是 ，面积是 ．
（2）连接AC，请判断△ADC和△ABC是什么特殊形状的三角形？并说明理由．
12．（2021秋•乾县期末）如图，D为△ABC的边BC上的一点，已知AB＝10，AD＝8，AC＝17，BD＝6，求BC的长．
13．（2021秋•台江区校级期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB=3，CD＝2，AD＝22．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
14．（2021秋•舞钢市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC为对角线，DE⊥AC于点E，已知AB＝8，BC＝6，CD＝215，AD＝210．
（1）请判断△ACD的形状并说明理由．
（2）求线段DE的长．
15．（2021秋•福田区校级期中）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE=65．
（1）求证：∠ACE＝90°；
（2）求△ACE的斜边AE上的高的长．
16．（2021秋•东坡区期末）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．
17．（2021秋•中原区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．关于△ABC的形状，小明和小亮展开以下讨论：
小明：如果△ABC是直角三角形，那么我可以求出AE的长．
我的思路是这样的：如图，连接CE，设AE＝x，则BE＝4﹣x，因为DE是BC的垂直平分线，所以CE＝BE＝4﹣x…
小亮：如果DF的长为710，此时△ABC是直角三角形．
（1）请补充完整小明的求解过程；
（2）请判断小亮的说法是否正确？并说明理由．
18．（2021春•邹城市期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN=(x1-x2)2+(y1-y2)2．
例如：已知P（5，1）、Q（3，﹣2），则这两点间的距离(5-3)2+(1+2)2=13．特别地，如果两点M（x1，y1），N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN＝|x1﹣x2|或MN＝|y1﹣y2|．
（1）已知A（1，3）、B（﹣2，4），求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为﹣2，求A、B两点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
19．（2021秋•沙坪坝区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；等都是勾股数．把勾股数同时乘以相同的正整数倍得到的也是勾股数，我们把这种勾股数称为“派生勾股数”．因为6＝3×2，8＝4×2，10＝5×2，那么6，8，10就是“派生勾股数”，如果一组勾股数斜边比一条直角边大3，我们把这种勾股数称为“新新勾股数”．
（1）请判断9，12，16和10，24，26是否为“派生勾股数”；
（2）请求出斜边小于200的所有“新新勾股数”．
20．（2021春•扎兰屯市期末）如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角，如图1，则有结论：a2+b2＝c2；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下a2+b2与c2的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．