高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时跟踪检测 （二十四）　平面向量的概念及其线性运算 Word版含答案

课时跟踪检测  (二十四)　平面向量的概念及其线性运算

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1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．4  D．6

解析：选B　根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2．

2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)

A．c＝2b－a  B．c＝2a－b

C．c＝a－b  D．c＝b－a

解析：选D　依题意得－＝2(－)，

即＝－＝b－a．

3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)

A．矩形  B．平行四边形

C．梯形  D．以上都不对

解析：选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥．又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．

4．(2017·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．

解析：如图，因为＝，P是BN―→上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝．

答案：

5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)

解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．

答案：b－a　－a－b

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1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b, 则等于(　　)

A．b－a  B．a－b

C．－a＋b  D．b＋a

解析：选C　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故选C．

2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)

A．1  B．－

C．1或－  D．－1或－

解析：选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k．

整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．

由于a，b不共线，所以有

整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－．

又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－．

3．下列四个结论：

①＋＋＝0；②＋＋＋＝0；③－＋－＝0；④＋＋－＝0，

其中一定正确的结论个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．

4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)

A．反向平行  B．同向平行

C．互相垂直  D．既不平行也不垂直

解析：选A　由题意得＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

因此＋＋＝＋(＋－)

＝＋＝－，

故＋＋与反向平行．

5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选B　∵D为AB的中点，

则＝(＋)，

又＋＋2＝0，

∴＝－，∴O为CD的中点，

又∵D为AB中点，

∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，

则＝4．

6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．

解析：由＝3，得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b．

答案：－a＋b

7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________．

解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，

则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，

因此，||＝||＝2．

答案：2

8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0．

其中正确命题的个数为________．

解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；

＝＋＝a＋b，故②正确；

＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；

＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．

∴正确命题为②③④．

答案：3

9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，．

解：＝(＋)＝a＋b．

＝＋＝＋＝＋(＋)

＝＋(－)

＝＋

＝a＋b．

10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．

(1)求证：A，B，D三点共线；

(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，

∵＝2e1－8e2，

∴＝2．

又∵与有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

(2)由(1)可知＝e1－4e2，

∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，

∴＝λ (λ∈R)，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

得

解得k＝12．

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1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2．

∵点E在线段CD上，

∴＝λ (0≤λ≤1)．

∵＝＋，

又＝＋μ＝＋2μ＝＋，

∴＝1，即μ＝．∵0≤λ≤1，

∴0≤μ≤．

即μ的取值范围是．

答案：

2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；

(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1．

证明：(1)若m＋n＝1，

则＝m＋(1－m)

＝＋m(－)，

∴－＝m(－)，

即＝m，∴与共线．

又∵与有公共点B，

∴A，P，B三点共线．

(2)若A，P，B三点共线，

则存在实数λ，使＝λ，

∴－＝λ(－)．

又＝m＋n．

故有m＋(n－1)＝λ－λ，

即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0．

∵O，A，B不共线，∴，不共线，

∴∴m＋n＝1．