初中人教版18.2 特殊的平行四边形综合与测试测试题

这是一份初中人教版18.2 特殊的平行四边形综合与测试测试题，共3页。试卷主要包含了3eq \r等内容，欢迎下载使用。

eq \a\vs4\al(◆)类型一 利用正方形的旋转性质解题
如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．

2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.
求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP.
求证：BP＋CP＝eq \r(2)OP.
eq \a\vs4\al(◆)类型二 利用正方形的对称性解题
4．如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )
A.eq \r(,3) B．2eq \r(,3)
C．2eq \r(,6) D.eq \r(,6)

第4题图 第5题图
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE＝1，F为AB上一点，AF＝2，P为AC上一点，则PF＋PE的最小值为________．
6．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，AC，BE交于点F，MF∥AE交AB于M.
求证：DF＝MF.
参考答案与解析
1．3eq \r(,2)
2．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.
3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝eq \r(OE2＋OP2)＝eq \r(OP2＋OP2)＝eq \r(2)OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝eq \r(2)OP.
4．B 解析：连接PB.∵点P在正方形ABCD的对角线AC上，∴PD＝PB，∴PD＋PE的最小值就是PB＋PE的最小值，∴PD＋PE的最小值就是BE.∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB.∵S正方形ABCD＝12，∴BE2＝AB2＝12，即BE＝2eq \r(,3)，故选B.
5.eq \r(,17)
6．证明：∵B，D关于AC对称，点F在AC上，∴BF＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE和△BCE中，∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE.∵MF∥AE，∴∠BAE＝∠BMF，∴∠BMF＝∠ABE，∴MF＝BF.∵BF＝DF，∴DF＝MF.