2022-2023学年广东省梅州市丰顺县颍川中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年广东省梅州市丰顺县颍川中学九年级（下）开学数学试卷(解析版)，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省梅州市丰顺县颍川中学九年级（下）开学数学试卷
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象与一次函数y＝﹣x+5（﹣1≤x≤5）只有一个交点，则b的值为（　　）
A． B．b＝2或b＝12
C．2＜b≤12 D．2＜b≤12或
2．已知⊙O的半径为8cm，点P在⊙O上，则OP的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
3．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3
4．箱子内有分别标示号码1～5的球，每个号码各2颗，总共10颗．已知小茹先从箱内抽出5颗球且不将球放回箱内，这5颗球的号码分别是1、2、2、3、5．今阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会相等，则他抽出的球的号码，与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的概率是多少？（　　）
A． B． C． D．
5．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＞0；⑤．正确的是（　　）

A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
6．如图，已知点A、点C在⊙O上，AB是⊙O切线，连接AC，若∠ACO＝65°，则∠CAB的度数为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
7．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，AC是⊙O的直径，弦BC＝6cm，AB＝8cm，若动点M以2cm/s的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以1cm/s的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为t（s），当△AMN是直角三角形时，t的值为（　　）

A． B．5s
C． D．或
9．函数y＝x2+bx+c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③b＜0；④方程组的解为，；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤
10．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以AC长为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是　 　．
12．关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2＝　 　．
13．如图：P是⊙O的直径CD的延长线上一点，PA是⊙O的切线，A为切点，∠P＝40°，则∠ACP＝　 　．

14．若函数是二次函数，则m的值为 　 　．
15．已知直线m与半径为5cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且＝，若AB＝6cm，则直线m与弦AB之间的距离为 　 　．
16．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　 　．
17．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若AD＝3，则的长为 　 　．

三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．
19．已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．
20．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．

21．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，点C的对应点C'恰好落在CB的延长线上，求证：BC＝BC'．

22．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED．使点B的对应点E落在边BC上，求∠AEC的度数．

23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BD、CE．求证：BD＝CE．

四、综合题
24．已知，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H，点P是⊙O上一点．

（1）如图1，连接PB、PC、PD，求证：BP平分∠CPD；
（2）如图2，连接PA、PC、PD，PC交AB于点E，交AD于点F，若AE＝AP；求证：CE＝DP；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BP交AD于G，连接OG，若∠OGA＝45°，S△AOG＝30，求⊙O半径．

25．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B；与y轴交于点C，且OC＝OB＝2OA，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点M，N分别是线段AC，BC上的点，且MN∥AB，当MN＝2时，求点M，N的坐标．
（3）D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在不与点D重合的点E，使得△BCE与△BCD的面积相等？若存在，请求点E的坐标；若不存在，请说明理由．




参考答案
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象与一次函数y＝﹣x+5（﹣1≤x≤5）只有一个交点，则b的值为（　　）
A． B．b＝2或b＝12
C．2＜b≤12 D．2＜b≤12或
【分析】由y＝﹣x+5（﹣1≤x≤5）可得线段端点坐标为（﹣1，6），（5，0），然后通过数形结合求解．
解：把x＝﹣1代入y＝﹣x+5得y＝6，
把x＝5代入y＝﹣x+5得y＝0，
∴抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b+1
如图，

把x＝﹣1代入y＝﹣（x﹣b）2+4b+1得y＝﹣（1+b）2+4b+1，
∴6≥﹣（1+b）2+4b+1，
把x＝5代入y＝﹣（x﹣b）2+4b+1得y＝﹣（5﹣b）2+4b+1＞0，
解得2＜b＜12，
当b＞5时，抛物线经过（5，0）满足题意，
∴﹣（5﹣b）2+4b+1＝0，
解得b＝12或b＝2（舍），
∴2＜b≤12．
如图，

令﹣（x﹣b）2+4b+1＝﹣x+5，整理得x2﹣（2b+1）x+b2﹣4b+4＝0，
∴Δ＝（2b+1）2﹣4（b2﹣4b+4）＝0，
解得b＝．
∴2＜b≤12或b＝．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是通过数形结合方法，通过分类讨论，根据抛物线与线段只有1个交点和抛物线与直线相切两种情况求解．
2．已知⊙O的半径为8cm，点P在⊙O上，则OP的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．
解：∵点P在⊙O上，
∴OP＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3
【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．
解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；
故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．箱子内有分别标示号码1～5的球，每个号码各2颗，总共10颗．已知小茹先从箱内抽出5颗球且不将球放回箱内，这5颗球的号码分别是1、2、2、3、5．今阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会相等，则他抽出的球的号码，与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的概率是多少？（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据箱内剩下的球中的号码为1，3，4，4，5，和小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的号码是1，3，5，根据概率公式即可得到结论．
解：∵箱内剩下的球中的号码为1，3，4，4，5，
∴阿纯打算从此箱内剩下的球中抽出1颗球与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的号码是1，3，5，
∴与小茹已抽出的5颗球中任意一颗球的号码相同的概率是，
故选：C．
【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
5．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＞0；⑤．正确的是（　　）

A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④错误，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6．如图，已知点A、点C在⊙O上，AB是⊙O切线，连接AC，若∠ACO＝65°，则∠CAB的度数为（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】连接OA，则∠CAO＝∠ACO＝65°，由切线的性质得∠OAB＝90°，即可求得∠CAB＝∠OAB﹣∠CA＝25°，于是得到问题的答案．
解：连接OA，则OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝65°，
∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∴∠CAB＝∠OAB﹣∠CAO＝90°﹣65°＝25°，
故选：C．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求出∠OAB和∠CAO的度数是解题的关键．
7．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．如图，AC是⊙O的直径，弦BC＝6cm，AB＝8cm，若动点M以2cm/s的速度从C点出发沿着C到A的方向运动，点N以1cm/s的速度从A点出发沿着A到B的方向运动，当点M到达点A时，点N也随之停止运动，设运动时间为t（s），当△AMN是直角三角形时，t的值为（　　）

A． B．5s
C． D．或
【分析】应分两种情况进行讨论：①当MN⊥AB时，△AMN为直角三角形，根据△AMN∽△ACB，可将时间t求出；当MN⊥AC时，△AMN为直角三角形，根据△AMN∽△ABC，可将时间t求出．
解：如图，∵AC是直径，
∴∠B＝90°．
又∵BC＝6cm，AB＝8cm，
∴根据勾股定理得到，
则AM＝（10﹣2t）cm，
AN＝t．
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴0＜t≤5．
①如图1，

当MN⊥AB时，MN∥BC，则△AMN∽△ACB．
故，即，解得．
②如图2，

当MN⊥AC时，△AMN∽△ABC，
则，即，
解得．
综上所述，当或时，△APQ为直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．
9．函数y＝x2+bx+c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c＝0；③b＜0；④方程组的解为，；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；

当x＝1时，y＝1+b+c＝1，则b+c＝0，
故②正确；

对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0，
故③正确；

根据抛物线与直线y＝x的交点知：方程组的解为，．
故④正确；

∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故⑤错误．
故选：B．

【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以AC长为半径作⊙C，则AB与⊙C的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．
若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解：根据勾股定理求得BC＝5．
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，S△ABC＝AC×BC＝×3×4＝6，
∴AB上的高为：6×2÷5＝2.4，
即圆心到直线的距离是2.4．
∵2.4＜3，
∴直线和圆相交．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．
注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是　10　．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
解：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10．
故答案为10．
【点评】本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
12．关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的一个根是x1＝3，则它的另一个根x2＝　﹣1　．
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
解：根据根与系数的关系得x1x2＝﹣3，
即3x2＝﹣3，
所以x2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．如图：P是⊙O的直径CD的延长线上一点，PA是⊙O的切线，A为切点，∠P＝40°，则∠ACP＝　25°　．

【分析】连接OA，由PA是⊙O的切线，则∠OAP＝90°，又∠P＝40°，则∠AOP＝50°，再由圆周角定理得出∠ACP的度数．
解：连接OA．
由于PA是⊙O的切线，则△APO是直角三角形；
在Rt△APO中，∠P＝40°，∠AOP＝50°；
再由圆周角定理，∠ACP＝∠AOP＝25°．

【点评】本题考查了切线的性质及圆周角定理，同学们要学会由切线入手解决这类问题．
14．若函数是二次函数，则m的值为 　0　．
【分析】根据二次函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
解：由题意，
解得m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
15．已知直线m与半径为5cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且＝，若AB＝6cm，则直线m与弦AB之间的距离为 　1cm或9cm　．
【分析】连接OP交AB于C，根据垂径定理得到OP⊥AB，得到AC＝AB＝3cm，根据勾股定理求出OC，进而求出CP，同理求出DP，得出结论．
解：连接OP交AB于C，
∵直线m⊙O相切于点P，
∴OP⊥m，
∵＝，
∴OP⊥AB，
∴AC＝AB＝3cm，
由勾股定理得：OC＝＝＝4（cm），
则CP＝OP﹣OC＝5﹣4＝1cm，
∴直线m与弦AB之间的距离为1cm，
同理可得直线m与弦A′B′之间的距离为5+4＝9cm，
综上所述：直线m与弦AB之间的距离为1cm或9cm，
故答案为：1cm或9cm．

【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理和勾股定理的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 　（2，﹣3）　．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
17．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若AD＝3，则的长为 　　．

【分析】连接AC，AF，根据正方形的性质得出∠DAC＝45°，AD＝DC＝3，∠ADC＝90°，求出A、D、F三点共线，A、E、C三点共线，求出∠FAC＝45°，再根据弧长公式求出答案即可．
解：连接AC，AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°，AD＝DC＝3，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝3，
∵将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，
∴A、D、F三点共线，A、E、C三点共线，
∴∠FAC＝45°，
∴的长是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长公式等知识点，能求出AC长和旋转角的度数是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．
三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。
18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．
解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，
解得m≤3且m≠1．
故m能取的正整数值为2，3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
19．已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．
【分析】利用非负数的性质求得a、b的值，然后利用因式分解法求解即可．
解：∵a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，
∴a＝，b＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程为x2﹣2x+＝0，
整理得3x2﹣4x+1＝0，
（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得x1＝，x2＝1．
【点评】本题综合考查了解一元二次方程，非负数的性质，根据方程的特点灵活选用合适的解一元二次方程方法是解题的关键．
20．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．

【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
解：（Ⅰ）连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°；
（Ⅱ）连接CE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAE＝∠BCE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．


【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
21．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，点C的对应点C'恰好落在CB的延长线上，求证：BC＝BC'．

【分析】根据旋转的性质得AC＝AC'，再结合等腰三角形的性质得出答案．
【解答】证明：连接AC，AC'，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
即AB⊥CC'．
由旋转，得AC＝AC'．
∴BC＝BC'．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
22．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△AED．使点B的对应点E落在边BC上，求∠AEC的度数．

【分析】由旋转的性质可知AE＝AB，∠BAE＝40°，求出∠AEB可得结论．
解：由旋转的性质可知AE＝AB，∠BAE＝40°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝110°．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是△ABC内一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BD、CE．求证：BD＝CE．

【分析】首先根据旋转的性质，判断出∠DAE＝90°，AD＝AE，进而判断出∠BAD＝∠CAE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD＝CE．
解：由旋转的性质，可得
∠DAE＝90°，AD＝AE，
∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝90°，∠CAE+∠DAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
【点评】（1）此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
四、综合题
24．已知，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点H，点P是⊙O上一点．

（1）如图1，连接PB、PC、PD，求证：BP平分∠CPD；
（2）如图2，连接PA、PC、PD，PC交AB于点E，交AD于点F，若AE＝AP；求证：CE＝DP；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BP交AD于G，连接OG，若∠OGA＝45°，S△AOG＝30，求⊙O半径．

【分析】（1）根据垂径定理可得，进而可以解决问题；
（2）设∠DCP＝α，根据圆周角定理证明∠BAD＝∠PAD，连接OD，证明△DFE≌△DFP（SAS），可得DP＝DE，再证明△CEH≌△DEH（AAS），可得CE＝DE，进而可以解决问题；
（3）连接EG、CO，证明△AEF≌△APF（SAS），可得EF＝PF，再证明△AEG≌△APG（SSS），可得∠AEG＝∠APG＝90°，证明BO＝BG，设半径为r，HC＝a，由△CHO≌△BGE（AAS），可得HC＝BE＝a，根据S△AOG＝30，可得，然后在Rt△EBG中利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BPC＝∠BPD，
∴BP平分∠CPD；
（2）证明：设∠DCP＝α，
∵AB⊥CH，
∴∠CHA＝90°，
∴∠COH＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵∠AEP＝∠CEH，
∴∠AEP＝90°﹣α，
∵AE＝AP，
∴∠APE＝∠AEP＝90°﹣α，
∵，
∴∠DAP＝∠DCP＝α，
∴∠AFP＝180°﹣（90°﹣α）﹣α＝90°，
∴AF⊥CP，
∵∠AEF＝90°﹣α，
∴∠OAD＝180°﹣90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠BAD＝∠PAD，
∴EF＝PF，
如图2，连接OD，

∵DF＝DF，
∴△DFE≌△DFP（SAS），
∴DP＝DE，
∵∠ECH＝∠EDH，EH＝EH，∠CHE＝∠DHE，
∴△CEH≌△DEH（AAS），
∴CE＝DE，
∴CE＝DP；
（3）解：如图3，连接EG、CO，

设∠BAD＝x，
∵AB为直径，AB⊥CD，
∴，
∵∠COB＝2∠BAD＝2x，由（1）（2）知∠DCP＝∠BPE，
∵∠BPE＝∠BPD，∠BPD＝∠BAD＝x，
∴∠PCD＝x，
∴∠PCD＝∠DAP＝x，
在△AEF和△APF中，
，
∴△AEF≌△APF（SAS），
∴EF＝PF，
∵AF⊥EP，
∴AG为EP的中垂线，
∴EG＝PG，
∴∠EGA＝∠PGA，
∵AB为直径，
∴∠APG＝90°，
∴∠PGA＝∠EGA＝90°﹣x，
∴∠EGB＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，
在△AEG和△APG中，
∵AE＝AP，EG＝PG，AG＝AG，
∴△AEG≌△APG（SSS），
∴∠AEG＝∠APG＝90°，
∵∠OGA＝45°，∠BAD＝x，
∴∠EOG＝45°+x，
∴∠OGE＝90°﹣（45°+x）＝45°﹣x，
∵∠EGB＝2x，
∴∠OGB＝2x+45°﹣x＝45°+x，
∴∠OGB＝∠BOG，
∴BO＝BG，
设半径为r，HC＝a，
则BG＝BO＝r，
∵，
∴，
∴CD＝BP，
∵HC＝a，
∴CD＝BP＝2a，
∴PG＝PB﹣BG＝2a﹣r，
∴EG＝2a﹣r，
在△CHO和△BGE中，
∵∠COH＝∠BGE，∠OHC＝∠BEG，CO＝BG，
∴△CHO≌△BGE（AAS），
∴HC＝BE＝a，
∵S△AOG＝30，
∴，
∴，
∴，
在Rt△EBG中，由勾股定理得EG2+EB2＝BG2，
即（2a﹣r）2+a2＝r2，
∴，
∴，
则（2a﹣r）2+a2＝r2，
∴，
即，
令r2＝t，
则原式为，
即（t﹣20）2＝6400，
解得：t1＝100，t2＝﹣60（舍），
∴r2＝100，
∴r＝10（负值舍去）．
∴⊙O半径为10．
【点评】本题属于圆的综合题，考查垂径定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
25．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B；与y轴交于点C，且OC＝OB＝2OA，对称轴为直线x＝1．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点M，N分别是线段AC，BC上的点，且MN∥AB，当MN＝2时，求点M，N的坐标．
（3）D是抛物线的顶点，在抛物线上是否存在不与点D重合的点E，使得△BCE与△BCD的面积相等？若存在，请求点E的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）设OA＝m，由对称轴为直线x＝1，可得m＝2，即得A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），用待定系数法有抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设M（n，2n+4），根据MN＝2，得n＝﹣，故M（﹣，），N（，）；
（3）过D作DK∥BC交y轴于K，交抛物线于E，在C下方的y轴上取T，使CT＝CK，过T作TE'∥BC，交抛物线于E'，E''，由y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+得D（1，），可得直线DK解析式为y＝﹣x+，解得E（3，），由CT＝CK，得直线TE'解析式为y＝﹣x+，解得E'（2﹣，+），E''（2+，﹣）．
解：（1）设OA＝m，则OB＝OC＝2m，
∴A（﹣m，0），B（2m，0），C（0，2m），
∵对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
解得m＝2，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，4）代入得：4＝﹣8a，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）如图：

由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，
由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，
设M（n，2n+4），
在y＝﹣x+4中，令y＝2n+4得x＝﹣2n，
∴N（﹣2n，2n+4），
∵MN＝2，
∴﹣2n﹣n＝2，
解得n＝﹣，
∴M（﹣，），N（，）；
（3）存在不与点D重合的点E，使得△BCE与△BCD的面积相等，理由如下：
过D作DK∥BC交y轴于K，交抛物线于E，在C下方的y轴上取T，使CT＝CK，过T作TE'∥BC，交抛物线于E'，E''，如图：

∵DK∥BC，△BCE和△BCD同底等高，
∴△BCE与△BCD的面积相等，
由y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+得D（1，），
∵直线BC解析式为y＝﹣x+4，DK∥BC，
∴直线DK解析式为y＝﹣x+，
∴K（0，），CK＝，
解得或，
∴E（3，），
∵CT＝CK，
∴T（0，），直线DK与BC的距离与直线TE'与BC的距离相等，
∴直线TE'解析式为y＝﹣x+，E'，E''都是满足条件的点，
解得或，
∴E'（2﹣，+），E''（2+，﹣），
综上所述，E的坐标为：（3，）或（2﹣，+）或（2+，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．