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    高中数学高考2018高考数学(理)大一轮复习习题:第五章 平面向量 课时达标检测(二十五) 解三角形应用举例 Word版含答案

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    高中数学高考2018高考数学(理)大一轮复习习题:第五章 平面向量 课时达标检测(二十五) 解三角形应用举例 Word版含答案

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    课时达标检测(二十五)  解三角形应用举例   1.如图,两座灯塔AB与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(  )A.北偏东10°     B.北偏西10°C.南偏东80°   D.南偏西80°解析:选D 由条件及图可知,ACBA=40°,又BCD=60°,所以CBD=30°,所以DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸BC的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于(  )A.240(-1)m   B.180(-1)mC.120(-1)m   D.30(+1)m解析:选C tan 15°=tan(60°-45°)==2-BC=60tan 60°-60tan 15°=120(-1)(m),故选C.3.如图,某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长________m.解析:设坡底需加长x m,由正弦定理得,解得x=100.答案:1004.如图,为了测量AC两点间的距离,选取同一平面上BD两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且BD互补,则AC的长为________km.解析:82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos Dcos D=-.AC=7(km).答案:75.如图,已知在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在海岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°,俯角为60°的C处.轮船沿BC行驶一段时间后,到达海岛的正西方向的D处,此时轮船距海岛A有________千米.解析:由已知可求得ABACBC,所以sinACB,cosACB.在ACD中,DAC=90°-60°=30°,ACD=180°-ACB,sinADC=sin(ACDDAC)=sinACD·cosDAC+sinDACcosACD,由正弦定理可求得AD.答案: 一、选择题1.已知AB两地间的距离为10 kmBC两地间的距离为20 km,现测得ABC=120°,则AC两地间的距离为(  )A.10 km   B.10 kmC.10 km   D.10 km解析:选D 如图所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700,AC=10(km). 2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d0.6 km一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为(  )A.8 km/h   B.6 km/hC.2 km/h   D.10 km/h解析:选B AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为v km/h,由题意知,sin θ,从而cos θ,所以由余弦定理得22+12-2××2×1×,解得v6 km/h.3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么BC两点间的距离是(  )A.10 海里          B.10 海里C.20 海里   D.20 海里解析:选A 如图所示,易知,在ABC中,AB20海里CAB=30°,ACB=45°,根据正弦定理得,解得BC=10(海里).4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是(  )A.50 m   B.100 m  C.120 m   D.150 m解析:选A 设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在ABC中,BAC=60°,AChAB=100,BCh,根据余弦定理得,(h)2h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m. 5.如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向进行海面巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30°方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是(  )A.5()km   B.5()kmC.10()km   D.10()km解析:选C 由题意,知BAC=60°-30°=30°,ABC=30°+45°=75°,则ACB=180°-75°-30°=75°,ACAB=40×=20(km).由余弦定理,得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC=202+202-2×20×20×cos 30°=800-400=400(2-),BC=10(-1)=10()km.故选C. 6.(2016·武汉武昌区调研)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为(  )A.14 h   B.15 hC.16 h   D.17 h解析:选B 记现在热带风暴中心的位置为点At小时后热带风暴中心到达B点位置,在OAB中,OA=600,AB=20tOAB=45°,根据余弦定理得OB2=6002+400t2-2×600×20t×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1 575≤0,解得t,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为=15(h).  二、填空题7.(2016·河南调研)如图,在山底A点处测得山顶仰角CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米S点,又测得山顶仰角DSB=75°,则山高BC为________米.解析:由题图知BAS=45°-30°=15°,ABS=45°-(90°-DSB)=30°,∴∠ASB=135°,ABS中,由正弦定理可得AB=1 000BC=1 000(米).答案:1 0008.如图,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________;塔BB1的高为________m.解析:设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tan αBB1=60tan 2α.从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,∴△A1AC∽△CBB1AA1·BB1=900,3 600tan αtan 2α=900,tan α,tan 2αBB1=60tan 2α=45(m).答案: 459.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.解析:如图,OMAOtan 45°=30(m),ONAOtan 30°=30×=10(m),MON中,由余弦定理得,MN=10(m).答案:1010.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为________m(取 =1.4, =1.7)解析:如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知A=15°,DBC=45°,∴∠ACB=30°.AB=50×420=21 000(m).又在ABC中,BC×sin 15°=10 500().CDADCDBC·sinDBC=10 500(=10 500(-1)=7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 650三、解答题11.已知在岛A南偏西38° 方向,距岛A 3海里B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22° 方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? 解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5xAC5海里,依题意,BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2AB2AC2-2AB·ACcos 120°,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sinABC所以ABC=38°,BAD=38°,所以BCAD故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船. 12.已知在东西方向上有MN两座小山,山顶各有一个发射塔AB,塔顶AB的海拔高度分别为AM100米BN200米,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车向北偏西60°方向行驶了100后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ,且BQAθ,经测量tan θ=2,求两发射塔顶AB之间的距离.解:在RtAMP中,APM=30°,AM=100,PM=100.连接QM(图略),PQM中,QPM=60°,又PQ=100∴△PQM为等边三角形,QM=100.在RtAMQ中,由AQ2AM2QM2,得AQ=200.在RtBNQ中,tan θ=2,BN=200,BQ=100,cos θ.BQA中,BA2BQ2AQ2-2BQ·AQcos θ=50 000,BA=100.即两发射塔顶AB之间的距离是100  

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