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高中数学高考2018高考数学(理)大一轮复习习题:第五章 平面向量 课时达标检测(二十五) 解三角形应用举例 Word版含答案
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课时达标检测(二十五) 解三角形应用举例 1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东80° D.南偏西80°解析:选D 由条件及图可知,∠A=∠CBA=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )A.240(-1)m B.180(-1)mC.120(-1)m D.30(+1)m解析:选C ∵tan 15°=tan(60°-45°)==2-,∴BC=60tan 60°-60tan 15°=120(-1)(m),故选C.3.如图,某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长________m.解析:设坡底需加长x m,由正弦定理得=,解得x=100.答案:1004.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为________km.解析:∵82+52-2×8×5×cos(π-D)=32+52-2×3×5×cos D,∴cos D=-.∴AC==7(km).答案:75.如图,已知在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在海岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°,俯角为60°的C处.轮船沿BC行驶一段时间后,到达海岛的正西方向的D处,此时轮船距海岛A有________千米.解析:由已知可求得AB=,AC=,BC=,所以sin∠ACB=,cos∠ACB=.在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,∠ACD=180°-∠ACB,sin∠ADC=sin(∠ACD+∠DAC)=sin∠ACD·cos∠DAC+sin∠DACcos∠ACD=,由正弦定理可求得AD==.答案: 一、选择题1.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( )A.10 km B.10 kmC.10 km D.10 km解析:选D 如图所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700,∴AC=10(km). 2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为( )A.8 km/h B.6 km/hC.2 km/h D.10 km/h解析:选B 设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为v km/h,由题意知,sin θ==,从而cos θ=,所以由余弦定理得2=2+12-2××2×1×,解得v=6 km/h.3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )A.10 海里 B.10 海里C.20 海里 D.20 海里解析:选A 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m解析:选A 设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m. 5.如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向进行海面巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30°方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )A.5(+)km B.5(-)kmC.10(-)km D.10(+)km解析:选C 由题意,知∠BAC=60°-30°=30°,∠ABC=30°+45°=75°,则∠ACB=180°-75°-30°=75°,∴AC=AB=40×=20(km).由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC=202+202-2×20×20×cos 30°=800-400=400(2-),∴BC===10(-1)=10(-)km.故选C. 6.(2016·武汉武昌区调研)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A.14 h B.15 hC.16 h D.17 h解析:选B 记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得OB2=6002+400t2-2×600×20t×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1 575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h). 二、填空题7.(2016·河南调研)如图,在山底A点处测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为________米.解析:由题图知∠BAS=45°-30°=15°,∠ABS=45°-(90°-∠DSB)=30°,∴∠ASB=135°,在△ABS中,由正弦定理可得=,∴AB=1 000,∴BC==1 000(米).答案:1 0008.如图,在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________;塔BB1的高为________m.解析:设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tan α,BB1=60tan 2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,∴△A1AC∽△CBB1,∴=,∴AA1·BB1=900,∴3 600tan αtan 2α=900,∴tan α=,tan 2α=,则BB1=60tan 2α=45(m).答案: 459.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.解析:如图,OM=AOtan 45°=30(m),ON=AOtan 30°=30×=10(m),在△MON中,由余弦定理得,MN= ==10(m).答案:1010.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°,经过420 s后看山顶的俯角为45°,则山顶的海拔高度为________m.(取 =1.4, =1.7)解析:如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知∠A=15°,∠DBC=45°,∴∠ACB=30°.AB=50×420=21 000(m).又在△ABC中,=,∴BC=×sin 15°=10 500(-).∵CD⊥AD,∴CD=BC·sin∠DBC=10 500(-)×=10 500(-1)=7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:2 650三、解答题11.已知在岛A南偏西38° 方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22° 方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船? 解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC=0.5x,AC=5海里,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船. 12.已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100米和BN=200米,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量tan θ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离.解:在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100,∴PM=100.连接QM(图略),在△PQM中,∠QPM=60°,又PQ=100,∴△PQM为等边三角形,∴QM=100.在Rt△AMQ中,由AQ2=AM2+QM2,得AQ=200.在Rt△BNQ中,tan θ=2,BN=200,∴BQ=100,cos θ=.在△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ·AQcos θ=50 000,∴BA=100.即两发射塔顶A,B之间的距离是100米.
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