2021高考数学（理）大一轮复习习题：第五章 平面向量 课时达标检测（二十八） 平面向量的数量积及其应用 word版含答案

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1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为( )
A．12 B．8 C．－8 D．2
解析：选A ∵|a|cs〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cs〈a，b〉＝3×4＝12.
2．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，eq \r(3))，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )
A．－2eq \r(3) B．2eq \r(3) C．4eq \r(3) D．6eq \r(3)
解析：选B 因为a＝(－2，m)，b＝(1，eq \r(3))，所以a－b＝(－2，m)－(1，eq \r(3))＝(－3，m－eq \r(3))．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－eq \r(3))·(1，eq \r(3))＝－3＋eq \r(3)m－3＝eq \r(3)m－6＝0，解得m＝2eq \r(3)，故选B.
3．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝eq \r(3)，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．2eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3)
解析：选B 由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝eq \r(3)，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2eq \r(3).
4．(2017·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
解析：选B a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,1×6)＝eq \f(1,2)，所以向量a与b的夹角为eq \f(π,3).
5.如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝eq \f(1,3)AB，则·等于________．
解析：因为＝＋＝＋eq \f(1,3)，＝＋，所以·＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(＋\f(1,3) ))·(＋)＝||2＋eq \f(1,3)||2＋eq \f(4,3)·＝1＋eq \f(4,3)－eq \f(4,3)·＝eq \f(7,3)－eq \f(4,3)||·||·cs 60°＝eq \f(7,3)－eq \f(4,3)×1×2×eq \f(1,2)＝1.
答案：1
一、选择题
1．已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0,1)，c＝(k，eq \r(3))，若a＋2b与c垂直，则k＝( )
A．－3 B．－2 C．1 D．－1
解析：选A 因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以eq \r(3)k＋eq \r(3)＋2eq \r(3)＝0，解得k＝－3.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝( )
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：选A 由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3eq \r(5)，则b的坐标为( )
A．(3，－6) B．(－3,6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
解析：选A 由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝3eq \r(5)，则eq \r(－λ2＋2λ2)＝3eq \r(5)，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，故选A.
4．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3)，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4 C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
解析：选B ∵n⊥(t m＋n)，∴n·(t m＋n)＝0，即t m·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cs〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×eq \f(3,4)|n|2×eq \f(1,3)＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.
5．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－eq \f(5,8) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8)
解析：选B 如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝eq \f(1,2)，＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，所以＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,4).又＝－，则·＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,4) ·(－)＝eq \f(1,2)·－eq \f(1,2)2＋eq \f(3,4)2－eq \f(3,4)·＝eq \f(3,4)2－eq \f(1,2)2－eq \f(1,4)·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝eq \f(3,4)－eq \f(1,2)－eq \f(1,4)×1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8).故选B.
6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－eq \f(3,2)，则λ＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1±\r(2),2) C.eq \f(1±\r(10),2) D.eq \f(－3±2\r(2),2)
解析：选A ∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－eq \f(3,2)，||＝||＝2，A＝60°，·＝||·||cs 60°＝2，∴·(λ－)＝－eq \f(3,2)，即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝eq \f(3,2)，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝eq \f(3,2)，解得λ＝eq \f(1,2).
二、填空题
7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.
解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq \r(82＋－82)＝8eq \r(2).
答案：8eq \r(2)
8．已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
解析：∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，又〈a，b〉∈，∴a与b的夹角为eq \f(2π,3).
答案：eq \f(2π,3)
9．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
解析：a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3λ2＋4λ>0，,2λ－6λ2≠0，))解得λ<－eq \f(4,3)或0<λeq \f(1,3)，所以λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．
解析：设＝λ＋μ，因为N在菱形ABCD内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.＝＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)＋.所以·＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) ＋ ))·(λ＋μ)＝eq \f(λ,2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(μ,2)))·＋μ2＝eq \f(λ,2)×4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(μ,2)))×2×2×eq \f(1,2)＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤·≤9，所以当λ＝μ＝1时，·有最大值9，此时，N位于C点．
答案：9
三、解答题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝0，
∴tan x＝1.
(2)∵m与n的夹角为eq \f(π,3)，
∴m·n＝|m||n|cseq \f(π,3)＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝eq \f(1,2)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2).
又∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
∴x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)，即x＝eq \f(5π,12).
12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
解：(1)m·n＝sin A·cs B＋sin B·cs A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，
∴sin(A＋B)＝sin C，
∴m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，∴sin 2C＝sin C，cs C＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,3).
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
∵·(－)＝18，
∴·＝18，
即abcs C＝18，ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.