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【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练(12)导数B卷
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这是一份【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练(12)导数B卷,共13页。试卷主要包含了已知函数,其中,已知函数,为的导数,证明,已知函数,设函数,已知函数,,已知实数,函数,,设函数,其中等内容,欢迎下载使用。
(12)导数B卷1.已知函数,其中.(1)讨论的单调性.(2)是否存在,对任意,总存在,使得成立?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.2.已知函数,为的导数,证明:(1)在区间上存在唯一极大值点;(2)有且仅有2个零点.3.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若有两个极值点,,证明:.4.设函数.(1)当时,求函数的最大值;(2)当,时,方程有唯一实数解,求正数m的值.5.已知函数,.(1)若曲线在处的切线方程为,且存在实数m,n,使得直线与曲线相切,求的值;(2)若函数有零点,求实数a的取值范围.6.已知实数,函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若是函数的极值点,曲线在点,处的切线分别为,,且,在y轴上的截距分别为,,若,求的取值范围.7.已知函数,.(1)若函数的图象在处的切线与直线平行,求m;(2)证明:在(1)的条件下,对任意,,成立.8.设函数,其中. (1)讨论的单调性;(2)求使得在区间内恒成立(为自然对数的底数)的a的取值范围.9.已知函数.(1)若是奇函数,且有三个零点,求实数b的取值范围;(2)若在处有极大值,当时,求出的值域.10.已知函数.(1)若函数的图象与直线相切,求实数a的值;(2)求在区间上的最大值.
答案以及解析1.答案:(1)见解析(2)存在满足题意的实数a,且实数a的值为解析:(1)由,得.当时,对任意,,所以单调递减.当时,令,得,当时,,当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在R上单调递减,无增区间;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)存在满足条件的实数a,且实数a的值为.理由如下:①当,且时,由(1)知,在上单调递减,则时,,则,所以此时不满足题意;②当时,由(1)知,在上,单调递增,在上,单调递减,则当时,.当时,对任意,,所以此时不满足题意;③当时,令,由(1)知,在上单调递增,从而知在上单调递减,所以,.若对任意的,总存在,使得,则的值域为值域的子集,即即所以,解得.综上,存在满足题意的实数a,且实数a的值为.2.答案:(1)见解析(2)见解析解析:(1)设,则,.当时,单调递减,而,,可得在上有唯一零点,设为.则当时,;当时,.所以在上单调递增,在上单调递减,故在上存在唯一极大值点,即在上存在唯一极大值点.(2)的定义域为.(i)当时,由(1)知,在上单调递增,而,所以当时,,故在上单调递减.又,从而是在上的唯一零点.(ii)当时,由(1)知,在上单调递增,在上单调递减,而,,所以存在,使得,且当时,;当时,.故在上单调递增,在上单调递减.又,,所以当时,.从而在上没有零点.(iii)当时,,所以在上单调递减.而,,所以在上有唯一零点.(iv)当时,,所以,从而在上没有零点.综上,有且仅有2个零点.3.答案:(1)见解析(2)见解析解析:(1),.令,则其判别式.①当,即时,,在上单调递减.②当,即时,方程有两个不相等的正根,,则当或时,,当时,,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.综上,当时,在上单调递减,无增区间;当时,在,上单调递减,在上单调递增.(2)不妨设.由(1)知,当且仅当时,有极小值点和极大值点,,..令,,则,在上单调递减,,即.4.答案:(1)(2)解析:(1)依题意,知的定义域为,当时,,则,令,解得或(舍去).当时,,此时单调递增;当时,,此时单调递减.所以的极大值为,此即函数的最大值.(2)由题意可知,.设,则,令,则.因为,所以,在上单调递减.因为,所以当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以.又,且当时,,所以可画出的大致图象,如图所示,方程有唯一实数解就等价于直线与的图象只有一个交点,由图象可知,即.5.答案:(1)(2)解析:(1),,,所以曲线在处的切线方程为,所以,则,即.,则曲线在点处的切线方程为,即,从而,,所以,.(2)由题意知,,函数有零点,即有根.当时,,不符合题意.当时,函数有零点等价于有根.设,则,设,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,所以仅有一根,且当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以.所以若函数有零点,则,从而.6.答案:(1)当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增(2)解析:(1),,,.①当,即时,,则在上单调递减;②当,即时,令,得,令,得,在上单调递减,在上单调递增.(由于,,因此分类讨论的标准是以是否在定义域内进行制定的)综上,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)是的极值点,,即,解得或(舍),此时,,切线的方程为,令,得,同理可得.,,整理得,,.又,,得,令,则,设,则,在上单调递增,又,,,(换元以及构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和在特定区间上的值域,从而求得的取值范围)即的取值范围为.7.答案:(1)(2)见解析解析:(1)的定义域为,,,因为的图象在处的切线与直线平行,所以,即.(2)在(1)的条件下,,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以在时取得最小值,所以.,则,令,,则,所以当时,,单调递增,当时,,单调递减.所以当时,,因为,所以在上单调递减,所以.所以对任意,,.8.答案:(1).当时,,在内单调递减.当时,由,有.此时,当时,,单调递减;当时,,单调递增.(2)方法一:令,.则.而当时,,所以在区间内单调递增.又由,有,从而当时,>0.当,时,.故当在区间内恒成立时,必有.当时,.由(I)有,从而,所以此时在区间内不恒成立.当时,令,当时,,因此,在区间单调递增.又因为,所以当时, ,即恒成立.综上,方法二:原不等式等价于在上恒成立.一方面,令只需在上恒大于0即可又,故在处必大于等于0.令,,可得.另一方面,当时,故,又,故在时恒大于0当时,在单调递增,故也在单调递增.,即在上恒大于0.综上,.解析:9.答案:(1)因为是定义域为R的奇函数,所以,且,所以,所以.当时,,此时在R上单调递减,在R上只有一个零点,不符合题意.当时,,解得.因为在R上有三个零点,所以且.又,,恒成立,所以.综上,实数b的取值范围为.(2)由题意,得,,,解得或当,时,,,令,得,令,得或,所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以在处有极小值,与题意不符.当,时,,.令,得;令,得或,所以函数在区间和上单调递减,在区间上单调递增,所以在处有极大值,符合题意,故,.又因为,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.又,,,所以函数在区间上的值域为.10.答案:(1)设切点.因为切线方程为,所以,①又,②由①,得③将③代入②,得,即,则或,当时,代入③,得;当时,代入③,得.因为,所以实数a的值为1.(2)由题意,得.当时,,所以当时,,则函数在区间上单调递增,当时,,则函数在区间上单调递减,所以;当时,,所以当时,,则函数在区间上单调递增,当时,,则函数在区间上单调递减,当时,,则函数在区间上单调递增.又,,所以当时,;当时,.综上,
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