【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（11）导数A卷

这是一份【配套新教材】2023届高考数学二轮复习解答题专练（11）导数A卷，共14页。试卷主要包含了已知是函数的一个零点，已知函数，设函数，其中，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
（11）导数A卷1.已知是函数的一个零点.（1）求的极小值；（2）设，当时，求证：.2.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.3.设函数，其中.（1）若在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.4.已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值.5.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，试讨论的零点个数.6.已知函数（是自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求正数a的取值范围.7.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）求证：当时，；（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的值.8.已知函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.9.已知函数.（1）若函数为增函数，求实数a的取值范围.（2）设有两个不同零点，.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若，证明：.10.已知函数.(1)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，求证：.


 
答案以及解析1.答案：（1）（2）见解析解析：（1）是的一个零点，，即，解得，，定义域为，，①当时，，在上是增函数，故无极值；②当时，当时，，是减函数；当时，，是增函数，的极小值为.（2）证明：当时，.设，则，，.由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，则，则，则.2.答案：(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2)取值范围为.解析：(1)，令，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.(2)恒成立，即恒成立.令，即对恒成立.由(1)知，当时有极小值也是最小值，，，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时有极大值也是最大值，.若对恒成立，则应满足，只要，即，所以，所以若不等式恒成立，则a的取值范围为.3.答案：（1）（2）见解析解析：（1）由在上恒成立，得，即，.令，，则.当，即时，，所以函数在上单调递增，，故恒成立，满足题意；当，即时，设，则图象的对称轴，，，所以在上存在唯一实根，设为，则当时，，即，所以在上单调递减，则，此时，不符合题意.综上，实数a的取值范围是.（2）证明：由题意得，当时，，.由得，即.令，则，所以在上单调递增，，即，所以，从而.由（1）知，当时，在上恒成立，整理得.令，则要证，只需证.因为，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立.综上可得，对任意，都有成立.4.答案：（1）当时，在上单调递增（2）的最大值为3解析：（1）函数的定义域为，，（下面分及讨论导函数的正负）当时，恒成立，在上单调递增.当时，令，，当时，在上恒成立，.所以恒成立，在上单调递增.当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，（等号不恒成立），在上单调递增.综上，当时，在上单调递增.（2）依题意，得，则即两式相除得，，设，则，，，，，.（利用比值代换，则有，，，从而将双变量问题变为单变量问题来解决）设，则.（构造函数并利用导数研究函数的最值即可）设，则，在上单调递增，此时.，则在上单调递增.又，即，而，，即的最大值为3.5.答案：(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为2.解析：(1)由题意得的定义域为.，由，得.①若，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减.②若，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)，定义域为，，①当时，，在上单调递增，易知，取，则，又，所以根据零点存在定理知，在上有唯一零点.②当时，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，且，令，解得.则当时，在上有唯一零点；当时，，在上没有零点；当时，，且，因为，，所以由零点存在定理知，在上有唯一零点，在上有唯一零点.综上，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为2.6.答案：（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解析：（1）当时，，，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），，且，.（构造新函数，对新函数求导，确定的单调性）设，则，在上单调递增，即在上单调递增，当时，，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，恒成立.当时，，，，，（根据零点存在性定理确定的零点，从而确定的正负，从而可以确定的最小值）存在唯一，使得，且当时，，当时，，，，因此，（，当且仅当时取等号，又，则等号取不到，则），恒成立.当时，，，则不恒成立.综上所述，正数a的取值范围是.一题多解  等价于，令，上述不等式等价于，显然为增函数，，即.令，则，在上，，单调递增；在上，，单调递减，，，即，正数a的取值范围是.7.答案：（1）见解析（2）实数a的值为2解析：（1），当时，，，则；当时，，，则，在上单调递增，，而，，.（2）令，则对任意恒成立，若，则，与题意不符.故只需考虑时的情况，，，，令，则，显然当时，，故在上单调递增，①当时，则，，故存在，使得，且当时，单调递减，，与题意不符；②当时，则，当时，，，故，在上单调递增.又，故存在，使得，当时，单调递增，，与题意不符；③当时，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，恒成立.综上，实数a的值为2.8.答案：(1).(2)取值范围为.解析：(1)因为，所以，所以.又，所以曲线在点处的切线方程为，即.(2)对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，所以当时，，所以.下面证明当时，对任意的，恒成立，即证当时，对任意的，恒成立，只需证对任意的，恒成立.令，所以，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数a的取值范围为.9.答案：（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析解析：（1）对求导得.函数是上的增函数，，当且仅当，即时，等号成立，.（函数是上的增函数转化为在上恒成立）实数a的取值范围是.（2）（ⅰ）由题知，的两个根为，.不妨设，，.要证，只需证.（令，下面证明在上恒成立）令，，则在上恒成立，在上为增函数.当时，，，.（ⅱ），，由（ⅰ）知，，.（令，利用导数求的最小值）令，，令，且不恒为0，在上为增函数，.当时，，，在上为增函数，.，，.，.10.答案：(1)取值范围为.(2)证明过程见解析.解析：(1)由得，即.两边同时加x得，令，则.为增函数，，即.令，则，在上单调递减，在上单调递增，，，解得，故实数a的取值范围为.(2)令，则.令，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，则，且当时，.函数有两个不同的零点，即关于x的方程在上有两个不相等的实根，即直线与函数的图象有两个不同的交点，所以.不妨设，则易得，要证，只需证.又，，所以只需证.令，则，当时，，，所以，则在上单调递增，所以，即，所以.