中考数学专题复习全攻略：第一节　实数及其运算 含解析答案

第一节         实数及其运算

知识点一：实数的概念及分类  

注意：无理数中，切记“无限不循环”这一本质，四类：

（1）开方开不尽的数，如等；（开得尽方的含根号的数属于有理数，如，=-3，它们都属于有理数.）

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+100等；

（3）有特定结构的数，如3.2020020002…等，一定要注意后面要带省略号；

（4）某些三角函数，如sin30o ，tan75等

注意：0既不属于正数，也不属于负数.

知识点二  ：实数的相关概念

（一）数轴  （1）规定了的原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。

（2）三要素：数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可。

（3）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

注意：　

1）从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应零。数轴上的点对应任意实数，包括无理数。

　　2）在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。

3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

变式练习．在－3，－1，1，3四个数中，比－2小的数是( A )

A．－3  B．－1  C．1  D．3

（二）.相反数

（1）概念：只有符号不同的两个数

（2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0

（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等

注意：a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.

变式练习：.－2的相反数是(　　)

A. 2         B. －2        C.          D. －

【解析】A　a的相反数是－a，因此－2的相反数为－(－2)＝2.

．(易错题) A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是( B )

（三）.绝对值

（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离

（2）运算性质|a|=   a (a≥0)；  |a-b|=    a-b(a≥b)

                             -a(a＜0).           b-a(a＜b)

（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.

初中阶段认识了3种非负数：（a≥0）    |a|

变式练习1：3的绝对值是3；|-4|=4；;|0|=0.

变式练习2.实数a在数轴上的位置如图所示，则

|a－2.5|＝(　　)

第2题图

A. a－2.5　　　　　　    B. 2.5－a

C. a＋2.5　　　　　　    D. －a－2.5

【解析】B从数轴可以看出0＜a＜2.5，所以a－2.5＜0，所以|a－2.5|＝－(a－2.5)＝2.5－a.

变式练习3：．数轴上点A、B表示的数分别是5，－3，它们之间的距离可以表示为( D )

A．－3＋5  B．－3－5

C．|－3＋5|  D．|－3－5|

变式练习4：.实数a在数轴上的位置如图，则|a－3|＝__3－a__．

（四）倒数 

（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0) 即零没有倒数，

（2）代数意义：a、b 互为倒数ab=1

注意：

（1）倒数等于它本身的数有±1.

（2）分数的倒数：找一个分数的倒数，把分数的分子和分母交换位置。

（3）整数的倒数：找一个整数的倒数，把3化成分数，即3/1，再把3/1这个分数的分子和分母交换位置。

（4）小数的倒数：找一个小数的倒数，先化成分数，再求分数的倒数。

变式练习：.－2的倒数是(　　)

A. 2         B. －2        C.        D. －

【解析】D一个数的倒数等于与这个数乘积为1的数，因此－2的倒数为－.

知识点三 ：科学记数法、近似数

1.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数

（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）             

变式练习1：41000用科学记数法表示为4.1×104；  

12万用科学记数法表示为1.2×105；

0.0003用科学记数法表示为3×10-4.

变式练习2： 据广东省旅游局统计显示，2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客27700000人，将27700000用科学记数法表示为(　　)

A. 0.277×107　 B. 0.277×108　 C. 2.77×107　 D. 2.77×108

【解析】C将一个大数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，故a＝2.77，n为正整数，n的值为原数的整数位数减1，因此n＝8－1＝7，故27700000用科学记数法表示为2.77×107.

变式练习3：PM2.5是指大气中直径小于或等2.5μm

(0.0000025m)的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为(　　)

A. 25×10－7　　B. 2.5×10－6　　C. 0.25×10－5　　D. 2.5×106

【解析】B一个将小数表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前0的个数，即a＝2.5，n＝－6，所以0.0000025＝2.5×10－6.

2.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.

（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 

注意：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这是，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。

变式练习：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.

知识点四 ：实数的大小比较（常见方法归纳）

（1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小。

（2）数轴比较法：：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数

（3）    作差比较法：设a、b是任意的实数a-b>0a>b    a-b=0a=b   a-b<0a<b

（3）设a、b是正实数   

（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.

变式练习1.如图所示，a与b的大小关系是(　　)

1. a＜b      B. a＞b     C. a＝b      D. b＝2a

第1题图

【解析】A数轴上原点左边的数表示负数，原点右边的数表示正数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小，故a＜b.

变式练习2.在0，2，(－3)0，－5这四个数中，最大的数是(　　)

A. 0        B. 2         C. (－3)0      D. －5

【解析】B∵(－3)0＝1，∴－5＜0＜(－3)0＜2，∴最大的数是2.

变式练习3下列各数中最小的数是(　　)

A. 0　　　　B. －3　　   C. －　　  D. 1

【解析】B　根据正数>0>负数，负数相比较，绝对值大的反而小，得－3<－<0<1.

变式练习4.把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.

变式练习5．已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：b＞a，x＋y＝a＋b，y－x＜a－b.将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是__y＜a＜b＜x__.

点拨：∵x＋y＝a＋b，∴y＝a＋b－x，x＝a＋b－y，把y＝a＋b－x代入y－x＜a－b得：a＋b－x－x＜a－b，2b＜2x，b＜x①，把x＝a＋b－y代入y－x＜a－b得：y－(a＋b－y)＜a－b，2y＜2a，y＜a②，∵b＞a③，∴由①②③得：y＜a＜b＜x

知识点五 ：实数的运算

（1）加法：1、同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加。

2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两个数相加得零。

4、一个数与零相加，仍得这个数。

注意：有理数的加法运算（顺口溜）      

      同号两数来相加，绝对值加不变号。

      异号相加大减小，大数决定和符号。

      互为相反数求和，结果是零须记好。

      【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

（2）减法：1、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

  2、有理数减法常见的错误：没有顾到结果的符号；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。

注意：（1） 有理数的减法运算 （顺口溜）

      减正等于加负，减负等于加正。

      有理数的乘法运算符号法则

      同号得正异号负，一项为零积是零。

（2） 有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；
    

（3）乘法：1、两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

2、任何数与0相乘都得0。

除法：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

注意：1)、除以一个数，等于乘上这个数的倒数；

2)、0不能做除数。 

变式练习．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．

（4）常见运算

1.乘 方 、有理数的乘法的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“an”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，乘方的结果叫做幂。

（1）几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）
（2）零次幂  a0=_1_(a≠0)

（3）负指数幂  a-p=1/ap（a≠0，p为整数）

变式练习.下列等式正确的是(　　)

A. (－1)－3＝1                 B. (－4)0＝1

C. (－2)2×(－2)3＝－26       D. (－5)4÷(－5)2＝－52

【解析】B逐项分析如下：

2.算术平方根与平方根、

   若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.

立方根  若x3=a,则x=.

变式练习：（1）计算：1-2-6=_-7__;(-3)2=__9__;

2-1=_1/2_;π0=__1__;

   (2)64的平方根是_±8__,算术平方根是_8_,立方根是__4__.

（5）有理数的混合运算：

1、进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。

2、进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算

运算律：①加法的交换律 a+b=b+a

②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在数0，使 0+a=a+0=a；

④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交换律 ab=ba；

⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；

在实数范围内，加减乘除（除数不为零）、乘方都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方。

有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算。

变式练习1.计算：|－3|－(2016＋sin30°)0－(－)－1.

解：原式＝3－1＋2  

变式练习2.计算：(－1)0＋sin45°－22.

原式＝1＋3×－4

            ＝1＋3－4 

            ＝0. 

变式练习3.计算：＋|－4|＋(－1)0－()－1.

解：原式＝3＋4＋1－2 

            ＝6.

变式练习4.计算：－2sin45°－(1＋)0＋2－1.

解：原式＝－2×－1＋

            ＝－－1＋ 

            ＝－.

变式练习5，计算：－(π－2017)0＋|－2|＋2sin60°.

解：原式＝2－1＋2－＋2×

＝2－1＋2－＋

＝3.