高中数学高考 2021届高三第三次模拟考试卷 理科数学（一） 学生版(1)

2021届好高三第三次模拟考试卷

理 科 数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，；，．那么的取值范围分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知全集，集合，，则集合（    ）

A．  B．

C． D．

3．复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

4．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则的值为（    ）

A．2 B． C．4 D．5

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），

则下列结论正确的是（    ）

A．平面与平面所成的角的大小为定值

B．

C．四面体的体积为定值

D．平面

8．已知函数，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

9．某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户入住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有（    ）

A．25920种 B．26890种 C．27650种 D．28640种

10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等．记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数．

对于下列说法：

①越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则．

其中正确的是（    ）

A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④

11．已知向量，满足，，若，且，

则的最大值为（    ）

A．3 B．2 C． D．

12．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为______．

14．用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________项（填多少项即可）．

15．已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则___________．

16．若存在直线，对于函数，，使得对任意的，，对任意的，，则的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列中，，，数列满足，．

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（12分）如图，四棱柱的侧棱底面，四边形为菱形，，分别为，的中点．

（1）证明：，，，四点共面；

（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．

19．（12分）已知圆经过椭圆的右焦点，且经过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．

20．（12分）已知函数．

（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；

（2）当时，证明：有一个极大值点和一个极小值点．

21．（12分）射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动．射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康．为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动．

（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为，靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击．记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望；

（2）张三在休息之余用手机逛站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘．这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”．由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917，弹容为6发的左轮手枪，弹巢中有发实弹，其余均为空包弹．现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹．假设每次射击相互独立且均随机．在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数．

（ⅰ）当时，探究数学期望和之间的关系；

（ⅱ）若无论取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最小的射击次数．（参考数据：、）

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，

轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）若，交于，两点，求．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，，求实数的取值范围．

2021届好高三第三次模拟考试卷

理 科 数 学（一）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】由，，得，即；

由，，得，即，

故选C．

2．【答案】D

【解析】由，得，所以，

由，得，

所以，所以，故选D．

3．【答案】D

【解析】，

则，

所以，因此，故选D．

4．【答案】D

【解析】取，，则，排除A，B；

因为，则，，从而，

又，即，则，所以，

故选D．

5．【答案】C

【解析】∵两个等差数列和的前n项和分别为和，且，

∴，故选C．

6．【答案】A

【解析】由题知的定义域为，

因为，

所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除选项B；

又，故排除选项C，

，故排除选项D，

故选A．

7．【答案】D

【解析】对于A：假设，则可得，

又，则此时二面角为，则为非定值，故A错；

对于B：如图建立空间直角坐标系，

取，则，，，，

则，，所以，

则不成立，故B错；

对于C：，

而PB为非定值，则为非定值，故C错；

对于D：因为平面平面，而，

根据面面平行的定义可知平面，故D正确，

故选D．

8．【答案】B

【解析】由正切函数的图象，知在区间上为增函数．

又由，得，

∴函数在区间（）上为增函数，

∴函数在区间上为增函数，

又，∴函数的递增区间为，

故选B．

9．【答案】A

【解析】从4位女住户中安排其中2位入住中间四个房间中的两个有种入住方式；

从6位男住户中安排其中4位入住剩下的4个房间有种入住方式，

一共有种安排方式．

10．【答案】A

【解析】对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确；

对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误；

对于③，因为，所以，所以③错误；

对于④，因为，所以，所以④正确，

故选A．

11．【答案】D

【解析】如图：令，，则，故．

因为，所以，

记的中点为，所以点在以为直径的圆上．

设，连接，

因为，所以点在直线上．

因为，所以，即，所以．

结合图形可知，当时，即取得最大值，且，

故选D．

12．【答案】C

【解析】由题设，则线段的中点为，

由三角形重心的性质知，即，解得，，

即代入直线，得①．

又B为线段的中点，则，，

又为椭圆上两点，，，

以上两式相减得，

所以，化简得②

由①②及，解得，即离心率，

故选C．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】4

【解析】由，

又，解得，

由余弦定理知，

故答案为4．

14．【答案】5

【解析】当时，原式为，

当时，原式为，

比较后可知多了，共5项．

故答案为5．

15．【答案】12

【解析】由题意可知展开式的二项式系数为，

当时，取得最大值，

展开式的系数为，

当满足时，系数最大．

即，

，即，解得，

又，时，系数的最大值为，

则，故答案为12．

16．【答案】

【解析】假设存在满足题意．

（i）由，即，

得，所以，

（ii）令，，

①若，则，单调递增，

，不合题意；

②若，则在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，即，

由（i）得，即，

令，，

，所以单调递增，

又因为，

所以在是单调递减，是单调递增，

所以，所以，

故答案为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）设数列的公差为，

∵为等差数列，∴，∴．

∵，∴，解得．

∴，

∴，∴，∴．

∵，∴是首项､公比均为的等比数列．

∴，∴，

∴，．

（2），

设为数列的前项和，则；

设为数列的前项和，

当为偶数时，；

当为奇数时，，

则，

∴，

即．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取的中点为，连接，，

由，分别为，的中点，

易知四边形为平行四边形，故，

又是的中点，即，∴，

故，，，四点共面．

（2）连接、交于点，取上底面的中心为，

以为原点，、、分别为、、轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

∴，，，

设面的一个法向量为，则，

即，取．

设直线与平面所成角为，故，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

19．【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）因为圆经过椭圆的右焦点，

所以，，

且过点作圆的切线被椭圆截得的弦长为，

所以在椭圆上，即，

所以，，

故椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率为零或不存在时，显然不满足题意；

设直线方程为，

联立，化简整理，得．

设交点，的坐标为，，

则，，

故有

，

由，得，

即有，解得，

所以直线的方程为或．

20．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，得，

设，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

因为在R上是减函数，所以，所以，

故m的取值范围是．

（2）当时，．

由于，，所以在上有零点，

又在上单调递增，

所以在上只有一个零点，设为．

又，设，

则，即在上单调递减，

所以，即，所以，

所以在上有零点，

又在上单调递减，所以在上只有一个零点，

设为．

因此，当时，，

当时，，

当时，，

即在，上单调递减，在上单调递增，

所以当时，的极小值是，

当时，的极大值是，

因此，有一个极大值点和一个极小值点．

21．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）（ⅰ）；（ii）．

【解析】（1）由题意，的所有可能取值为，，，…，，，

因为张三每次打靶的命中率均为，

则，，

所以的分布列为

所以的数学期望为，

令①，

则②，

所以①②可得，，

则．

（2）（ⅰ）第次射击后，可能包含两种情况：第次射出空包弹或第次射出实弹，

因为第次射击前，剩余空包弹的期望为，

若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，

因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为；

若第次射出实弹，则此时对应的概率为，

所以此时空包弹的数量为；

综上，．

（ⅱ）因为当时，弹夹中有发空包弹，则；

由（i）可知：，

则，

所以是首项为，公比为的等比数列，

则，即，

因此弹巢中实弹的发数的期望为，

为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于，只需，则，

所以，

为使恒成立，只需，

而

，

又，所以最小的射击次数．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由参数方程，可知的普通方程为，

∴的极坐标方程为，

由极坐标方程，有，即，

∴的直角坐标方程为．

（2）的极坐标方程为，的极坐标方程为，

联立，解得，，

由，得，∴，

则，即．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由绝对值函数式，可得，

∴由，得或或，解得，

∴不等式的解集为．

（2）当时，，若存在，，

即，则，

∴只需，．

∵，当且仅当，即时取等号，

∴，故，

的取值范围为．