高中数学高考 2021届高三第三次模拟考试卷 理科数学（二） 教师版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高三第三次模拟考试卷 理科数学（二） 教师版(1)，共8页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，若，则的取值范围为等内容，欢迎下载使用。
2021届好高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的子集的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，因此它的子集个数为4，故选D．2．“”是“”成立的（    ）A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，利用对数函数性质可知：，故必要性成立，而，但不能确定是否小于0，小于0时函数无意义，故不能推出，故充分性不成立，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B．3．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由，所以复数的虚部为，故选D．4．设向量，，且，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，向量，，可得，因为，可得，解得，故选A．5．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由可得，作出直线并平移可得，当直线经过点C时，其在轴上的截距最大，此时取得最大值，由，解得，即，所以的最大值为，故选A．6．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（    ）A．  B．C．  D．与均为的最小值【答案】C【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；对于C选项，由可得，，C选项错误；对于D选项，由可得，且，，，所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；对于B选项，，，当时，，所以，，B选项正确，故选C．7．已知函数满足，且对任意的，，，都有，，则满足不等式的的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】可化为，所以在上为增函数，又，所以为奇函数，所以为奇函数，所以在上为增函数．因为，所以，所以，即，故选B．8．已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（    ）A．0 B． C．3 D．或3【答案】D【解析】因为，所以，则，所以，所以函数在处的切线方程为，由，得，由，解得或，故选D．9．若，则的取值范围为（    ）A．  B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆，的几何意义是点与点连线的斜率，如图，，，，，，所以的取值范围为，故选D．10．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（    ）A．56个 B．57个 C．58个 D．60个【答案】C【解析】第一类23154，有1个，第二类234**形式，有2个，第三类235**形式，有2个，第四类24***形式，有个，第五类25***形式，有个，第六类3****形式，有个，第七类41***形式，有个，第八类42***形式，有个，第九类43***形式，有个，合计共58个．11．已知菱形的边长为，沿对角线将三角形折起，则当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】当平面平面时，四面体的体积最大．令，则，的高为，则，则，当时，；当时，，故当，即时，有最大值，此时在四面体中的．以四面体的顶点构造长方体（长、宽、高分别为，，，四面体的棱是长方体的面对角线），则，令四面体的外接球（即长方体的外接球）的半径为，则，则外接球的表面积，故选A．12．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由（）★★，得（）★★，又★，所以★，★，★，，以此类推，2020★2018★，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此类推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故选B． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的图象在上有________条对称轴．【答案】4【解析】由，，求得对称轴方程为，，由，，解得，，再由，可得，，0，1，故对称轴有4条，故答案为4．14．下列说法正确的是________．①设回归方程为，则变量增加一个单位时，平均增加3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对越接近于1；③随机变量服从二项分布，则；④若，则；⑤，．【答案】②④【解析】①回归方程为，则变量增加一个单位时，平均减少3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③随机变量服从二项分布，则；④若，则；⑤，．综上所述，只有②④正确，故答案为②④．15．在矩形内有､两点，其中，，，，，则该矩形的面积为_________．(答案如有根号可保留)【答案】【解析】如图，连接交于，，，，，，，，在中，由余弦定理可得，同理，在中，由余弦定理可得，，在中，可得，则矩形面积为，故答案为．16．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为__________．【答案】【解析】由椭圆的右焦点为，知，则，，设直线MN的方程为，设，，将直线MN的方程与椭圆的方程联立，整理可得，，，，所以，所以MN的中点，因为F为的重心，所以，即，所以，即，两式相比可得．故答案为． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图所示，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距海里．乙船每小时航行多少海里？【答案】．【解析】连接A1B2，如下简图，由题意知，A1B1＝20，，，又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，故∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，，在△A1B2B1中，由余弦定理得，故(海里)，时间为（小时），因此乙船的速度大小为 (海里/小时)．18．（12分）2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为国际数学日，以“庆祝数学在生活中的美丽和重要性”．为庆祝该节日，某中学举办了数学嘉年华活动，其中一项活动是“数学知识竞答”闯关赛，规定：每位参赛者闯关，需回答三个问题，至少两个正确则闯关成功．若小明回答第一，第二，第三个问题正确的概率分别为，，，各题回答正确与否相互独立．（1）求小明回答第一，第二个问题，至少一个正确的概率；（2）记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为，求的分布列及小明闯关成功的概率．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）设事件为小明回答正确第一个问题，事件为小明回答正确第二个问题，则为小明回答错误第一个问题，为小明回答错误第二个问题，，．所以小明回答第一，第二个问题，至少有一个正确的概率为：．（2）设事件为小明回答正确第三个问题，由题知，小明在闯关赛中，回答题目正确的个数的取值为0，1，2，3，所以，，，．故的分布列为：0123所以小明闯关成功的概率为．19．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且侧面底面，侧面底面，点是的中点，动点在边上移动，且．（1）证明：底面；（2）当点在边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：侧面底面，且侧面底面，，平面，，同理，侧面底面，且侧面底面，，平面，，底面．（2）底面，点是的中点，且，．侧面，且，侧面，，侧面，为二面角所成的角，当时，，，，三线两两垂直，分别以，，为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，，则；设平面的法向量为，由，得，令，得，，，设二面角为，则．20．（12分）已知动圆过定点且与直线相切．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线、，与曲线交于、两点，与曲线交于、四点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵动圆过定点且与直线相切，∴动点到点的距离与到直线的距离相等，∴动点在以为焦点，为准线的抛物线上运动，∴抛物线的方程为．（2）由已知得两直线、的斜率存在，且不为，设四点坐标分别为、、、，直线的方程为，则直线的方程为，联立，得，恒成立，∴，，则，同理得，∴，当且仅当，即时取等号，∴当时四边形面积的最小值为．21．（12分）已知函数．（1）讨论的极值情况；（2）若时，，求证：．【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）定义域为，求导得．①当时，，为上增函数，无极值；②当时，，得．时，，为减函数；时，，为增函数，所以时，有极小值，无极大值．（2）①当时，，使，则，，此时成立；②当时，由（1）得时，有最小值，，则，解得，所以，设，则，因为为上减函数，且，，则存在唯一实数，使，，当时，，为增函数；当时，，为减函数，当时，有最大值，为上增函数，时，，则，所以，综上所述，． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为，则有，则，即曲线的普通方程为．直线的极坐标方程，展开可得，将代入，可得，即，即，所以斜率，则，由，可得，所以直线的倾斜角为．（2）由（1）知，点在直线上，则直线的参数方程为(为参数)．将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，整理得，设点对应的参数分别为，则，，所以．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）已知函数的最小值为，正实数满足，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）解：由题可得，所以，即或或，解得或，所以不等式的解集为．（2）证明：，则，则，故，当且仅当时取等号．