高中数学高考 2021届高三第三次模拟考试卷 文科数学（二） 学生版(1)

2021届好高三第三次模拟考试卷

文 科 数 学（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

3．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

5．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

7．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则使得的值为（    ）

A． B． C． D．

8．设函数，在上的图象大致如图，将该图象向右平移个单位后所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为（    ）

A． B． C． D．

10．为了给数学家帕西奥利的《神圣比例论》画插图，列奥纳多·达·芬奇给他绘制了一些多面体，如图的多面体就是其中之一．它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的体积等于（    ）

A． B． C． D．

11．已知，是双曲线的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，．若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

12．当时，函数的图象在直线的下方，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在中，，，，则_________．

14．在平面直角坐标系中，点，直线．设点关于直线的对称点为，则的取值范围是_________．

15．设函数，则_______．

16．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为的球)正好落入孔中的概率是______．

(不作近似计算)

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（12分）起源于汉代的“踢毽子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在高一年级进行了“踢毽子”比赛，以学生每分钟“踢毽子”的个数记录分值，一个记一分．参赛学生“踢毽子”的分值均在分之间，从中随机抽取了100个样本学生“踢毽子”的成绩进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在之间为“踢毽健将”，90分以上为“踢毽达人”．

（1）求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)；

（2）要在“踢毽健将”和“踢毽达人”中分层抽样抽出6名同学在全级进行表演，试问“踢毽达人”张睿被抽取的概率是多少？

（3）以样本的频率值为概率，若高一（1）班有60个同学，试估计该班“踢毽健将”和“踢毽达人”各有多少人．

19．（12分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，且，、分别为、的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求点到的距离．

20．（12分）已知函数．

（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若函数，当时，证明：，．

21．（12分）已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于两点，求．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，．

（1）求函数的图象与直线围成区域的面积；

（2）若对于，，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2021届好高三第三次模拟考试卷

文 科 数 学（二）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】由，得，则有，

，

∵在上单调递增，则，

，如图，

观察数轴得，故选D．

2．【答案】C

【解析】，，，故选C．

3．【答案】A

【解析】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，即“攻破楼兰”“返回家乡”；

若“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，即“返回家乡”“攻破楼兰”，

“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A．

4．【答案】D

【解析】当，即时，恒成立，符合题意；

当时，由题意知，解得，

∴，故选D．

5．【答案】A

【解析】法一：由函数，则，

所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除B；

因为，所以排除D；

因为，所以排除C，

故选A．

6．【答案】C

【解析】由题设可得，即，则，

设与的夹角为，则．

又，故，

因为是与方向相同的单位向量，所以在方向上的投影向量为，故选C．

7．【答案】C

【解析】当时，；

当时，，

而也符合，

∴，．

又，

∴，

所以，故选C．

8．【答案】C

【解析】根据五点法作图，知，解得，

，

将向右平移个单位得，

图象关于对称，

，解得，

由，可令得的最小值，故选C．

9．【答案】D

【解析】解法一：设，由题意可得，

数据、、、的平均数为，

因此，数据、、、的方差为．

解法二：由，根据方差的性质得，

故选D．

10．【答案】D

【解析】如图，把该多面体补形为正方体，由所给多面体的棱长为2，得正方体的棱长为，

正方体的中心即为多面体的外接球球心，球心到多面体顶点的距离为，

即所求外接球的半径，其体积，故选D．

11．【答案】A

【解析】设，则，

从而，从而．

过作，则．如图：

在中，，,

在中，，

即，所以，故选A．

12．【答案】D

【解析】由题意知，，

构造函数，，

令，则，，

故当时，单调递减；当时，单调递增，

所以，所以，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】2

【解析】因为，，，，

所以，解得或（舍去），

故答案为2．

14．【答案】

【解析】根据题意，设的坐标为．

（1）当时，则直线的方程为，此时点，则；

（2）当时，因为、两点关于直线对称，则线段的中点在直线上，所以，①

直线，则，②

联立①②，解得，，即点，

所以，，，．

（i）当时，，

当且仅当时，等号成立，

又，此时；

（ii）当时，，

当且仅当时，等号成立，

又，此时，

综上所述，的取值范围是，故答案为．

15．【答案】

【解析】，，

，

因此，，

故答案为．

16．【答案】

【解析】随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，则油滴球心在以圆面圆心为圆心，

半径为的圆内，即，

若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔边沿距离为的正方形内，

即，

所以概率是．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）设等差数列的公差为，

由，，成等比数列，可得，

即，解得或（舍），

所以数列的通项公式．

（2）由（1）得，

所以，

可得，

两式相减得

，

所以．

18．【答案】（1）68；（2）；（3）“踢毽健将”人；“踢毽达人”人．

【解析】（1）由，

样本的平均值为68．

（2）依频率分布直方图“踢毽健将”有10人，“踢毽达人”有5人．

需分层抽样抽6人，则要在“踢毽达人”中抽取2人，

所有的抽法共10种，包含张睿的抽法有4种，

故张睿同学被抽取的概率是．

（3）由频率分布直方图知，“踢毽健将”和“踢毽达人”的频率分别是和，

由此估计“踢毽健将”和“踢毽达人”的概率分别是和，

所以高一（1）班“踢毽健将”有人，“踢毽达人”有人．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连接交于点，连接，

因为四边形为菱形，且，为的中点，

因为为的中点，所以，且，

在直四棱柱中，且，

为的中点，则且，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，

又∵，，，

∴平面，∴平面．

（2）解：若，则和为等边三角形，，

平面，平面，，

，则，由勾股定理可得，

同理，

连接，则，所以，

所以，

而，设点到面的距离为，

则由（1）知及，得，

解得，

所以点到面的距离．

20．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），，

由题意得有两个不等实根．

设，，

时，，递减；时，，递增，

所以，

时，且时，，而，

所以方程有两个不等实根，则．

（2）由已知，，易知在上是增函数，

，，因此在上存在唯一的，使得，

当时，，递减；当时，，递增，

所以，

而，，，

所以，

所以，．

21．【答案】（1）；（2）是定值，定值为4．

【解析】（1）为正三角形，，可得，

且，，

∴椭圆的方程为．

（2）分以下两种情况讨论：

①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，，

联立，消去得，

则，且，

∴弦的中点的坐标为，

则弦的垂直平分线为，

令，得，，

又

，

；

②当直线斜率为0时，则，，则，

综合①②得是定值且为4．

22．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，

又，所以，即．

（2）把直线参数方程，得，

，，

由于，所以异号，

．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由与围成的区域是，如图所示，

其中，，，所以，

到直线的距离为3，

故所求面积为．

（2）因为，，且，

所以，即，

若不等式恒成立，则有，

即，解不等式，

可得或或，解之得或，

所以实数的取值范围为．