高中数学高考 2021届高三大题优练6 圆锥曲线之定值定点问题（文） 教师版

例1．已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线（的斜率存在）交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

【答案】（1）；（2）是定值，定值为4．

【解析】（1）为正三角形，，可得，

且，，

∴椭圆的方程为．

（2）分以下两种情况讨论：

①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，，

联立，消去得，

则，且，

∴弦的中点的坐标为，

则弦的垂直平分线为，

令，得，，

又

，

；

②当直线斜率为0时，则，，则，

综合①②得是定值且为4．

例2．已知是椭圆的左焦点，焦距为，且过点．

（1）求的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线，若与交于两点，与交于两点，记的中点为的中点为，试判断直线是否过定点，若过点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】（1）；（2）过定点，．

【解析】（1）由题意可得，解得或(舍），

，

故椭圆的方程为．

（2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴；

当的斜率都存在且不为时，设，

设，，联立，整理得，

，，，

则，

所以的中点，

同理由，可得的中点，

则，

所以直线的方程为，

化简得，

故直线恒过定点．

综上，直线过定点．

1．已知椭圆()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为的周长为，

所以，即．

又离心率，解得，，

，

∴椭圆的方程为．

（2）设，，，

将代入，

消去并整理得，

则，，

，

∵四边形为平行四边形，

∴，得，

将点坐标代入椭圆方程得，

点到直线的距离为，，

∴平行四边形的面积为

，

故平行四边形的面积为定值为．

2．如图，已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，

且时，．

（1）求的值；

（2）设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．

【答案】（1）；（2）为定值5．

【解析】（1）设，则，

由题意得焦点为，

所以，，

当时，有．

联立，得，，

从而．

将代入，得，

所以，故．

（2）由（1）知，，椭圆．

设，代入椭圆，

得．

而，即，

从而．

同理，，从而．

于是，

所以，的斜率之比为定值5．

3．已知椭圆（）的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，A在第一象限，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的任一直线与椭圆交于两点、．证明：在轴上存在点，使得为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，得，设椭圆方程为，

联立方程组，得，

则，

所以，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）证明：当直线不与轴重合时，设，

联立方程组，得．

设，，，则有，．

于是

，

若为定值，则有，得，，

此时；

当直线与轴重合时，，，

也有，

综上，存在点，满足．

4．已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M．记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为．

【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，

设，则，

当时，面积取得最大值，

所以，

又，解得，，

所以椭圆的方程是．

（2）设直线与联立得，

因为PM是椭圆的切线，

所以，即，

由，得，

所以，则，

设，则①，

因为，所以②，

将①②代入，得，

因为同号，所以，

因为M在直线上，所以，，，

所以，，

所以．

5．设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题意得，，所以，

所以椭圆C的方程为．

（2）证明：设，，则，，

直线，与椭圆方程联立，

得，则，，

，．

因为点三点共线，所以，即，

所以，

即，

整理得．①

由，，代入①

，整理得，

所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．

6．已知椭圆，直线过椭圆的左焦点，与椭圆在第一象限交于点，三角形的面积为，、分别为椭圆的上下顶点，、是椭圆上的两个不同的动点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线的斜率为，直线的斜率为，若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由．

【答案】（1）；（2）直线过定点．

【解析】（1）直线过左焦点，所以，，

又由，可知．

从而椭圆经过点．

由椭圆定义知，即，

故椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，则的方程为，

由，得，

从而点坐标为；

由，得，

从而点坐标为，

由条件知，从而直线的斜率存在，，

所以直线的方程为，

即，过定点，

故直线过定点．

7．设定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）直线与曲线有两个交点，，若，证明：原点到直线的距离为定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）∵点在圆内，

∴圆内切于圆，∴，

所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，从而，

∴ 点的轨迹的方程为．

（2）设，，

若直线斜率存在，设，联立，

整理得，

，，①

∵，∴，①

化简得，即，

故原点到直线的距离为；

若直线斜率不存在，设，联立，

解得，，

代入①化简得，

即原点到直线的距离为，

综上所述，原点到直线的距离为定值．

8．设为抛物线上两点，且线段的中点在直线上．

（1）求直线的斜率；

（2）设直线与抛物线交于点，记直线，的斜率分别为，，当直线经过抛物线的焦点时，求的值．

【答案】（1）1；（2）4．

【解析】（1）设，，

因为在抛物线上，且的中点在直线上，

则，，，

所以直线的斜率．

（2）∵直线经过抛物线的焦点，∴直线的方程为，

由，消去得，

由韦达定理，，

∵直线与抛物线交于点，∴点的坐标为，

∴，，

∴．

9．已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，上顶点．若的面积为，椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不经过点的直线与椭圆交于，两点，若，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】（1）；（2）证明见解析，定点为．

【解析】（1）由题意得，得．

又椭圆的离心率为，所以，即，

所以，，

故椭圆的方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率不存在时，不合题意，

因此直线的斜率必存在，设其方程为（），

与椭圆方程联立，整理得．

由，

设，，则，．

因为，所以．

又，，

所以，即，

整理得，

所以．

又，即，

故，

整理得，即．

因此直线的方程为，

由，得，

故直线必过定点．