高中数学高考 2021届高三大题优练8 圆锥曲线定值定点问题 学生版

例1．设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题意得，，所以，

所以椭圆C的方程为．

（2）证明：设，，则，，

直线，与椭圆方程联立，

得，

则，，，．

因为点三点共线，所以，即，

所以，

即，

整理得．①

由，，代入①

，整理得，

所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．

例2．已知分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？

若是，求出此定值；若不是，说明理由．

【答案】（1）；（2）是定值，定值为．

【解析】（1）由为直角三角形，故，

又，可得，解得，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）当切线的斜率不存在时，其方程为，

将代入，得，

不妨设，，

又，所以；

同理当时，也有．

当切线的斜率存在时，设方程为，，，

因为与圆相切，所以，即，

将代入，得，

所以，，

又，

，

又

，

将代入上式，得，

综上，．

1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，

且，探究：直线是否过定点，并说明理由．

2．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

3．已知椭圆的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，．

求面积的最大值；

②当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

4．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点．

（1）求椭圆C的方程及A点坐标；

（2）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．

1．【答案】（1）；（2）直线过定点，理由见解析．

【解析】（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，

又是等腰直角三角形，可得，即，

所以，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，

联立，得，

由已知，设，，

由韦达定理得，，

，

，

，整理得，

故直线方程为，即，

所以直线过定点；

若直线的斜率不存在，设方程为，设，，

由已知得，解得，

此时直线方程为，显然过点，

综上，直线过定点．

2．【答案】（1）；（2）是定值，定值为．

【解析】（1）由题意得，解得，

∴椭圆的方程为．

（2）联立，解得，

其中，解得，

又且，

∴或或．

设，，则，，

∴

，

即是定值，且定值是．

3．【答案】（1）；（2）①；②是，1．

【解析】（1）因为点关于直线的对称点为，

且在椭圆上，所以，

又，∴，则，

所以椭圆的方程为．

（2）①设直线的方程为，，，

点到直线的距离为，

，消去整理得，

由，可得，

且，，

∴，

设，则，

当且仅当，即时等号成立，

∴的面积的最大值为．

②由题意得，，

联立方程组，消去得，

又∵，，解得，

故点的纵坐标为定值1．

4．【答案】（1），；（2）为定值．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，

则，，

所以椭圆的方程为，

将椭圆的方程与直线的方程联立得，

所以，解得，

所以，，

故椭圆的方程为，

此时将代入，得，

所以，此时，

所以点坐标为．

（2）将直线联立，得到，所以，

因为，，所以．

①当斜率时，，或，，

，或，，

此时有；

②当斜率时，设，

代入，得，

设，，所以，，

所以，则，

，

同理，

所以，

对分子：

，

对分母：，

所以，

综上，为定值．