高中数学高考 2021届高三大题优练7 圆锥曲线定值定点问题（理） 学生版(1)

例1．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）设，则，，

，，

所以，可以化为，

化简得，

所以，的方程为．

（2）由题设可设，，，

由题意知切线，的斜率都存在，

由，得，则，

所以，

直线的方程为，即，①

因为在上，所以，即，②

将②代入①得，

所以直线的方程为，

同理可得直线的方程为．

因为在直线上，所以，

又在直线上，所以，

所以直线的方程为，

故直线过定点．

例2．已知椭圆长轴的两个端点分别为，，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点．

（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；

（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由．

【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析．

【解析】（1）由题意得，，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）（ⅰ）证明：设，

因为在椭圆上，所以．

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以直线的方程为，所以点的坐标为，

所以直线的斜率为．

所以直线的斜率之积为．

（ⅱ）三点共线．

设直线斜率为，易得．

由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为．

联立，可得．

解得点的纵坐标为，

所以点的坐标为．

所以，直线的斜率为，直线的斜率为．

因为直线的斜率等于直线的斜率，所以三点共线．

1．已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．

2．已知直线与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线的焦点．

（1）求拋物线的方程；

（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，

两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围．

3．椭圆的离心率，在上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为短轴端点，过作直线交椭圆于两点(异于)，直线交于点．求证：点恒在一定直线上．

4．已知椭圆的焦距为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆上存在两点，，使得的斜率与的斜率之和为，直线是否过定点？

若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

5．已知，是椭圆长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，直线方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为．判断是否存在正数使直线的斜率为定值，

并说明理由．

6．设椭圆的左顶点为，右顶点为，离心率，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条斜率为，的直线分别交椭圆于，（异于）两点．

（i）若，求证：直线过定点，并求出定点坐标；

（ii）设，在轴的上方，过作直线的平行线交椭圆于，若直线过椭圆的左焦点，求的值．

1．【答案】（1）；（2）证明见解析，．

【解析】（1）由，得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意；

所以直线斜率存在，设直线的方程为，

设、，

由，得，

所以，．

因为，所以，

即，整理得，

化简得，

所以直线的方程为，

所以直线过定点．

2．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）由已知得，且为的中点，所以．

所以，解得，

故抛物线的方程为．

（2）证明：联立，解得，，

由为的中点，得．

不妨设，，其中，

则，．

所以，即为定值．

（3）由（2）可知直线的方程为，即，

与抛物线联立，消x可得，

解得或（舍去），

所以，即 ，

故点到直线的距离．

设过点的抛物线的切线方程为，

联立，得，

由，得，

所以切线方程为，令，得，

所以要使过点的直线与抛物线有两个交点，，

则有，

又，

所以，

即，故的面积的取值范围为．

3．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为点在C上，所以，

又，，所以，，

故所求椭圆C的方程为．

（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，

设，，(，)．

，

，，且有．

(，)

，

，

故

，

故点T恒在一定直线上．

4．【答案】（1）；（2）直线过定点．

【解析】（1）由题意知，焦点为，

故，，

故，，

所以椭圆的方程为．

（2）①当直线的斜率存在时，设方程为，

代入椭圆方程消去并整理，得（*），

设，，则，．①

设直线的斜率与的斜率分别为，，

根据，，则，

所以，

将①代入，整理化简得，

即，

因为不在直线上，所以，所以，

要使（*）方程判别式，

即，得，

于是的方程为，，所以直线过定点；

②当直线的斜率不存在时，可得，，

则由，

又，联立方程可得，

又，矛盾，舍去，

综上所述，直线过定点．

5．【答案】（1）；（2）存在，理由见解析．

【解析】（1）由已知：，，

因为在椭圆上，直线，的斜率之积等于，

所以，解得，

又，所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，为过点的直线与椭圆的交点，

①当经过点的直线斜率不存在时，此时，为椭圆长轴端点，

不妨设，，

因为，，三点共线，

坐标为，同理坐标为，

此时线段的中点为，

所以；

②当该直线的斜率存在时，设该直线的方程是，

联立方程得，消元并化简得，

所以，，

设，，

因为，，三点共线，即，

所以，

由已知得，点不在直线上，且，

所以，同理可得，

所以

，

将，代入上式并化简得，

所以的坐标为，

当时，直线的斜率，

因为与的取值无关，所以，即，

此时，

综合①②可知：存在使得直线的斜率为定值．

6．【答案】（1）；（2）（i）证明见解析，定点；（ii）．

【解析】（1）由题意得，解得，，，

椭圆的方程为．

（2）由（1）知：，．

（i）设直线方程为，

由，得，

设，则，解得，，

设，由，得，

，，

，

直线方程为，

当时，，

直线过定点．

（ii）在轴的上方，，，

由（i）知：，

设直线的方程为，

由，得，

设，则，解得，，

直线过椭圆左焦点，，

又，，

，整理可得，

，，，，解得．