2023年中考数学一轮复习元专题《第四节 弧长、扇形面积的相关计算》专练（通用版）

第六章  圆

第四节  弧长、扇形面积的相关计算

 点对点·本节内考点巩固10分钟

1. 已知扇形的弧长为6π cm，该弧所对圆心角为90°，则此扇形的面积为(　　)

A. 36π cm2     B. 72π cm2     C. 36 cm2     D. 72 cm2

2. 圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是(　　)

A. 5 cm     B. 10 cm       C. 6 cm      D. 5 cm

3. 如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则的长为(　　)

A.          B.        C. 2π       D. 2π

第3题图

4. 一个扇形的弧长是11π cm，半径是18 cm，则此扇形的圆心角是________度．

5. 75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，则此弧所在圆的半径是________cm.

6. 用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为________．

7. 已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是________度．

 点对线·板块内考点衔接25分钟

1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为(　　)

A. 4π－8       B. 2π          C. 4π          D. 8π－8

第1题图               第2题图           第3题图  　　

2. 如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(　　)

A. 6π          B. 3π          C. 2π        D. 2π

3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(　　)

A. 8－π        B. 16－2π      C. 8－2π      D. 8－π

4. 将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分(阴影)的量角器弧()对应的圆心角(∠AOB)为120°，AO的长为4 cm，OC的长为2 cm，则图中阴影部分的面积为(　　)

A. (＋)cm2     B. (＋)cm2        C．(＋2)cm2   D. (＋2)cm2

第4题图                第5题图                 第6题图

5. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE.则图中阴影部分的面积是(　　)

A. 6－π          B. 6－π       C. 12－π         D. 12－π                     

6. 如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D.若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为(　　)

A. π        B. 2π        C. 2π        D. 4π

7. 如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和(阴影部分面积)是(　　)

A. 6－π       B. 6－2π         C. 6＋π       D. 6＋2π

第7题图　　           第8题图                 　

8. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(　　)

A. 4        B. 6.25        C. 7.5        D. 9

9. 如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是________．

第9题图　             第10题图           　

10. 如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝，AC＝3.则图中阴影部分的面积是________．

11. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为(0，2)，OC与⊙D相交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为______．(结果保留根号和π)

第11题图　                    第12题图          　

12. 如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是________．

13. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)延长CO交⊙O于点E，若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．(结果保留π)

第13题图

14. 如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.

(1)求证：DC是⊙O的切线；

(2)若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．

第14题图

参考答案

第四节  弧长、扇形面积的相关计算

点对点·本节内考点巩固

1. A　【解析】设扇形的半径为r cm，由题意得6π＝，∴r＝12.∴扇形的面积＝＝36π(cm2)．

2. A　【解析】设圆锥的母线长为l，根据题意可得2π×5＝，解得l＝10，根据勾股定理可得圆锥的高为＝5 cm.

3. B　【解析】如解图，连接CO，∵OC＝OA，∠CAO＝60°，∴△AOC为等边三角形．∴∠AOC＝60°.∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝80°.∴的长为＝.

第3题解图

4. 110　【解析】根据l＝＝＝11π，解得n＝110.

5. 6　【解析】由弧长公式l＝＝＝2.5π，解得r＝6.

6. 12　【解析】由圆锥的底面半径是4计算出底面的周长为8π，从而可知扇形的弧长为8π，再根据扇形的弧长公式可计算出扇形半径，即＝8π，解得r＝12.即圆锥的母线长为12.

7. 90　【解析】∵圆锥的底面半径是1，高是，∴母线长为＝4.设该圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，∴2π×1＝，解得n＝90.

点对线·板块内考点衔接

1. A　【解析】∵∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝90°.∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC＝－×42＝4π－8，故选A.

2. A　【解析】如解图，连接OB，交AC于点D.由题意易知S△OAD＝S△BCD，∠AOB＝60°，⊙O的半径为6.∴S阴影＝S扇形OAB＝＝6π.故选A.

第2题解图

3. C　【解析】∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝4，∠ABD＝45°.∴S阴影＝S△ABD－S扇形ABE＝AB2－＝×42－＝8－2π.

4. C　【解析】在Rt△OBC中，∵∠BCO＝90°，OC＝2，∠BOC＝60°，∴BC＝2.故S阴影＝S扇形AOB＋S△BOC＝＋×2×2＝(＋2)cm2.

5. B　【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴正六边形ABCDEF的面积是×6＝6×2×＝6，∠FAB＝∠EDC＝120°，∴图中阴影部分的面积是6－×2＝6－.

6. B　【解析】如解图，连接OC，OD.∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，∴OC⊥AC，OD⊥BD. ∵∠A＝45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴AC＝OC＝OD＝4.∵AC＝BD＝4，∴△BDO是等腰直角三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝45°，∴∠COD＝90°. ∴的长度为＝2π.

第6题解图

7. A　【解析】如解图，易得△OAB为等边三角形，则每个月牙形的面积＝S△AOB＋S半圆－S扇形AOB＝×2×2×＋(×2)2π×－＝－，∴6个月牙形的面积＝6－π.

 第7题解图

8. A　【解析】如解图，连接AO，BO，CO，DO，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴OD⊥BC，OE⊥CA，OF⊥AB.∴∠OEA＝∠OFA＝90°.∵AB2＋CA2＝52＋122＝169，BC2＝132＝169，∴AB2＋CA2＝ BC2.∴∠BAC＝90°.∴∠OEA＝∠OFA＝∠BAC ＝90°.∴四边形AEOF是矩形．∵OD＝OE＝OF，∴四边形AEOF是正方形．设⊙O的半径为r，∵S△BOC＋S△AOC＋S△AOB＝S△ABC，∴BC·OD＋CA·OE＋AB·OF＝AB·AC，即(BC＋CA＋AB)·r＝AB·AC，∴(13＋12＋5)·r＝×5×12, 解得r＝2. ∴S正方形AEOF＝22＝4.

第8题解图

9. 4π　【解析】∵∠CAB＝∠CDB，∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形，如解图，连接OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，则BC＝AC＝2，∠OBC＝∠OCB＝30°，BE＝BC＝.∴OB＝＝2.∴⊙O的面积为π×22＝4π.

第9题解图

10. 　【解析】∵BC＝，AC＝3，∴在Rt△ABC中，tanA＝＝，∴∠A＝30°.∵以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，∴∠ADO＝90°，∠AOD＝60°.设⊙O的半径为x，则OD＝OC＝x，OA＝2OD＝2x，∴AC＝OC＋OA＝x＋2x＝3x＝3.∴x＝1.∴阴影部分的面积是＝.

11. 2π－2　【解析】如解图，连接OD、AB，∵∠AOB＝90°，A、O、B在⊙D上，∴AB是⊙D的直径．∵∠OCA＝30°，∴∠ODA＝60°，∠ABO＝30°，∵OA＝OD，∴△AOD为等边三角形，∴OD＝OA＝OB·tan30°＝2×＝2.∴S阴影部分＝S⊙D－S△AOB＝×π×22－×2×2＝2π－2.

第11题解图

12. 8－8　【解析】如解图，连接AE，∵AB＝4，∴AE＝AB＝4.∵AD＝2，∠ADE＝90°，∴DE＝＝2.∴△ADE为等腰直角三角形．∴∠BAE＝∠DAE＝45°.∴S阴影＝S矩形ABCD＋S扇形ABF－2S扇形ABE－2S△ADE＝AB·AD＋－2×－2×AD2＝4×2＋－2×－2××(2)2＝8＋4π－4π－8＝8－8.

第12题解图

13. (1)证明：如解图，连接OD.

∵AD∥OC，

∴∠ADO＝∠COD，∠DAO＝∠COB.

∵OA＝OD，

∴∠ADO＝∠DAO.

∴∠COD＝∠COB.

在△COD和△COB中，

∴△COD≌△COB(SAS)．

∵CD与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CD.

∴∠CDO＝90°.

∴∠CBO＝90°.

∴CB⊥OB.

∵OB是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

(2)解：∵∠COB＝2∠CEB，∠CEB＝30°，

∴∠COB＝60°.

由(1)知∠COD＝∠COB，

∴∠COD＝60°.

∴∠DOB＝∠COD＋∠COB＝60°＋60°＝120°.

又∵⊙O的半径为2，

∴的长为＝π.

第13题解图

14. (1)证明：如解图，过点O作OG⊥CD，垂足为G，

∵在菱形ABCD中，AC为对角线，

∴AC平分∠BCD.

∵OH⊥BC，OG⊥CD，

∴OH＝OG.

∵OH为半圆的半径，

∴OG为半圆的半径，

∴DC是⊙O的切线；

第14题解图

(2)解：∵AC＝4MC且AC＝8，

∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2.

∴OH＝2.

在Rt△OHC中，∵OH＝OC，

∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°.

∴HC＝＝2.

∴S阴影＝S△OCH－S扇形HOM

＝CH·OH－·OH2

＝×2×2－×4

＝2－.