高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制优秀课件ppt

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.1 任意角与弧度制优秀课件ppt，共17页。PPT课件主要包含了学习目标，新知学习，弧度数角度数×，角度数弧度数×，随堂小测，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.2.理解1弧度的角及弧度的定义.3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
【探究】度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同 的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同 的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
【导入】我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 .这种 用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.
【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋 转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹 是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α. 设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为 ，由初中所学知识可知：
【探究】如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q 所形成的圆弧QQ1的长为 ， 与r的比值是多少?我们能得出什么结论？
【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值， 只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确 定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长 与半径的关系度量圆心角.
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位元O中，AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角.
根据上述规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么角α 弧度数的绝对值是
对这个式子进行变形，可以得到如下结论：
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于-2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0.
不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值，比如图中，半径为任意值，只要∠AOB所对弧的长等于半径，∠AOB就是1弧度的角.
用角度作为单位来度量角的制度
用弧度作为单位来度量角的制度
单位“rad”不能省略
【问题】不管以角度制和弧度制之间怎么换算呢？
【答】用角度制解弧度制俩度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和 弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同.因为周角的弧度制是2π， 而在角度制下的度数是360，所以有： 360°=2π rad，180°=π rad，
就可以进行角度和弧度的换算了.
【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′= ，所以
【2】把1.5π化成角度.
【注意】角度中含有分 (‘)秒(‘’)时，化成 弧度制之前，要先化成 度(°).
常见特殊角的角度与弧度对应表：
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数).
弧长公式与扇形面积公式
【1】若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积. 则有：
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
【1】把下列角度化成弧度.
【解】（1）22°30′=
（1）22°30′ （2）-210° （3）1200°
【2】把下列弧度化成角度.
【3】用弧度表示： （1）终边在 轴上的角的集合 （2）终边在 轴上的角的集合
1.下列说法正确的是 A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
解析　由弧度的定义可知D正确.
3.若θ＝－5，则角θ的终边在 （ ）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
4.(2021·浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________.
解析　设正方形的边长为a，∠EAD＝α，
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.