【中考二轮专题复习】2023年中考数学全国通用专题备考试卷——专题03 圆的证明与计算 （原卷版+解析版）

2023年中考数学二轮冲刺精准练新策略（全国通用）

第三篇 必考的难点压轴专题

专题03 圆的证明与计算

1.（2022湖南湘潭）如图，⊙中，直径与弦相交于点，连接、．

（1）求证：；

（2）连接，若，，求⊙的半径．

【答案】（1）证明见解析    （2）⊙的半径为3

【解析】【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明；

（2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径．

【详解】（1）证明：在⊙中，

∵，

∴，

又∵,

∴．

（2）解：∵，

由（1）可知，，

∵直径，

∴，

∴在中，，，

∴，

∴，

即⊙的半径为3．

【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半．

2. （2022广西贺州）如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F．

（1）求证：EC是的切线；

（2）若BC平分，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；    （2）．

【解析】【分析】（1）连接OC，证明∠OCE=90°即可；

（2）先证明出CD⊥AB，再利用直角三角形的性质和三角函数分别求出∠CAD和CF后即可求出AD的值．

【详解】（1）证明：连接OC．

，

．

，

．

是的直径，

．

．

，即．

又是的半径，

是的切线．

（2）解：平分，

．

，

.

又，

．

又是的直径，

．

在中，

，

．

．

在中，，

．

，AB是的直径，

．

在中，，

．

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、三角函数等知识，解题关键是连半径构造或证明直角三角形等，主要运用了转化的思想方法．

3.（2022安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长；

（2）根据切线的性质可得OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．

【详解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30

∴CD=2⋅ OC=2

∴

∴

（2）证明：∵DC与⊙O相切

∴OCCD

即∠ACD+∠OCA=90

∵OC= OA

∴∠OCA=∠OAC

∵∠ACD=∠ACE

∴∠OAC+∠ACE=90

∴∠AEC=90

∴CEAB

【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．

4. （2022四川南充）如图，为的直径，点C是上一点，点D是外一点，，连接交于点E．

（1）求证：是的切线．

（2）若，求的值．

【答案】（1）见解析；    （2）3

【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到结论；

（2）过点O作OF⊥BC于F，设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根据OF∥AC，得到，证得OF为△ABC的中位线，求出OF及EF，即可求出的值．

【详解】(1)证明：连接OC，

∵为的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO,

∵，

∴∠BCD=∠ACO，

∴∠BCD+∠OCB=90°，

∴OC⊥CD，

∴是的切线．

(2)解：过点O作OF⊥BC于F，

∵，

∴设BC=4x，则AB=5x，OA=CE=2.5x，

∴BE=BC-CE=1.5x，

∵∠C=90°，

∴AC=，

∵OA=OB，OF∥AC，

∴，

∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，

∴OF为△ABC的中位线，

∴OF=，

∴=．

【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键．

5.（2022浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．

（1）求证：；

（2）若，，求AD的长．

【答案】（1）见解析 （2）1

【解析】【分析】（1）连接OE，根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质证明即可；

（2）根据题意，结合（1）可知，再由直角三角形中“30°角所对的直角边是斜边的一般”的性质，可推导，最后由计算AD的长即可．

【详解】（1）如图，连接OE，

∵AC切半圆O于点E，

∴OE⊥AC，

∵OF⊥BC，，

∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．

∴四边形OFCE是矩形，

∴OF＝EC；

（2）∵，

∴，

∵，OE⊥AC，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形性质等知识，正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键．

6.（2022湖南衡阳）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．

（1）直线与⊙相切吗？并说明理由；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）相切，见解析   

（2）

【解析】【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；

（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．

【详解】（1）证明：连接．

∵为切线，

∴，

又∵，

∴，，

且，

∴，

在与中；

∵，

∴，

∴，

∴直线与相切．

（2）设半径为；

则：，得；

在直角三角形中，，

，解得

【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．

7.（2022浙江宁波）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设．

（1）用含的代数式表示．

（2）求证：．

（3）如图2，为的直径．

①当的长为2时，求的长．

②当时，求值．

【答案】（1）   （2）见解析 （3）①3；②

【解析】【分析】（1）根据，即可求解；

（2）由（1）的结论，、证即可；

（3）①通过角的转换得，即可求的长；②连结，证，设，则，由相似的性质即可求解；

【详解】（1）∵，①

又∵，②

②-①，得2，

∴．

（2）由（1）得，

∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

（3）①∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴在中，，

∵为的直径，

∴．

∴．

∴与的度数之比为3∶2．

∴与的的长度之比为3∶2，

∵，

∴．

②如图，连结．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

设与的相似比为k，

∴．

∵，

∴设，则，

∴，

，

∴，

由，得，

解得，（舍），

∴，，

∴，

在中，，

∴．

【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．

8.（2022浙江金华）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．

（1）求的度数．

（2）是正三角形吗？请说明理由．

（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．

【答案】（1）  （2）是正三角形，理由见解析    （3）

【解析】【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；

（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；

（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．

【详解】（1）∵正五边形．

∴，

∴，

∵，

∴(优弧所对圆心角)，

∴；

（2）是正三角形，理由如下：

连接，

由作图知：,

∵，

∴，

∴是正三角形，

∴，

∴，

同理，

∴，即，

∴是正三角形；

（3）∵是正三角形，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．

9.（2022浙江杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；的值等于_________．

【答案】  ①. 36    ②.

【解析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．

【详解】∵AD=DE，

∴∠DAE=∠DEA，

∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，

∴∠BEC=∠BCE，

∵将该圆形纸片沿直线CO对折，

∴∠ECO=∠BCO，

又∵OB=OC，

∴∠OCB=∠B，

设∠ECO=∠OCB=∠B=x，

∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，

∴∠CEB=2x，

∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，

∴x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠B=36°；

∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，

∴△CEO∽△BEC，

∴，

∴CE2=EO•BE，

设EO=x，EC=OC=OB=a，

∴a2=x（x+a），

解得，x=a（负值舍去），

∴OE=a，

∴AE=OA-OE=a-a=a，

∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，

∴△BCE∽△DAE，

∴，

∴．

故答案为：36，．

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

10. （2022贵州铜仁）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．

（1）求证：AB=CB；

（2）若AB=18，sinA=，求EF的长．

【答案】（1）见解析    （2）EF．

【解析】【分析】（1）连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通过证明得出∠A=∠C，结论得证；

（2）连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA=求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用sin∠A=sin∠FDB，解直角三角形可得结论；

【详解】(1)证明：连接OD，如图1，

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE．

∵BC⊥DE，

∴OD∥BC．

∴∠ODA=∠C．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠A．

∴∠A=∠C．

∴AB=BC；

(2)解：连接BD，则∠ADB=90°，如图2，

在Rt△ABD中，

∵sinA==，AB=18，

∴BD=6．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD．

∵∠OBD+∠A=∠FDB+∠ODB=90°，

∴∠A=∠FDB．

∴sin∠A=sin∠FDB．

在Rt△BDF中，

∵sin∠BDF==，

∴BF=2．

由（1）知：OD∥BF，

∴△EBF∽△EOD．

∴=．即：=．

解得：BE=．

EF=．

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．