北师大版初中数学八年级下册第四单元《因式分解》（困难）（含答案不含解析） 试卷

北师大版初中数学八年级下册第四单元《因式分解》（困难）（含答案解析）

考试范围：第四单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列多项式中，不能运用公式法进行因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列从左到右的变形，是分解因式的为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列说法正确的个数
因式分解与整式的乘法互为逆运算；两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数差的平方；把一个多项式化成了几个因式的积的形式叫做这个多项式的因式分解；两个数的平方和加上这两个数的积的倍，等于这两个数的和的平方；任何数的次幂都等于．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  多项式化简结果为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  计算的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将因式分解得(    )

A.  B.
C.  D.

8.  下列是多项式的因式的有(    )

A.  B.
C.  D.

9.  数能被以内的两位整数整除的是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10.  已知正整数，，满足，且，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知，，为的三边长，且，则的形状是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如果有两个因式和，那么      ．

14.  若关于的二次三项式可分解为则______．

15.  长和宽分别是，的长方形的周长为，面积为，则的值为________．

16.  多项式，的公因式是____．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
问题：已知多项式含有因式和，求、的值．
解答：设其中为整式，
取，得，
取，得，
由、解得，．
根据以上阅请材料解决下列问题：
若多项式含有因式，求实数的值；
若多项式含有因式，求实数、的值；
如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数．

18.  本小题分
阅读并解答：对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为，由此可断定多项式中有因式，注：把代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式，于是我们可以把多项式写成：，分别求出，后代入，就可以把多项式因式分解．
求式子中，的值；
以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．

19.  本小题分

仔细阅读下面的例题，并解答问题：

例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．

解：设另一个因式为，得，

则，

解得

另一个因式为，的值为．

问题：仿照以上方法解答下面问题．

若多项式分解因式的结果中有因式，则            

已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．

20.  本小题分

已知长方形的周长是，它的邻边长，是整数，且满足，求它的面积．

21.  本小题分

已知为常数，多项式中含有因式，求的值；

若有一因式求，并将原式因式分解．

22.  本小题分
阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：






请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
______．
______．
化简：

23.  本小题分
先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则，原式．
再将“”还原，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
因式分解：；
求证：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．

24.  本小题分

已知，求下列各式的值：

；

．

25.  本小题分
如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数，其中，，，所以是亲密数；
最小的亲密数是______，最大的亲密数是______；
若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的倍之差能被整除，请求出这个亲密数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式不能分解因式，符合题意，
故选：．
各项分解因式，即可作出判断．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了对因式分解定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可． 

【解答】

解： 是因式分解，但因式分解结果错误，故本选项错误； 

B.，未分解彻底，故本选项错误； 

C.属于多项式乘多项式，不是因式分解，故本选项错误； 

D.利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解，故本选项正确． 

故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的意义，利用因式分解的意义是解题关键根据因式分解的意义求解即可．
【解答】
解：把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B.是整式的乘法，故B不符合题意；
C.是整式的乘法，故C不符合题意；
D.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是零指数幂，平方差公式，因式分解的意义，整式的乘法，完全平方公式的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：因式分解与整式的乘法互为逆运算，故正确；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数平方的差，不等于两个数差的平方，故错误；
把一个多项式化成了几个整式的积的形式叫做这个多项式的因式分解，故错误；
两个数的平方和加上这两个数的积的倍，等于这两个数的和的平方，故正确；
的次幂不存在，故错误．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】解：原式

，

故选D．
本题主要考查了多项式的因式分解的应用，熟练掌握提公因式法是关键直接利用提取公因式法分解因式得出即可．

6.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
直接利用提取公因式法分解因式进而计算得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查因式分解先添加一项，然后提取公因式得到，然后再进行因式分解，分解后发现有公因式，提取，得到最后的结果。
本题考查了因式分解，应学会添加合适的项，使运算更方便。
【解答】
解：原式



故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分组分解法分解因式，解答此题的关键是熟知立方和公式，此公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，本题就借助于它来推导由于，先将此公式变形为，将与再次利用立方公式分解，从而达到因式分解的目的．
【解答】
解：原式


．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是因式分解的应用的有关知识，由题意将给出的数用平方差公式进行因式分解求解即可．
【解答】
解：




，
数能被以内的两位整数整除的是，．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：将，变形为，
即，
，
，
则，
的最大值是，
故选：．
将已知条件变形为，则，从而得出的最大值．
本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关，难度较大．
 

11.【答案】 

【解析】解：因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，故A、错，
选项右边不是整式的积的形式，故C错，
选项为完全平方式正确，
故选：．
A、选项不符合因式分解的概念，等式不成立，为完全平方式符合题意．
此题考查了因式分解的概念，熟练掌握和理解因式分解的概念是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用以及勾股定理的逆定理将题中所给的等式移项并进行因式分解，化简，再根据勾股定理的逆定理，判断三条边、、之间的关系，即可得出本题答案掌握因式分解以及勾股定理是本题的关键，对题中式子进行因式分解，化简，利用勾股定理逆定理即可．

【解答】

解：，

，
，
，
，
或，所以或即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．

13.【答案】 

【解析】由题意得与均为的解，
则
即
得，将代入得，
所以．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了因式分解的概念及多项式乘多项式，正确得出关于，的方程组是解题关键．
先计算出，依据得，，据此求得、的值，代入计算可得．
【解答】
解：

，
，
，，
解得：，，
则，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出的值是解题关键．
直接利用已知得出，的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】
解：长和宽分别是，的长方形的周长为，面积为，
，，
故，
则．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
利用平方差公式和完全平方公式分解因式，然后再确定公因式即可．
本题主要考查公因式的确定，利用公式法分解因式是解本题的关键．
【解答】
解：，
．
所以多项式，的公因式是．  

17.【答案】解：设其中为整式，
取，得；
解得；
设其中为整式；
取，，得；
取，，得；
由的，；
设这个非负数为，另一因式为，
可得到关系式为，
将代入，得；
解得．
故除以一次因式的余数为． 

【解析】设多项式，将代入即可求出的值；
设多项式，将，代入可求出的值，再将，代入可求出的值；
设非负数为，另一因式为，根据定义得到关系式为，将代入，即可求出的值．
本题考查对于题干的理解能力和灵活运用能力，解题关键在于能够正确代数，使等式右边值恒为，再解出方程即可．
 

18.【答案】解：在等式中，
假设，代入等式得：，
．
假设，代入等式得：．
．
．
，．
把代入，
可得，
则多项式可分解为：，
假设、分别代入该等式，即可求出：，，
． 

【解析】先将等式右边计算出来和左边对比即可．
先确定多项式的一个根，再用试根法求解．
本题考查用试根法进行因式分解，找到多项式值为的根是求解本题的关键．
 

19.【答案】解：设另一个因式为，得，

则，

解得

设另一个因式为，得，

则，

解得

另一个因式为，的值为．

【解析】本题主要考查了因式分解的概念，理解因式分解与多项式的乘法间的互逆关系；理解并运用阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键．
 

20.【答案】【解答】，
，
，
，
，
，
，，
矩形的面积 

【解析】

【分析】这是一道考查完全平方公式的题目，解题关键在于根据满足的式子得到和的关系，再根据周长，即可求出和的值，根据矩形面积即可求出答案．  

21.【答案】解：中含有因式
，
整理得：，
即：，
解得： 
故的值为．
有一因式
即时，








 

【解析】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是设出一个未知数，然后求得多项式中的值即可．根据多项式中含有因式可以得到，展开后求得、的值即可．
本题主要考查了因式分解的知识点，解答本题的关键是根据有一因式得出时．
根据有一因式，得出时即可求出的值，再将原式分组分解即可．
 

22.【答案】；
；

当时，原式；
当时，原式． 

【解析】解：原式；
故答案为：；
原式；
故答案为：；
见答案．
此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
分与两种情况，化简得到结果即可．
 

23.【答案】解：设，



，
；
证明：

，
设，




，
为正整数，
也为正整数，
式子的值一定是某一个整数的平方． 

【解析】设，将所求的式子变形为，再由完全平方公式分解因式即可；
先将所求的式子变形为，设，则原式，根据为正整数，可知也为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，整体思想、换元的思想是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，


．
，，



． 

【解析】此题考查了因式分解和完全平方公式的的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
先利用提取公因式法对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值．
利用完全平方公式进行变形处理，然后代入求值．
 

25.【答案】   

【解析】解：设亲密数为，且，，，、、、都是自然数，
当为最小时，则，
，
，
，，
，
最小的亲密数是，
当最大时，即，
，
，
当最大时，即最大为，
，
，
最大的亲密数是，
故答案为：，；
证明：亲密数：，
友谊数：，
，，
，
，，
得：，
原亲密数的十位数字为，
任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
，
，，
，
由题意得：为整数，
即为的倍数，
，，、为整数，且，
，
或，
当时，
得，
亲密数为；
若，
则或舍，
亲密数为，
综上所述，亲密数为或．
设亲密数为，求最小的亲密数时，先确定，再根据，确定、、的值，从而可得最小的亲密数；求最大的亲密数时，先确定，同理可得最大的亲密数；
分别表示亲密数和友谊数：亲密数：，友谊数：，相减后可得结论；
根据题意表示，化为关于和的代数式，根据是至的自然数对：进行分析，为整数，即为的倍数，分情况讨论的值可得结论．
本题主要考查了亲密数的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．