2023高考数学复习专项训练《空间向量的数量积》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间向量的数量积》，共17页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023高考数学复习专项训练《空间向量的数量积》 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线的斜率为A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 2.（5分）关于空间向量，以下说法不正确的是A. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线3.（5分）下列四个命题中，正确的是A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4.（5分）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形．若，且，则的长为
 A.  B.  C.  D. 5.（5分）已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为A.  B.  C.  D. 或6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为A.  B.  C.  D. 7.（5分）直线恒过定点A.  B.  C.  D. 8.（5分）如图所示，在几何体中，，，，，，平面，则异面直线与所成的角为A、B、C、D、
 A.  B.  C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知空间中三点，，，则A. 与是共线向量
B. 的一个方向向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是10.（5分）已知直线：，：，则下列结论正确的有A. 若，则
B. 若，则
C. 若，在轴上的截距相等，则
D. 的倾斜角不可能是倾斜角的倍11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值12.（5分）已知直线：，动直线：，则下列结论错误的是A. 不存在，使得的倾斜角为 B. 存在，满足与没有公共点
C. 对任意的，与都不重合 D. 对任意的，与都不垂直13.（5分）正方体中，为中点，为中点，以下说法正确的是
 A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为，写出点的一个坐标 ______.15.（5分）已知两点，，是直线外一点，则点到直线的距离 ______.16.（5分）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为 ______.17.（5分）已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为经过点且方向向量为的直线方程为用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为 ______.18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线过点 
若直线与直线垂直，求直线的方程； 
若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．20.（12分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点. 
 
证明：平面求点到的距离求直线到平面的距离.21.（12分）已知的顶点，过点的内角平分线所在直线方程是，过点的中线所在直线的方程是 
求顶点的坐标；求直线的方程；22.（12分）如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点． 
求到平面的距离； 
求平面与平面的夹角的余弦值．
 23.（12分）如图，在空间四面体中，平面，，且 
 
证明：平面平面； 
求四面体体积的最大值，并求此时二面角的余弦值．
答案和解析1.【答案】null;【解析】解：直线， 
则，即直线的斜率为， 
故选： 
将直线化成斜截式，即可求解． 
此题主要考查直线的斜率，属于基础题．
 2.【答案】B;【解析】解：对于，，所以，正确； 
对于，，所以，则直线或，错误； 
对于，对空间中任意一点，有，满足， 
则，，，四点共面，可知正确； 
对于，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 
则这两个向量共线，所以正确． 
故选： 
由面面垂直的向量表示可判断；由线面平行的向量表示可判断；根据向量共线定理，可判断；由空间向量基底的表示可判断 
此题主要考查面面垂直的向量表示、线面平行的向量表示、向量共线定理、空间向量基底等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 3.【答案】B;【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 4.【答案】A;【解析】解：根据题意，构造空间向量有， 
， 
故 
故选： 
根据题意，构造空间向量，进行平方，结合题中，且，计算，最后开方即可得到 
此题主要考查立体几何与向量分解定理，属于基础题．
 5.【答案】A;【解析】 
此题主要考查了两条直线平行的判定及应用与两条平行直线间的距离，属于基础题。   
解：与直线平行，， 
解得舍去或，故，则两平行线间距离
 6.【答案】B;【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 7.【答案】A;【解析】解：直线， 
整理得； 
故，解得， 
故恒过定点 
故选： 
根据直线的方程，建立二元一次方程组，再求出定点的坐标． 
此题主要考查了直线横过定点问题，考查了方程思想，属于基础题．
 8.【答案】null;【解析】解：根据题意，将几何体补全为长方体， 
其中，，， 
为的中点， 
由于，则或其补角是异面直线与所成的角， 
又由为直角三角形，其中， 
，， 
易得， 
故异面直线与所成的角为， 
故选： 
根据题意，将几何体补全为长方体，由长方体的几何结构可得或其补角是异面直线与所成的角，由此分析可得答案． 
此题主要考查异面直线所成的角，涉及正方体的几何结构，属于基础题．

 9.【答案】BCD;【解析】解：空间中三点，，， 
对于，，，，与不是共线向量，故错误； 
对于，，则直线的一个方向向量是，故正确； 
对于，，则，，故正确； 
对于，由选项知，向量，不共线，令， 
则，，， 
是平面的一个法向量，故正确． 
故选： 
根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果． 
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】AB;【解析】解：对于，， 
，解得，故正确， 
对于，， 
，解得，故正确， 
对于，直线：在轴上的截距为， 
直线：在轴上的截距为， 
若，在轴上的截距相等，则，故错误， 
对于，当时，直线的斜率不存在，即倾斜角为， 
直线：的倾斜角为，故错误． 
故选： 
对于，结合两直线平行的性质，即可求解，对于，结合两直线垂直的性质，即可求解，对于，分别求出两直线的截距，即可求解，对于，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解． 
此题主要考查两直线平行、垂直的性质，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
 11.【答案】ABC;【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 12.【答案】ABC;【解析】解：当时，直线：的倾斜角为，错误； 
当时，，则，经检验此时两直线重合，错误； 
当直线与重合时，，则时，错误； 
当直线与垂直时，，此时不存在． 
故选： 
由已知结合直线平行，垂直及重合，相交的条件分别检验各选项即可判断． 
此题主要考查了直线位置关系的应用，属于基础题．
 13.【答案】AC;【解析】解：如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为，则，，，，， 
由于平面，平面，平面， 
则平面，平面，平面的法向量可分别取，，，， 
对于：由于，且平面，故平面，正确； 
对于：，故错误； 
对于：，即，故平面，正确； 
对于：与不共线，故错误， 
故选： 
 
建立空间直角坐标系，根据平行垂直的等价条件计算判断． 
此题主要考查空间线面位置关系，属于基础题．
 14.【答案】（2，0，0）（答案不唯一）;【解析】解：设， 
因为点到坐标原点的距离为， 
所以， 
故答案为：答案不唯一 
利用空间两点间的距离求解． 
此题主要考查两点间的距离公式，属于基础题．
 15.【答案】;【解析】解：，，， 
，， 
设，的夹角为， 
则， 
，， 
点到直线的距离为： 
 
故答案为： 
求出，的夹角和的模长，利用向量法能求出点到直线的距离． 
此题主要考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 16.【答案】20cm;【解析】解：如简图所示，两平面相交于，，，， 
，， 
则为二面角的平面角，且，， 
即点到二面角的棱的距离为 
故答案为： 
画出简图，结合三角函数关系即可求解． 
此题主要考查二面角的平面角的求法，属于中档题．

 17.【答案】null;【解析】解：由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量， 
设直线与平面所成角为， 
所以， 
即直线与平面所成角的正弦值为， 
故答案为： 
由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法即可求得． 
此题主要考查了直线与平面所成的角，读懂题意是解题关键，属于基础题．
 18.【答案】;【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 19.【答案】解：（1）∵直线l与直线4x-3y+5=0垂直， 
∴可设直线l的方程为3x+4y+m=0， 
∵直线l过点P（3，4）， 
∴3×3+4×4+m=0，解得m=-25， 
故直线l的方程为3x+4y-25=0． 
（2）当直线l过原点时，斜率为，由点斜式可得直线l的方程为y=，即4x-3y=0， 
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a， 
∵直线l过点P（3，4）， 
∴a=7，x+y-7=0， 
综上所述，所求直线l的方程为4x-3y=0或x+y-7=0．;【解析】 
由已知条件可设直线的方程为，再将点代入，即可求解． 
根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
 20.【答案】解：证明：取的中点，连接、， 为的中点，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面取的中点，连接、，易得四边形为正方形，是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ，，、平面， 平面，平面平面，平面平面以为原点，、所在直线分别为、轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，平面，在中，， ，， ，， ，，故， 
故点到的距离由知平面，点到平面的距离即为所求由知，，，设平面的法向量为，则即令，则，， ， 点到平面的距离，故直线到平面的距离为;【解析】此题主要考查利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于基础题.
 21.【答案】解：设，则中点，由，解得，故 设点关于直线的对称点为，则，得，即直线经过点和点， 
故直线的方程;【解析】此题主要考查了待定系数法求直线方程的运用，考查了计算能力，属于中档题．先设点的坐标，根据的内角平分线方程是得到关于，的一个方程，再结合中点在过点的中线上，即可求出点的坐标；先求出点关于直线的对称点，因为直线经过点和点，根据和点的坐标即可求出直线的方程．
 22.【答案】解：如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系， 
 
依题意，得，，，， 
，， 
则，，， 
又平面，平面，平面， 
到平面的距离等于点到平面的距离， 
，， 
设平面的法向量为，则， 
取，则，，是平面的一个法向量， 
又，所以点到平面的距离为： 
 
平面，是平面的一个法向量， 
设平面与平面的夹角， 
则， 
平面与平面的夹角的余弦值为;【解析】此题主要考查线面距离的计算，面面角的计算，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于中等题． 
先证明出平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，根据点到平面的距离向量公式即可求出到平面的距离； 
分别求出平面与平面的一个法向量，根据平面夹角的定义即可求出面与平面的夹角的余弦值． 

 23.【答案】证明：， 
， 
，即， 
平面，平面， 
， 
，平面， 
平面， 
又平面， 
平面平面 ； 
解：设，则， 
四面体的体积，则 ， 
故在上单调递增，在上单调递减， 
所以当时，四面体的体积最大，且最大值是 
此时以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 
 
则， 
所以，，，， 
设平面的法向量为 ， 
则由，得， 
取，得平面的一个法向量为， 
同理可得平面的一个法向量， 
所以， 
由于二面角是锐二面角， 
故所求二面角的余弦值为;【解析】此题主要考查线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题． 
根据勾股定理可知，根据线面垂直的性质可知，进而可证平面，即可得证； 
设，则，从而四面体的体积为，求导，判断其单调性，进而求得最大值，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得二面角的余弦值.