2023高考数学复习专项训练《空间向量共面定理》

2023高考数学复习专项训练《空间向量共面定理》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）直线的倾斜角为

A、

B、

C、

D、

A.  B.  C.  D.

2.（5分）关于空间向量，以下说法不正确的是

A. 若两个不同平面，的法向量分别是，且，则
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

3.（5分）下列四个命题中，正确的是

A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

4.（5分）在四棱锥中，，，，则四棱锥的高为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）两条平行直线和间的距离为，则，分别为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知是，直线总经过点

A.  B.  C.  D.

8.（5分）如图，在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为
 

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知空间中三点，，，则下列结论正确的有

A. 与共线的单位向量是
B.
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是

10.（5分）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有

A. 的一个方向向量为
B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C. 与直线垂直
D. 与直线平行

11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
 

A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值

12.（5分）已知的顶点坐标分别为，则

A. 为直角三角形
B. 过点斜率范围是的直线与线段有公共点
C. 是的一条中位线所在直线方程
D. 是的一条高线所在直线的方程

13.（5分）如图，棱长为的正方体中，点，分别为、的中点，下列结论正确的是
 

A.
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 平面
D. 平面截正方体的截面周长为

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知点，，点在轴上，且，则点的坐标为 ______.

15.（5分）已知直线：，则原点到这条直线距离的最大值为______．

16.（5分）已知正方形的边长为，，分别是边，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，则，两点间的距离为 ______.

17.（5分）若空间向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角______.

18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知直线过点 
若直线与直线垂直，求直线的方程； 
若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程．

20.（12分）正三棱柱中，，，点，分别为，的中点.
 

求证：；

求三棱锥的体积

21.（12分）已知的顶点，过点的内角平分线所在直线方程是，过点的中线所在直线的方程是 
求顶点的坐标；

求直线的方程；

22.（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，分别为，的中点， 
证明：； 
若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值．
 

23.（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，为上的点，且平面 
 

求证：平面平面；

当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】null;

【解析】解：直线，即的斜率为， 
则所求倾斜角为 
故选： 
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 
此题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
 

2.【答案】B;

【解析】解：对于，，所以，正确； 
对于，，所以，则直线或，错误； 
对于，对空间中任意一点，有，满足， 
则，，，四点共面，可知正确； 
对于，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 
则这两个向量共线，所以正确． 
故选： 
由面面垂直的向量表示可判断；由线面平行的向量表示可判断；根据向量共线定理，可判断；由空间向量基底的表示可判断 
此题主要考查面面垂直的向量表示、线面平行的向量表示、向量共线定理、空间向量基底等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

3.【答案】B;

【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确； 
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误； 
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误． 
故选： 
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断 
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
 

4.【答案】B;

【解析】解：设平面的法向量为， 
则， 
取，得， 
四棱锥的高即为点到平面的距离， 
为 
故选： 
由已知求出平面的一个法向量，再由公式求四棱锥的高． 
此题主要考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，是基础题．
 

5.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查了两直线平行的位置关系，考查了两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 
先由两直线平行求出的值．再运用两平行直线的距离公式求出的值即可．解：直线与直线平行， 
， 
解得， 
直线方程化为，即， 
两平行线间的距离， 
故选 

 

6.【答案】B;

【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为， 
又为直线外一点，且直线过点，， 
，， 
点到直线的距离为 
故选： 
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
 

7.【答案】B;

【解析】解：直线， 
当时，， 
故直线总经过点 
故选： 
利用直线的点斜式方程进行分析求解即可． 
此题主要考查了直线方程的理解和应用，主要考查了直线恒过定点问题，要掌握求解直线恒过定点的方法，属于基础题．
 

8.【答案】B;

【解析】解：如图： 
连结，， 
则异面直线与所成角为， 
在中， 
；；； 
则， 
， 
故选： 
连结，，化异面直线与所成角为，用余弦定理解答． 
此题主要考查了学生的空间想象力及辅助线的作法，同时考查了余弦定理的应用，属于基础题．

 

9.【答案】BD;

【解析】解：空间中三点，，， 
，，单位向量是与不共线，故错误； 
，，，故正确； 
，，故错误； 
设，则，，， 
平面的一个法向量是，故正确． 
故选： 
利用共线向量和单位向量的定义判断；利用向量垂直的性质判断；利用向量夹角余弦公式判断；利用法向量定义判断 
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】AC;

【解析】解：直线的倾斜角等于，且经过点， 
直线的斜率，直线的方程为，即，故错误， 
， 
则的一个方向向量为，故正确， 
， 
当时，，当时，， 
故直线与两坐标轴围成三角形的面积为，故错误， 
直线的斜率为，直线的斜率为， 
则与直线垂直，故正确． 
故选： 
根据已知条件，先求出直线的方程，再结合直线平行垂直的性质，判断，结合方向向量的定义，判断，分别求出直线与两坐标轴的交点，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
 

11.【答案】ABC;

【解析】解：对于，在正方体中， 
直线，平面，平面，所以直线平面， 
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确； 
对于，由于，而为定值， 
在正方体中， 
，平面，平面，所以平面， 
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值， 
所以三棱锥的体积为定值，故正确； 
对于，在正方体中，，，， 
所以平面，而平面，所以， 
故这两条异面直线所成的角为，故正确； 
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变， 
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定， 
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误． 
故选： 
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．

 

12.【答案】AC;

【解析】解：的顶点坐标分别为， 
可得，故直线和垂直，为直角三角形，正确； 
过点与线段有公共点，的直线斜率范围是，错误； 
过的中点，与平行的直线方程为，即，故正确； 
点在直线上，但不与垂直，故错误， 
故选： 
由题意，利用两条直行平行、垂直的条件，用点斜式求直线的方程，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 
此题主要考查两条直行平行、垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
 

13.【答案】AB;

【解析】解：取的中点，连接，，则， 
，，平面，， 
，，，平面，，所以正确； 
设与，分别交于点，，平面， 
即为与平面所成角，， 
其中，， 
，所以正确； 
平面即为平面，，平面，所以错误； 
取靠近点的四等分点，易证，，，，四点共面，即为平面截正方体的截面， 
， 
平面截正方体的截面周长为，所以错误， 
故选： 
取的中点，连接，，则，证得平面，可判断； 
设与，分别交于点，，平面，即为与平面所成角，计算出来可判断； 
平面即为平面，根据，得到平面，可判断； 
取靠近点的四等分点，易证，则，，，四点共面，得到即为平面截正方体的截面，计算出来可判断 
此题主要考查了立体几何的综合运用，属于中档题．

 

14.【答案】（，0，0）;

【解析】解：点在轴上，设， 
点、，且， 
， 
解得 
点的坐标是 
故答案为： 
设，由点、，且，利用两点间距离公式能求出点的坐标． 
此题主要考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
 

15.【答案】1;

【解析】解：直线：，恒过定点， 
原点到直线距离的最大值，即为原点到点的距离． 
原点到直线距离的最大值为． 
故答案为． 
由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的定点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值． 
该题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
 

16.【答案】;

【解析】解：如图，取的中点，连接，，由题意，， 
则是二面角的平面角，则，又， 
则是正三角形，于是 
 
根据，，可得：平面， 
而平面，所以， 
而，，则平面， 
又平面，于是，， 
又，所以 
故答案为： 
取的中点，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最后通过勾股定理求得答案． 
此题主要考查二面角的相关计算，空间中两点之间距离才计算等知识，属于中等题．
 

17.【答案】;

【解析】解：空间向量，平面的一个法向量为， 
直线与平面所成角， 
则， 
 
故答案为： 
由，能求出结果． 
此题主要考查线面角的正弦值公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】;

【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为， 
设点关于：的对称点为， 
则，解得，即点的坐标为， 
由对称性可知，， 
所以的周长为， 
即的周长的最小值为 
故答案为： 
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解． 
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：（1）∵直线l与直线4x-3y+5=0垂直， 
∴可设直线l的方程为3x+4y+m=0， 
∵直线l过点P（3，4）， 
∴3×3+4×4+m=0，解得m=-25， 
故直线l的方程为3x+4y-25=0． 
（2）当直线l过原点时，斜率为，由点斜式可得直线l的方程为y=，即4x-3y=0， 
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a， 
∵直线l过点P（3，4）， 
∴a=7，x+y-7=0， 
综上所述，所求直线l的方程为4x-3y=0或x+y-7=0．;

【解析】 
由已知条件可设直线的方程为，再将点代入，即可求解． 
根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解． 
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
 

20.【答案】解：取的中点，连接，，因为，分别是中点，点，分别为，的中点. 
，， 
又因为， 
，，即四边形为平行四边形， 
因此， 
又因为平面，平面， 
所以平面 
 
取的中点，是正三角形， 
，又平面平面，平面平面， 
平面， 
是正三角形，，所以 
， 
， 
;

【解析】此题主要考查了直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积公式，属于基础题． 
取的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，于是可得，利用线面平行的判定即可求得答案 
根据等体积法即可求得体积.
 

21.【答案】解：设，则中点，由，解得，故 设点关于直线的对称点为，则，得，即直线经过点和点， 
故直线的方程;

【解析】此题主要考查了待定系数法求直线方程的运用，考查了计算能力，属于中档题．

先设点的坐标，根据的内角平分线方程是得到关于，的一个方程，再结合中点在过点的中线上，即可求出点的坐标；

先求出点关于直线的对称点，因为直线经过点和点，根据和点的坐标即可求出直线的方程．
 

22.【答案】（1）证明：因为PA=PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD， 
又PE⊥CD，且AD∩CD=D，所以PE⊥平面ABCD， 
又因为BD⊂面ABCD，所以PE⊥BD； 
（2）解：因为底面ABCD为直角梯形，BC∥DE，BC=DE，所以四边形BEDC为矩形， 
所以BE⊥AE， 
又AE∥BC，AE=BC，PE⊥平面ABCD， 
所以四边形ABCE是平行四边形，则AB∥EC， 
所以∠PCE=45°，则， 
以E为坐标原点，以EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系： 
 
则， 
所以， 
设平面EBF的一个法向量为， 
则，即，令z=1，则， 
平面ABE的一个法向量为， 
则， 
所以平面FBE和平面ABE所成角的余弦值．;

【解析】 
由和证明平面即可得出； 
以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和面的法向量，利用向量关系即可求出． 
此题主要考查了空间中的垂直关系以及两个平面的夹角问题，属于中档题．
 

23.【答案】证明：侧面底面，侧面底面，四边形为正方形， 
，平面， 
面， 
又面， 
平面，面， 
， 
，平面， 
面 
面， 
平面平面 
由知，， 
 
 
， 
求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值． 
令，又，， 
，而 
 
， 
当且仅当，即时，的最大值为 
如图所示， 
 
分别取线段，中点，，连接，，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系由已知， 
所以， 
令为面的一个法向量，则有， 
 
易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角， 
则;

【解析】此题主要考查了证明面面垂直，考查了三棱锥的体积公式、基本不等式的应用，以及利用空间向量的数量积求二面角余弦值的问题．利用面面垂直的性质证得，利用线面垂直的性质证得，进而可得平面，平面平面；首先由不等式证得当时，三棱锥体积最大，然后作出二面角的平面角，不难求解．