2023高考数学复习专项训练《空间直线、平面的垂直》

这是一份2023高考数学复习专项训练《空间直线、平面的垂直》，共19页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：


①AC⊥BD；
②ΔACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°；
④AB与CD所成的角为60°．
其中错误的结论是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
2.（5分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，过点，A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点．若AA1与平面α所成角为45°，则截面A1MN面积的最小值是( )
A. 23B. 42C. 46D. 82
3.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为( )
A. 52B. 53C. 255D. 23
4.（5分）已知直线l与平面α成30°角，则在α内 ( )
A. 没有直线与l垂直B. 至少有一条直线与l平行
C. 一定有无数条直线与l异面D. 有且只有一条直线与l共面
5.（5分）如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=AD=4，BC=6，BD=43，直线AC与底面BCD所成角的大小为


A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
6.（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB=BD=CD，则直线AC与平面ABD所成角的正切值是( )
A. 2B. 22C. 3D. 33
7.（5分）在六角螺母中，当它的某两条棱所在的直线是异面直线时，这对异面直线所成的角的度数是( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 60°或90°
8.（5分）如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，ΔPAB和ΔPAD都是等边三角形，则直线PC与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. 55B. 5C. 22D. 2
9.（5分）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=BC=6，若空间中有一条直线l与直线BB1所成角为π4，则直线l与平面D1AC所成角的取值范围是( )
A. [π6,5π12]B. [π12,5π12]
C. [π4,π2]D. [π12,π4]
10.（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为( )
①若m//n，n⊂α，则m//α； ②若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β；
③若l⊥n，m⊥n，则l//m； ④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α
A. 1B. 2C. 3D. 4
11.（5分）已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则平面D1BC1与平面MBC所成锐二面角的余弦值为( )
A. 155B. 33C. 21015D. 105
12.（5分）已知六棱锥 的底面是正六边形， 则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 直线 //D. 直线 所成的角为45°
13.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1和B1D1所成角的大小为__________；直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小为__________.
15.（5分）在60°的二面角M-α-N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，P点到直线a的距离为______．
16.（5分）已知平面α，β和直线，给出条件：
①m//α；
②m⊥α；
③m⊂α；
④α⊥β；
⑤α//β．
(i)当满足条件______时，有m//β；
(ii)当满足条件______时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
17.（5分）如图所示，在三棱锥C-ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是____．
18.（5分）圆O所在平面为α，AB为直径，C是圆周上一点，且PA⊥AC，PA⊥AB，图中直角三角形有____．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=23，AC=2．

(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面ABC；
(Ⅱ)求三棱锥P-ABC的体积．
20.（12分）如图，三棱柱中ABC-A1B1C1，侧棱CC1⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点
(1)求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；
(2)求证：A1B//平面ADC1；
(3)求直线C1A与平面AB1D所成角的正弦值．
21.（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E，F分别是PB，PD的中点，PA=AD．
(Ⅰ)求证：EF//平面ABCD
(Ⅱ)求证：AF⊥平面PCD
(Ⅲ)若AD=4，CD=2，求三棱锥E-ADF的体积．
22.（12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，AC=CB=CC1=2，∠ACB=90°，D、E分别是A1B1、CC1的中点．

(1)求证：C1D//平面A1BE；
(2)求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值．
23.（12分）如图所示，有公共边的两矩形ABCD与ABE1F1，现将矩形ABE1F1绕AB翻折至ABEF处，使二面角C-AB-E为直二面角，若AD=2AB=2AF1=2a.



(1)证明：平面BFD⊥平面ADE；
(2)若点G在直线AE上运动，当DG与BC所成角为30°时，求三棱锥B-ADG的体积．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD.根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．该题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．

解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD.∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=22a=EC．
∴AC=a．
∴ΔACD为等边三角形，故②正确．
∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．
以E为坐标原点，EC、ED、EA 所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
则A(0,0,22a)，B(0,-22a,0)，D(0,22a,0)，C(22a,0,0)．
AB→=(0,-22a,-22a)，DC→=(22a,-22a,0)．
cs=12a2a2=12
∴=60°，故④正确．
故选C．


2.【答案】B;
【解析】解：如图，过点A作AE⊥MN，连结A1E，
∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥MN，∴MN⊥平面A1AE，
∴A1E⊥MN，平面A1AE⊥平面A1MN，
∴∠AA1E是AA1与平面A1MN所成角，∴∠AA1E=45°，
在RtΔA1AE中，∵AE=2，A1E=22，
在RtΔMAN中，由射影定理得ME⋅EN=AE2=4，
由基本不等式得MN=ME+EN⩾2ME.EN=4，
当且仅当E为MN中点时等号成立，
∴截面A1MN面积的最小值为：
S=12×4×22=42．
故选：B．
过点A作AE⊥MN，连结A1E，推导出∠AA1E=45°，由射影定理得ME⋅EN=AE2=4，由基本不等式得MN=ME+EN⩾2ME.EN=4，当且仅当E为MN中点时等号成立，由此能求出截面A1MN面积的最小值．
该题考查截面面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了直线与平面之间所成角，属于简单题．
连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在直角三角形AEB中求出正切值即可．

解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，
得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，
设棱长为2，
AE=22+12=5，
直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为：ABAE=255．
故选C．
4.【答案】C;
【解析】根据直线与平面的位置关系可知一定有无数条直线与l异面，故选C。
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了直线与平面所成角的求解，
找到所求的角是关键，属于中档题．
面ABD⊥底面BCD，AB=AD，取DB中点O，则AO⊥面BCD，
即∠ACO就是直线AC与底面BCD所成角，解三角形即可求得角的大小．

解：∵面ABD⊥底面BCD，AB=AD，取DB中点O，则AO⊥面BCD，
∴∠ACO就是直线AC与底面BCD所成角．
∵BC⊥CD，BC=6，BD=43，∴CO=23，
在RtΔADO中，OA=AD2-OD2=2，
在RtΔAOC中，tan∠ACO=AOOC=33，
直线AC与底面BCD所成角的大小为30°.
故选A.

6.【答案】B;
【解析】解：∵在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB=BD=CD，
∴CD⊥AB，CD⊥BD，
∵AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD，
∴∠CAD是直线AC与平面ABD所成角，
设AB=BD=CD=1，
则直线AC与平面ABD所成角正切值是：
tan∠CAD=CDAD=112+12=22．
故选：B．
推导出CD⊥AB，CD⊥BD，从而CD⊥平面ABD，CD⊥AD，进而∠CAD是直线AC与平面ABD所成角，由此能求出直线AC与平面ABD所成角正切值．
该题考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】A;
【解析】解：画出示意图：
则AB与A1F1，AB与E1F1为异面直线，
则AB与A1F1的夹角为60°，AB与E1F1的夹角为60°；
故选：A．
画出示意图，找出异面直线，进而求解；
考查异面直线的定义，空间异面直线的夹角，属于基础题；
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用，计算能力的考查．
取BD中点O，连接PO，AO，则可证明OP⊥平面ABCD，求出OP，OC即可求解直线PC与平面ABCD所成角的正切值．

证明：取BD中点O，连接PO，AO．

∵ΔPAB与ΔPAD都是等边三角形，
∴设AB=AD=PB=PD=PA=1．
∴OP⊥BD，OA⊥BD，
又∠BAD=90°，∴OA=OB=OD=22，
∴OP=PB2-OB2=22，
∴OA2+OP2=PA2，∴OP⊥OA．
又OA∩BD=O,OA⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴OP⊥平面ABCD，所以∠PCO为直线PC与平面ABCD所成角．
又CO⊂平面ABCD，∴OP⊥OC．
∵∠ABC=90°，∠ABD=45°，∴∠OBC=45°，
∴OC=OB2+BC2-2OB.BCcs∠OBC
=(22)2+4-2×22×2×22=102，
直线PC与平面ABCD所成角的正切值为
tan∠PCO=POOC=22102=55．
故选：A．
9.【答案】B;
【解析】解：以D为原点建立空间坐标系，如图所示：
则A(6,0,0)，C(0,6,0)，D1(0,0,1)，
∴A→D1=(-6,0,1)，AC→=(-6,6,0)，
设平面AD1C的法向量为n→=(x,y,z)，则n→.AD1=0n→.AC→=0，
即-6x+z=0-6x+6y=0，令x=1可得n→=(1,1,6)，
过D作直线l的平行线l'，则直线l'与DD1所成角为π4，
不妨设直线l'与平面ABCD的交点为M，则M的轨迹是以D1为圆心，以1为半径的圆，
设M(csα,sinα,1)，则DM→=(csα,sinα,1)为直线l的方向向量，
设直线l与平面D1AC所成角为β，则sinβ=|cs|=|csα+sinα+6|22×2=|sin(α+π4)+3|22，
∴6-24⩽sinβ⩽6+24，
∴π12⩽β⩽5π12．
故选：B．
建立空间直角坐标系，求出平面D1AC的法向量n→，设动直线l恒过定点D，则直线l与平面A1B1C1D1的交点的轨迹是圆；然后设定直线l的方向向量，即可求解．
这道题主要考查利用向量法求解立体几何运动题，凡是可建立坐标系的这类题应选择向量法更为适宜．
10.【答案】B;
【解析】

利用线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理分别分析选择． 此题主要考查平面与平面的位置关系的判断，直线与平面的位置关系的判断，基本知识的考查．

解：对于①，若m//n，n⊂α，则m//α或m⊂α，所以①不正确． 对于②，若l⊥α，m⊥β且l⊥m则α⊥β，所以②正确． 对于③，l⊥n，m⊥n，则l//m或m∩l，所以③不正确． 对于④，若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α，满足平面与平面垂直的性质定理，所以④正确． 故选B.
11.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题．
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出相应点的坐标，求出法向量即可得解.

解：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则D1(0,0,2)，C1(0,2,2)，B(2,2,0)，则D1→C1=(0,2,0),B→C1=(-2,0,2)，
设平面D1BC1的法向量为n→=(x,y,z)，则2y=0-2x+2z=0，令x=1，则z=1，y=0，故n→=(1,0,1)，
M(2,0,1)，C(0,2,0)，则MC→=(-2,2,-1),BC→=(-2,0,0)，
设平面MBC的法向量为m→=(x1,y1,z1)，则{-2x1+2y1-z1=0-2x1=0，令y1=1，则z1=2，x1=0，故m→=(0,1,2)，
故cs=m→.n→m→|n→|=105，
即平面D1BC1与平面MBC所成锐二面角的余弦值为105，
故选D.
12.【答案】D;
【解析】略
13.【答案】D;
【解析】
该题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．推导出AD1//BC1，从而∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线AD1与BO所成角．
解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，
∴AD1//BC1，
∴∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角(或所成角的补角)，
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，
则B1O=C1O=124+4=2，BC1=4+4=22，BO=4+2=6，
∴cs∠C1BO=BC12+BO2-C1O22×BC1×BO=8+6-22×22×6=32.∴∠C1BO=30°．
∴异面直线AD1与BO所成角为30°．
故选：D．

14.【答案】60∘;30∘;略;
【解析】连结，设，连结，∵//，∴是线和所成角，∵，∴，∴直线和所成角的大小为60°；正方体中，∵⊥，⊥，∩=，∴⊥平面，∴是直线和平面所成角，∵，∴，∴.∴直线和平面所成角的大小为30°
15.【答案】2213;
【解析】解：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．
PA⊥平面M，a⊂平面M，则PA⊥a，同理，有PB⊥a，
∵PA∩PB=P，∴a⊥面PAQB于Q
又 AQ、BQ 平面PAQB∴AQ⊥a，BQ⊥a．
∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角．
∴∠AQB=60°
连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有∠PAQ=∠PBQ=90°
∴P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R
在ΔPAB中，∵PA=1，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，
由余弦定理得AB2=1+4-2×1×2cs120°=7
由正弦定理：PQ=2213，
∴点P到直线a的距离为2213．
故答案为：2213．
设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ，根据二面角平面角的定义可知∠AQB是二面角M-a-N的平面角，连PQ，则PQ是P到a的距离，PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R，在ΔPAB中由余弦定理得 求出AB，最后根据正弦定理可求出PQ，从而求出点P到直线a的距离．
该题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
16.【答案】③⑤ ; ②⑤ ;
【解析】解：若m⊂α，α//β，则m//β；
若m⊥α，α//β，则m⊥β．
故答案为：(i)③⑤(ii)②⑤
(i)要m//β只需m在β的平行平面内，m 与平面无公共点；
(ii)直线与平面垂直，只需直线垂直平面内的两条相交直线，或者直线平行平面的垂线；
该题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查逻辑思维能力，是基础题．
17.【答案】30°;
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG∥.
DC=2，GF∥.
AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
18.【答案】4;
【解析】证明：∵AB是圆O的直径
∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形
又∵PA⊥圆O所在平面，
∴△PAC，△PAB是直角三角形．
且BC在这个平面内，
∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，
∴BC⊥平面PAC，
∴△PBC是直角三角形．
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．
故答案为：4
19.【答案】(Ⅰ)证明：设D为BC的中点，连结AD，DP．

因为AD⊥AC，所以DA=DB=DC．
因为PA=PB=PC，所以ΔPAD≌ΔPBD≌ΔPCD，
所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，
即PD⊥平面ABC
因为PD⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)PD⊥平面ABC
所以VP-ABC=13SΔABC×PD=13×12×23×2×9-4=2153．;
【解析】此题主要考查面面垂直，考查三棱锥P-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直的判定定理是关键．
(Ⅰ)设D为BC的中点，连结AD，DP，证明平面PBC⊥平面ABC，只需证明PD⊥平面ABC；
(Ⅱ)由(Ⅰ)PD⊥平面ABC，所以VP-ABC=13SΔABC×PD，即可求出三棱锥P-ABC的体积．
20.【答案】(1)证明：因为CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，
所以CC1⊥AD
因为△ABC是正三角形，D是BC的中点，
所以BC⊥AD，又BC∩CC1=C，
所以AD⊥平面BB1CC1，
因为AD⊂平面AB1D，
所以平面AB1D⊥平面BB1C1C.

(2)证明：如图，连接A1C交AC1于点O，连接OD
由题得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC的中点，
所以A1B//OD
因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1
所以A1B//平面ADC1；
(3)由(1)得平面AB1D⊥平面B1C1D，
在平面B1C1D内过C1作C1E⊥B1D于E，
连接AE，则∠C1AE为直线C1A与平面AB1D所成角，
在△C1B1D中，12B1D×C1E=12B1C1×CC1，
所以C1E=B1C1×CC1B1D=2×25=45，
在Rt△C1CA中，CC1=CA=2，得C1A=22，
所以sin∠C1AE=C1EC1A=45×122=105.;
【解析】
(1)证AD⊥平面BB1CC1，由面面垂直的判定定理即可得证；
(2)连接A1C交AC1于点O，连接OD，易得A1B//OD，由线面平行的判定定理即可得证；
(3)由(1)得平面AB1D⊥平面B1C1D，在平面B1C1D内过C1作C1E⊥B1D于E，连接AE，则∠C1AE为直线C1A与平面AB1D所成角，解得即可．
此题主要考查线面平行，面面垂直的判定及线面角的求法等知识，属于中档题．
21.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD，
∵E，F分别是PB，PD的中点，
∴EF//BD，
又∵EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴EF//平面ABCD；

(Ⅱ)证明：∵PA=AD，F为PD中点，
∴AF⊥PD．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥AD．
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，
∴CD⊥AF，
又∵PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，
∴AF⊥平面PCD；
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知CD⊥平面PAD．
∵AB//CD，
∴AB⊥平面PAD．
∵点E是PB的中点，
∴点E到平面AFD的距离等于12AB．
∴VE-ADF=13SΔADF⋅(12AB)
=13×4×1=43，
即三棱锥E-ADF的体积为43．;
【解析】这道题主要考查空间中线面平行，线面垂直，三棱锥的体积，是中档题．
(Ⅰ)连接BD，由E，F分别是PB，PD的中点，可得EF//BD，再由线面平行的判定定理可得EF//平面ABCD；
(Ⅱ)由PA=AD，F为PD中点，可得AF⊥PD，再由ABCD是矩形，可得CD⊥AD，由已知PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD.由线面垂直的判定可得CD⊥平面PAD.进一步得到CD⊥AF，可得AF⊥平面PCD；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知CD⊥平面PAD，得到AB⊥平面PAD，结合点E是PB的中点，可得点E到平面AFD的距离等于12AB，然后代入棱锥体积公式求解．
22.【答案】证明：(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，AC=CB=CC1=2，
∠ACB=90°，D、E分别是A1B1、CC1的中点，
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

则C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(0,2,0)，E(0,0,1)，B1(0,2,2)，D(1,1,2)，
C1→D=(1,1,0)，A1→B=(-2,2,-2)，A1→E=(-2,0,-1)，
设平面A1BE的法向量n→=(x,y,z)，
则n→.A1B=-2x+2y-2z=0n→.A1E=-2x-z=0，取x=1，得n→=(1,-1,-2)，
∵C1→D⋅n→=1-1+0=0，C1D⊄平面A1BE，
∴C1D//平面A1BE．
解：(2)C1(0,0,2)，B→C1=(0,-2,2)，
平面A1BE的法向量n→=(1,-1,-2)，
设直线BC1与平面A1BE所成角为θ，
则sinθ=|B→C1.n→||B→C1|.|n→|=|0+2-4|4+4.1+1+4=36．
∴直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为36．;
【解析】该题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
(1)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明C1D//平面A1BE．
(2)求出平面A1BE的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值．
23.【答案】解：(1)因为 AD=2AB=2AF1，所以矩形ABE1F1为正方形，
即ABEF也为正方形，所以BF丄AE.
因为二面角C-AB-E为直二面角，面ABC∩面ABE=AB，AD⊂面ABC，AD⊥AB
所以AD丄平面ABEF.
因为BF⊂平面ABEF，所以AD⊥BF.
又AE∩AD=A，所以BF丄平面ADE.
又BF⊂平面BFD，所以平面BFD丄平面ADE.
(2)设 BF∩AE=H，
由(1)可知BH丄平面ADE，所以BH丄平面ADG，所以BH为三棱锥B-ADG的高.
又 AB = AF1=a，则BH=12BF=22a, AD=2a.
因为 AD//BC，所以DG与BC所成角为30°，即DG与AD所成角为30°，所以∠GDA = 30°.
又由(1)知，AD丄平面ABEF.所以AD丄AG，
所以在 RtΔDAG中，tan 30°=AGAD，则 AG=AD.tan 30°=233a
所以 VB-ADG=13SΔADG⋅BH=13×12AD⋅AG⋅BH=13×12×2a×233a×22a=69a3，
所以三棱锥B-ADG的体积为69a3.;
【解析】此题主要考查面面垂直的判定与性质，三棱锥的体积，关键是求三棱锥的高，属于中档题.
(1)先证BF丄AE，AD⊥BF.
又AE∩AD=A，所以BF丄平面ADE.
又BF⊂平面BFD，所以平面BFD丄平面ADE.
(2)先确定 RtΔDAG为底面，再确定BH为三棱锥B-ADG的高，即可求得.
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