选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第3课时导学案

这是一份选择性必修 第二册2.1 等差数列的概念及其通项公式第3课时导学案，共11页。学案主要包含了等差数列的判定与证明，等差数列项的设法及运算，等差数列的综合问题等内容，欢迎下载使用。

一、等差数列的判定与证明
例1 已知函数f(x)＝eq \f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定．
(1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列；
(2)当x1＝eq \f(1,2)时，求x100.
(1)证明 xn＝f(xn－1)＝eq \f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，n∈N＋)，
所以eq \f(1,xn)＝eq \f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,xn－1)，
eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,3)(n≥2，n∈N＋)．
所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))是等差数列．
(2)解 由(1)知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,xn)))的公差为eq \f(1,3).
又因为x1＝eq \f(1,2)，即eq \f(1,x1)＝2.
所以eq \f(1,xn)＝2＋(n－1)×eq \f(1,3)，eq \f(1,x100)＝2＋(100－1)×eq \f(1,3)＝35.
所以x100＝eq \f(1,35).
反思感悟 判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
(3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
跟踪训练1 (1)已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
证明 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，
所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，
所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
(2)判断下列数列是否为等差数列：
①an＝3n－1；
②an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,n－1，n≥2.))
解 ①通项公式an＝3n－1是关于n的一次函数，所以这个数列是等差数列．
②由通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,n－1，n≥2))知a1＝1，a2＝1，a3＝2.
显然an＋1－an＝1(n∈N＋，n≥2)恒成立．
但a2－a1≠a3－a2，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差才是同一个常数，所以该数列不是等差数列．
二、等差数列项的设法及运算
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3d2＋a－d2＋a＋d2＋a＋3d2＝94，,a－3da＋3d＋18＝a－da＋d，))
又因为是递增数列，所以d>0，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝±\f(7,2)，,d＝\f(3,2)，))
所以此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
延伸探究 本例若改为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解 方法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
由已知，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
所以d＝1，所以所求的四个数为－2,0,2,4.
方法二 设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
由已知，得2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－eq \f(3,2)d代入a(a＋3d)＝－8，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,2)d))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,2)d))＝－8，
即1－eq \f(9,4)d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，
所以d>0，所以d＝2，
所以所求的四个数为－2,0,2,4.
反思感悟 三个数或四个数成等差数列的设法
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量．
跟踪训练2 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解 方法一 根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＝21，,a1a1＋da1＋2d＝231，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a1＋3d＝21，,a1a1＋da1＋2d＝231，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝11，,d＝－4.))
因为数列{an}为单调递增数列，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝4，))
从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1，n∈N＋.
方法二 由于数列{an}为等差数列，因此可设其前三项分别为a－d，a，a＋d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－daa＋d＝231，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝21，,aa2－d2＝231，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝7，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝7，,d＝－4.))
由于数列{an}为单调递增数列，因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝7，,d＝4，))
从而an＝4n－1，n∈N＋.
三、等差数列的综合问题
例3 已知数列{an}中，a1＝eq \f(1,4)，an＝2－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝eq \f(1,an－1)(n∈N＋)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项．
(1)证明 因为an＝2－eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N＋)，
所以an－1＝eq \f(an－1－1,an－1)，
所以eq \f(1,an－1)＝eq \f(an－1－1＋1,an－1－1)＝1＋eq \f(1,an－1－1)，
即eq \f(1,an－1)－eq \f(1,an－1－1)＝1.
因为bn＝eq \f(1,an－1)，
所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈N＋)．
又a1＝eq \f(1,4)，b1＝eq \f(1,a1－1)＝－eq \f(4,3)，
所以数列{bn}是以b1＝－eq \f(4,3)为首项，1为公差的等差数列．
故bn＝－eq \f(4,3)＋(n－1)×1＝n－eq \f(7,3)(n∈N＋)．
(2)解 由(1)得an＝eq \f(1,n－\f(7,3))＋1＝1＋eq \f(3,3n－7)，
当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1.
又a1＝eq \f(1,4)，a2＝－2，a3＝eq \f(5,2)，
所以在数列{an}中，最大项为a3＝eq \f(5,2)，最小项为a2＝－2.
反思感悟 解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组)．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．
跟踪训练3 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由．
解 (1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，
所以λ＝eq \f(3,2)，所以a3＝－eq \f(3,2)a2＋22，
所以a3＝eq \f(11,2).
(2)因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，
a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，
即λ2－7λ＋13＝0.
因为Δ＝49－4×13<0，所以方程无实数解，
所以λ的值不存在，
所以不存在λ的值使{an}为等差数列．
1.知识清单：
(1)等差数列的判定方法．
(2)等差数列项的设法与运算．
(3)等差数列的综合问题．
2．方法归纳：定义法、通项公式法、中项法．
3．常见误区：
(1)通项公式法判断等差数列时忽视通项公式成立的条件．
(2)四个数成等差数列时错误设为a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.
1．如果一个数列的前三项分别为1,2,3，下列结论中正确的是( )
A．它一定是等差数列
B．它一定是递增数列
C．通项公式是an＝n
D．以上结论都不一定正确
答案 D
解析 选项A，B，C仅对前三项成立，对整个数列不一定成立，只有选项D符合．
2．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为( )
A．a6 B．a7 C．a8 D．a9
答案 B
解析 因为3a3＝4a4，
所以3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，
所以a3＝－4d，
所以an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，
所以a7＝0.
3．在数列{an}中，a1＝1,2an＋1－2an＝4，则a2 021的值为________．
答案 4 041
解析 由题意，知数列{an}满足2an＋1－2an＝4，即an＋1－an＝2，又由a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2 021＝a1＋2 020d＝1＋2 020×2＝4 041.
4．直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为________．
答案 12eq \r(3)
解析 设三边为a－d，a，a＋d(a＞0且a＞|d|)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa－d＝36，,a2＋a－d2＝a＋d2))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－ad＝36，,a2＝4ad))⇒a2＝48.
∵a＞0，∴a＝4eq \r(3)，
周长为C＝a－d＋a＋a＋d＝3a＝12eq \r(3).
课时对点练
1．等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为( )
A.eq \f(α＋β,2n) B.eq \f(α－β,2n) C.eq \f(α＋β,2m) D.eq \f(α－β,2m)
答案 B
解析 d＝eq \f(β－α,m－n－m＋n)＝eq \f(α－β,2n).
2．在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 011＝1，则该数列中a1＋a2 021等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以{an}为等差数列，因为a1 011＝1，所以a1＋a2 021＝2a1 011＝2.
3．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为( )
A．6 B．12 C．24 D．48
答案 D
解析 ∵a1＋a15＝2a8，∴a1＋3a8＋a15＝5a8.
∴5a8＝120，a8＝24.
而3a9－a11＝3(a8＋d)－(a8＋3d)＝2a8＝48.
4．(多选)一个等差数列的前三项之和为9，前三项的平方和为35，这个数列第10项为( )
A．－17 B．－13 C．19 D．23
答案 BC
解析 设这个数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，
则a－d＋a＋a＋d＝3a＝9，∴a＝3.
而(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，∴d＝±2.
∴所求数列的通项公式为an＝2n－1或an＝－2n＋7.
∴a10＝19或a10＝－13.
5．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有( )
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
答案 BCD
解析 设an＝kn＋b，则an＋1－an＝k，故B为常数列，也是等差数列；pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故C为等差数列；2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故D为等差数列；A未必是等差数列，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2,0,2,4，故{|an|}不一定是等差数列．
6．(多选)甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某甲虫1 min内的爬行时间与相应的爬行距离：
根据表格提供数据，下列判断正确的是( )
A．甲虫的爬行距离和时间之间可以建立等差数列模型
B．甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t＋9.8(t∈N＋，t≤60)
C．甲虫的爬行49 cm需要5 s
D．甲虫1 min能爬597.8 cm
答案 AC
解析 以1,2,3，…，60为数列{an}的序号，9.8,19.6,29.4，…为数列{an}的对应项，由表可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以可建立等差数列模型．∵a1＝9.8，d＝9.8，∴甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t(t∈N＋，t≤60)．当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．当s＝49 cm时，t＝eq \f(s,9.8)＝eq \f(49,9.8)＝5(s)．
7．在数列{an}中，已知a1＝1，eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,3)(n∈N＋)，则a50＝________.
答案 eq \f(3,52)
解析 已知条件可化为eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,3)(n∈N＋)．由等差数列的定义，知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝1，公差为d＝eq \f(1,3)的等差数列，所以eq \f(1,a50)＝1＋(50－1)×eq \f(1,3)＝eq \f(52,3)，所以a50＝eq \f(3,52).
8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为________________．
答案 2,5,8,11或11,8,5,2.
解析 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则由题设得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40))
⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝26，,a2－d2＝40.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).))
∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
9．已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也成等差数列．
证明 因为eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，
所以eq \f(2,b)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)，
即2ac＝b(a＋c)．
因为eq \f(b＋c,a)＋eq \f(a＋b,c)＝eq \f(cb＋c＋aa＋b,ac)
＝eq \f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq \f(a2＋c2＋2ac,ac)
＝eq \f(2a＋c2,ba＋c)＝eq \f(2a＋c,b)，
所以eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)成等差数列．
10．已知等差数列{an}单调递减，a3＝1，a2a4＝eq \f(3,4).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由．
解 (1)由题意知a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2a3＝2.
又a2a4＝eq \f(3,4)，数列{an}单调递减，
∴a4＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(3,2).
∴公差d＝eq \f(a4－a2,2)＝－eq \f(1,2)，
∴a1＝a2－d＝2，
∴an＝2＋(n－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)n＋eq \f(5,2).
(2)由(1)知a1an＝2an，
则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝－1(常数)，
∴数列{a1an}是等差数列，且公差为－1.
11．已知函数f(x)＝cs x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 若m>0，则公差d＝eq \f(3π,2)－eq \f(π,2)＝π，显然不成立，
所以m<0，则公差d＝eq \f(\f(3π,2)－\f(π,2),3)＝eq \f(π,3)，
所以m＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2).
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日、第五日、第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
答案 B
解析 设第一天织a1尺，从第二天起每天比前一天多织d尺，
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7a1＋21d＝28，,a1＋d＋a1＋4d＋a1＋7d＝15，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝1，))
所以第十四日所织尺数为a14＝a1＋13d＝1＋13×1＝14.
13．设数列{an}是等差数列，bn＝，又因为b1＋b2＋b3＝eq \f(21,8)，b1b2b3＝eq \f(1,8)，则通项公式an＝________.
答案 2n－3或－2n＋5
解析 因为b1b2b3＝eq \f(1,8)，又因为bn＝，
所以
所以所以a1＋a2＋a3＝3，
又因为{an}成等差数列，所以a2＝1，a1＋a3＝2，
所以b1b3＝eq \f(1,4)，b1＋b3＝eq \f(17,8)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝2，,b3＝\f(1,8)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝\f(1,8)，,b3＝2，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－1，,a3＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,a3＝－1，))
所以an＝2n－3或an＝－2n＋5.
14．在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
答案 n2＋n
解析 观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.

15．设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为( )
A．－10 B．－12 C．－14 D．－16
答案 B
解析 根据题意，设该等差数列的首项为a1，公差为d，若a3＋a7＝36，a4a6＝275，则(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝36，(a1＋3d)(a1＋5d)＝275，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－10，,d＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝46，,d＝－7，))
则数列{an}的通项为an＝7n－17或an＝－7n＋53，
当an＝7n－17时，anan＋1＝(7n－17)(7n－10)
＝49eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(17,7)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(10,7)))＝49eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(27,14)))2－eq \f(49,4)，
分析可得当n＝2时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12；当an＝－7n＋53时，anan＋1＝(－7n＋53)(－7n＋46)＝(7n－53)(7n－46)＝49eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(53,7)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(46,7)))，
因为eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(46,7)＋\f(53,7)))＝eq \f(99,14)≈7.07，
分析可得当n＝7时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12，即anan＋1有最小值－12.
16．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
解 数列5,8,11，…记为{an}，数列3,7,11，…记为{bm}，
则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，
bm＝3＋(m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)，
即n＝eq \f(4,3)m－1(n，m∈N＋)．
要使n为正整数，m必须是3的倍数，
记m＝3k(k∈N＋)．
∴n＝eq \f(4,3)·3k－1＝4k－1.
∵4k－1≤100，∴k≤eq \f(101,4)，且k∈N＋，
∴1≤k≤25.
∴两数列共有25个相同的项．
时间/s
1
2
3
…
…
60
距离/cm
9.8
19.6
29.4
…
49
…
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…