高中数学第五章 数列5.4 数列的应用课时训练

【基础】5.4 数列的应用-2作业练习

一．填空题

1．求极限值：__________

2．计算：=___________.

3．体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有______人.

4．计算：_________.

5．汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具？大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘？大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上.并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘.如下图所示，从左到右有A？B？C三根柱子，其中A柱子上面有从小叠到大的n个圆盘，现要求将A柱子上的圆盘移到C柱子上去，期间只有一个原则:一次只能移动一个盘子且大盘子不能在小盘子上面，则移动的次数为_______(用表示)

ABC

6．计算：______.

7．如图所示，已知，，对任何，点按照如下方式生成，，且，，按逆时针排列，记点的坐标为（），则________．

8．刚上班不久的小明于月日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价元的手机，约定从下月日开始，每月日按等额本息（每期以相同的额度偿还本金和利息）还款元，年还清；其中月利率为，则小明每月还款数___________元（精确到个位）.（参考数据：；；）

9．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令，则数列的通项公式为______.

10．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，得数列，则；对，．

11．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在第（）个树坑旁边，则将树苗集中放置在第______个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小.

12．已知数列的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n＝1，2，3，…，有，其中为使为奇数的正整数，当时，的最小值为__________；当时，___________.

13．下表给出一个“直角三角形数阵”：

满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为（i，j∈N)，则_____.

14．计算__________．

15．计算：______．

参考答案与试题解析

1．【答案】1

【解析】先利用裂项相消法求出,然后直接计算其极限.

【详解】

解:因为

,

所以

.

故答案为:1.

【点睛】

本题考查了数列的极限和利用裂项相消法求数列的前项和,考查了转化思想,属基础题.

2．【答案】2

【解析】由题意结合极限的运算法则计算其极限即可.

【详解】

由题意可得：.

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查极限的运算法则，属于中等题.

3．【答案】20

【解析】由已知得每位同学报的数是一个等差数列，并且其首项为17,公差为7,末项为150,根据等差数列的通项公式可得解.

【详解】

由题意知,每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17,公差为7,末项为150,

设末项为第项,则,解得,则队伍里一共有20人.

故填：20.

【点睛】

本题考查等差数列的实际应用，关键在于将实际问题中的信息转化为等差数列中的首项．公差．末项等，属于基础题.

4．【答案】

【解析】将原数列极限变成，根据，从而可求出原数列极限的值.

详解：.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求极限，解决此类问题关键是化简，属于基础题.

5．【答案】

【解析】设n个圆盘移动次数为，，得到递推公式，计算得到答案.

【详解】

设n个圆盘移动次数为，当时，易知.

当有个圆盘时，需要把上面的个圆盘移出来，把最下面的圆盘放在最下面，再把上面的个圆盘移上去，故.

即，数列是首项为，公比为的等比数列，故，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式，意在考查学生的应用能力.

6．【答案】

【解析】先将分离常数，然后按照极限的求法，计算出所求的极限.

【详解】

依题意，.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查极限的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

7．【答案】

【解析】依题意，，，可知任意相邻两向量的夹角均为，根据向量加法坐标运算公式可求得，根据等比数列求和公式以及数列极限的求解方法得到结果.

详解：因为，，

所以任意相邻两向量的夹角均为，

且，

所以，

又因为，

所以

所以，

，

所以

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关向量和数列的综合题，涉及到的知识点有向量的运算，无穷递缩等比数列的各项和，属于创新题目.

8．【答案】

【解析】根据题中条件，小明需要12个月还清贷款，即在第12个月的时候小明的欠款为零元，列方程求解，即可求出每月还款数.

【详解】

由题知小明第次还款元后，

还欠本金及利息为元，

第次还款元后，

还欠本金及利息为：

元，

第次还款元后，

还欠本金及利息为：

元，

以此类推则第次还款元后，还欠本金及利息为：

元，

此时已全部还清，

则，

即，

解得元.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用等比数列解决实际问题的能力，属于一般题.

9．【答案】

【解析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可得到,将化简后代入即可得出答案.

【详解】

记由个数构成递增的等比数列为，则，，则.即

所以，

即

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列的应用,属于中档题.解本题的关键在于由，得出代入化简.

10．【答案】

【解析】试题分析：因为，，，

所以

以上n个式子相加，得。

考点：数列的应用；数列通项公式的求法。

点评：做这类题目最重要的就是寻找规律。此题通过寻找前一项与后一项差的规律，进而求出数列的通项公式。

11．【答案】.

【解析】根据题意利用等差数列的求和公式得到路程总和，再根据二次函数知识可得结果.

详解：设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为，

则，

所以

，

所以当时，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等差数列前项和公式的应用，考查了利用二次函数知识求等差数列前项和的最值，属于基础题.

12．【答案】5    910   

【解析】

【分析】

由题设可知当时，解得或，因为的各项均为正整数，为正整数，所以当时，有最小值.当时，可求出 ，得到数列是周期为2的周期数列，可求出结果.

【详解】

数列的各项均为正整数

,其中为使为奇数的正整数.

当时,或.

即或，则或（舍）

所以或.

则或，因为的各项均为正整数，为正整数.

显然当时，有最小值.

当时，，

，其中为使为奇数的正整数，所以，

所以,

，其中为使为奇数的正整数，所以，

……………………

所以数列是周期为2的周期数列，奇数项为1，偶数项为8

故答案为（1） 5      （2）910

13．【答案】

【解析】先计算第一列形成的数列，再计算第20行形成的数列，得到答案.

详解：设第一列形成的数列为，则是首项为，公差为的等差数列，故，.

设第20行形成的数列为，是首项为，公比为的等比数列，故.

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

14．【答案】

【解析】采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.

【详解】

.

【点睛】

本题考查分离常数法求极限，难度较易.

15．【答案】-1

【解析】对分式的分子分母同时除以，再利用极限的四则运算求值.

【详解】

由题意得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列极限运算，考查基本的运算求解能力，属于容易题.