人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和课堂检测

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【特供】5.3.2 等比数列的前n项和-1作业练习一．填空题1．任意正整数的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为；因为，所以135的所有正约数之和为.参照上述方法，可求得1000的所有正约数之和为___________.2．已知公比为q的等比数列的前n项和为，公差为d的等差数列的前n项和为，且，则的值为________．3．在等比数列中，，，且，，则___________.4．已知正项等比数列的前项和为，，则__________.5．若等比数列的前项和为，则常数的值等于___________.6．在等比数列中，，，则的前项和为___________.7．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a1+a2=96，a3=16，则S4的值为__________．8．我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）．则宝塔的顶层有______盏灯．9．正三棱锥中，，侧棱长为2，点是棱的中点，定义集合如下：点是棱上异于的一点，使得()，我们约定：若除以3的余数，则(例如：？等等)（1）若，求三棱锥的体积；（2）若是一个只有两个元素的有限集，求的范围；（3）若是一个无限集，求各线段，，，的长度之和(用表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为())10．数列中，，，，且为等比数列，则数列的前2021项和___________.(只需写出表达式)11．已知数列满足，则的前6项和为___________.12．已知数列的前项和为，若，，成等比数列，则正整数的值为___________.13．在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则＝_____．14．已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：①；②若对恒成立，则；③设，，则的最小值为；④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．其中所有正确的命题的序号为________．15．已知数列满足：，若，且数列是单调递增数列，则实数t的取值范围是_____________．
参考答案与试题解析1．【答案】2340【解析】分析：1000=,然后仿照题中给出的方法计算，可以借助以等比数列的求和公式简化计算.详解：1000=,所有正约数之和为,故答案为：2340.2．【答案】1【解析】分析：将分别用前项和表示，然后根据等式的特征，可得，再解方程即可.详解：令等比数列的首项为，等差数列的首项为，所以所以，因此.故答案为：1.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是运用等比数列及等差数列的前项和公式，然后建立方程组.3．【答案】【解析】分析：本题首先可根据得出，然后与联立，解得．，最后通过即可得出结果.详解：因为数列是等比数列，，所以，联立，解得，，则，故答案为：.4．【答案】【解析】分析：根据等比数列的性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可.详解：设正项等比数列的公比为，，因为，所以，因此，而，所以，故答案为：5．【答案】1【解析】分析：由等比数列前n项和的表达式的结构特征比对即可得解.详解：因，等比数列的公比，则有，令，从而等比数列的前项和满足，把与之比对得.故答案为：1【点睛】思路点睛：等比数列前n项和公式应用，在等比数列的公比q未知时，要用前其n项和公式，必须按与讨论.6．【答案】【解析】分析：由，，利用“ ”法求解,详解：设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，则.所以的前项和为.故答案为：7．【答案】120【解析】分析：由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等比数列的求和公式即可直接求解．详解：解：根据题意，设该正项等比数列的公比为q，则q>0，因为a1+a2=96，所以，又a3=a1q2=16，所以，整理可得：6q2-q-1=0，解得，或（舍去），所以a1=64，所以．故答案为：120.8．【答案】3【解析】分析：用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，由等比数列的基本量运算可得．详解：用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，，底层灯盏数为，则，所以，解得．故答案为：3.9．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析：由正三棱锥及()可知是等腰三角形，则可得数列是一个以为首项，为公比的等比数列.（1）可推知时，三棱锥为棱长为1的正四面体，则可求出其高．底面积，从而求出体积；（2）是一个只有两个元素的有限集等价于且，由等比数列的可分别求出和，解不等式组，即可求出的范围；（3）根据是一个无限集可知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果.详解：点是正三棱锥棱上异于的一点，且()是等腰三角形，且．为两腰又正三棱锥中，，，，则数列是一个以为首项，为公比的等比数列，（1）当时，，且，则三棱锥为正四面体，其高，底面积，故其体积；（2）是一个只有两个元素的有限集，，即由，得，，由解得；（3）是一个无限集，且，则数列是一个以为首项，为公比的无穷等比数列，.【点睛】关键点点睛：本题的关键是发现是等腰三角形，且．为两腰，从而得到，则可得知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列.10．【答案】或【解析】分析：令，根据为等比数列，求出通项公式，由利用等比数列的求和公式计算即可得解.详解：，，， 为等比数列，令，则，公比，.故答案为：或11．【答案】【解析】分析：利用等比数列的定义，结合等比数列前项和公式进行求解即可.详解：因为，所以，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以的前6项和为.故答案为：.12．【答案】3【解析】分析：根据数列的前n项和，求得通项公式，代入条件求得参数k.详解：设数列的前n项和为，当时，；当时，，故，；而，故，解得.故答案为：313．【答案】【解析】分析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），利用已知建立关系，用a1表示d，再用a1表示出a9及前9项和即可得解.详解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由是与的等比中项，得即，化简得，所以，，所以故答案为：14．【答案】②④【解析】分析：由等比数列前项和公式特点确定，进而明确与的通项，结合数列的单调性判断各个命题.详解：由为等比数列，其前项和，则，故①不正确；由，可得，则，若对恒成立，即对恒成立，令，则当时，；当时，，当时，，则，则，故②正确；由，，令，则当，时，，当，时则，故③不正确；，由单调递增，则，则，故④正确．故答案为：②④【点睛】关键点点睛：（1）等比数列的前项和；（2）证明数列的单调性一般采用作差（或作商）的方式；（3）数列作为特殊函数，特殊在定义域上，定义域不连续.15．【答案】【解析】分析：凑配出等比数列求出通项，可得，再利用递增数列的定义求解．详解：因为，得，是等比数列，所以，，，，是递增数列，时，，，所以，，又，所以，，综上，．故答案为：．【点睛】易错点睛：本题考查数列的单调性，根据单调性的定义解题是基本方法．求解时要注意表达式适用的范围，题中在由已知关系式求得通项公式中是从开始的项的表达式，因此在由求参数范围时，，不包含，因此最后还有一步：，否则会出错．