高中数学5.4 数列的应用课后测评

第五章  数列

章末综合检测

                       第Ⅰ部分（选择题，共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知数列为等差数列，且，，则数列的前5项和是（    ）

A．15 B．20 C．25 D．35

【答案】C

【详解】

数列的前5项和为

2．已知是公差为的等差数列，且，则（    ）

A．3 B．9 C．18 D．24

【答案】B

【详解】

因为是公差为的等差数列，，

所以，

3．在等差数列中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

在等数列中，，

所以，

解得，

所以，

4．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【详解】

因为是公差为d的等差数列，且，

所以，

解得，

5．我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（    ）

A．32盏 B．64盏 C．128盏 D．196盏

【答案】C

【详解】

设最底层的灯数为，公比，

，解得：.

6．已知等差数列的前项和为，若则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为等差数列的前项和为，

所以，所以，所以

7．已知等差数列对任意正整数都有，则（　　）

A．1 B．8 C．5 D．4

【答案】D

【详解】

解:因为等差数列对任意正整数都有

当时,,

整理得: ,

可得: ,即①,

当时,

整理得:,

可得: ②,

将①代入②,可得,

所以.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

8．设等差数列的前项和为．若，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【详解】

解：设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得，

所以，

，

9．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（    ）

A．8 B．12

C．－8 D．－12

【答案】AC

【详解】

，

当时，，

当时，，

10．已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【详解】

由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；

，选项B正确；

，所以，选项C错误；

，而，选项D正确．

11．已知等差数列前项和为，且，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C．数列是递减数列 D．为的最大值

【答案】BCD

【详解】

解：在等差数列中，，

设公差为，则，

即，所以数列是递减数列，正确．

，错误．

，正确．

，

对应的抛物线开口向下，对称轴为，当或，取得最大值，正确．

12．设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（    ）

A．是公比为的等比数列 B．是公比为的等比数列

C．是公比为的等比数列 D．是公比为的等比数列

【答案】AB

【详解】

由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.

对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；

对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；

对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；

对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.

                         第Ⅱ部分（选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知数列为等差数列且a5=2，则其前9项和S9=___________.

【答案】18

【详解】

因为数列为等差数列，所以，

14．对于数列，若点都在函数的图象上，则数列的前4项和___________.

【答案】30

【详解】

由题设可得，故，故为等比数列，其首项为2，公比为2，

故，

15．已知数列满足，，则_______.

【答案】

【详解】

，，

，，.

16．记为等差数列的前n项和，若，且，则_______.

【答案】

【详解】

因为数列是等差数列，

所以，

又因为，

所以，

所以.

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．记为等差数列的前项和，已知，.

（1）求公差及的通项公式；

（2）求，并求的最小值.

【答案】（1），；（2），最小值为.

【详解】

（1）设的公差为，由题意得.

由得.

所以的通项公式为.

（2）由（1）得.

所以时，取得最小值，最小值为

18．已知等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）因为等差数列中，首项为，公差为，

所以其通项公式为；

（2）由（1）可得，数列的前项和.

19．已知等差数列的前项和满足，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为，

因为，.

所以，化简得，解得，

所以，

（2）由（1）可知，

所以，

所以

20．已知公比大于0的等比数列的前项和为，，是和的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）设数列的公比为.

由题意知，

即，化简得，

因为，所以.

所以.

（2）由（1）可知.

所以，①

，②

由，可得，

所以.

21．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列的前n项和.

【答案】（1） （2）

【详解】

解:（1），即，所以，又因为

所以

又因为，所以，所以.

所以

(2) 因为所以

设数列的前项和为，则

所以的前项和为.

22．在①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列的前n项和为，且公差，若___________.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前n项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.

【详解】

（Ⅰ）若选①：由，

得

即

所以.

若选②：设等差数列的首项为，由，

得：

解得， 

所以.

若选③：当时；

当时，

显然时也满足，

；

（Ⅱ）由（I）知

  ，

则.