初中数学浙教版八年级下册2.3 一元二次方程的应用课后作业题

这是一份初中数学浙教版八年级下册2.3 一元二次方程的应用课后作业题，共28页。
第三讲 二元一次方程的应用
分析：应用题很多同学都感觉非常可怕，这都是小学没学好留下的后遗症，其实到了初中，应用问题都是送分题型，我们只要把我们题干中缺少的量用未知数表示出来，然后把文字语言翻译成我们数学符号语言即可.
考点1：几何问题
分析：处理几何图形的面积和体积问题时，主要是利用面积和体积公式建立等量关系.
例题1：如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（　　）

A．175cm2 B．300cm2 C．375cm2 D．336cm2
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．
根据题意得：
解得：．
故xy=30×10=300 cm2．
选：B．
例题2：如图,在大长方形ABCD中,放入六个相同的小长方形,则图中阴影部分面积(单位:cm2)为（ ）
A.16 B.44 C.96 D.140 

解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，
，
解得
因此，大矩形ABCD的宽AD=6+2y=6+2×2=10．
矩形ABCD面积=14×10=140（平方厘米），
阴影部分总面积=140﹣6×2×8=44（平方厘米）．
选：B．
例题3：如图，三个全等的小矩形沿“横一竖一横“排列在一个大的边长分别为12.34，23.45的矩形中，则图中一个小矩形的周长等于 .

解：设小矩形的长为x m，宽为y m，由题意得：
，
解得：x+y=11.93．
一个小矩形的周长为：11.93×2=23.86，
答案：23.86．
例题4：我校七年级（1）班小伟同学裁剪了16张一样大小长方形硬纸片，小强用其中的8张恰好拼成一个大的长方形，小红用另外的8张拼成一个大的正方形，但中间留下一个边长为2cm的正方形（见如图中间的阴影方格），请你算出小伟裁剪的长方形硬纸片长与宽分别是多少？

解：设小长方形的长、宽分别为x cm，y cm，则
，
解得：，
经检验得出，符合题意．
例题5：小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示：根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21 m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1 m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

解：（1）设客厅的宽是x，卫生间的宽是y，
地面的总面积为：3×4+2y+2×3+6x=6x+2y+18；
（2）由题意得 ，
整理得：，
①﹣②×2得：26y=39，解得：y=1.5，
把y=1.5代入①解得：x=4，
解得：，
∴地面总面积为：S（总）=6x+2y+18=45（m2），
∴铺地砖的总费用为：45×100=4500（元）．
答：那么铺地砖的总费用为4500元
例题6：某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）

（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张；
（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；

（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得，
解得
答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；

（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，
根据题意得，
解得，
∵在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3=75（片），9张做正方形铁片可做9×4=36（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片75+1=76（片），正方形铁片36+2=38（片），
∴可做铁盒76÷4=19（个）
答：最多可加工成铁盒19个．
考点2：配套问题
分析：根据题意设出合适的未知数，注意要配套的数量关系，这里很多同学容易搞反.
例题1：用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有a张正方形纸板和b张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则a+b的值可能是 （ ）
A.2014 B.2015 C.2016 D.2017

解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，根据题意得

两式相加得，a+b=5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴a+b是5的倍数，
∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数，
∴a+b的值可能是2015．
选：B．
例题2：如图，现有图1所示的长方形纸板360张和正方形纸板140张，制作图2所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒，刚好全部用完．问能制作A型盒子、B型盒子各多少个？若设能做成x个A型盒子，y个B型盒子，则依题意可列出方程组．如果设做A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，则以下列出的方程组中正确的为（　　）
A. B. C. D.

解：若设A型盒子用了正方形纸板x张，做B型盒子用了正方形纸板y张，
则可得做了A型盒子x个，B型盒子个，
由题意得，，即．
选：C．

例题3：某服装厂生产一批某款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装，应分别用多少布料才能使做出来的衣身和衣袖恰好配套？

解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，
由题意得，
解得：．
答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套．
例题4：用72张铁皮加工铁盒的盒身和盒底，每2张铁皮可以加工8个盒身，每4张铁皮可以加工20个盒底.请问怎么样分铁皮才能使加工的盒身与盒底刚好配好？（一个盒身配一个盒底）
解：设用x张铁皮做盒身，用y张铁皮做盒底
由题意得，
解得：．
答：用40张铁皮做盒身，用32张铁皮做盒底.
例题5：某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
解：设每天安排多x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，
由题意得，，
解得：，
若有34人生产螺栓，则有86人生产螺母，则每天生产850个螺栓，1720个螺母，生产850套；
若有35人生产螺栓，则有85人生产螺母，则每天生产875个螺栓，1700个螺母，生产850套
答：每天安排可安排34名工人生产螺栓，86名工人生产螺母或每天安排可安排35名工人生产螺栓，85名工人生产螺母．
例题6：某木器厂有38名工人，2名工人每天可以加工3张课桌，3名工人每天可以加工10把椅子，如何调配工人才能使每天生产的桌椅配套（1张课桌配两把椅子）
解：设调配x名工人加工课桌，y名工人加工椅子，可得：，
解得
答：安排20名工人去加工课桌，18名工人去加工椅子.
例题7：某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．
（1）若做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，则需正方形纸板共　张，长方形纸板共张．
（2）现有正方形纸板162张，长方形纸板338张．问两种纸盒各做多少个，恰好将上述两种纸板用完？
（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板n张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知n大于290，且小于306．求所有满足条件的n的值．

解：（1）做1个竖式纸盒需要正方形纸板1张，长方形纸板4张；
做1个横式纸盒需要正方形纸板2张，长方形纸板3张，
因此做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要正方形纸板1+2×2=5（张），
长方形纸板4+3×2=10（张），
故答案为：5；10：
（2）设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，由题意得：
，
解得，
答：做竖式纸盒38个，横式纸盒62个；
（3）设m个竖式需要正方形纸板m张，长方形纸板横4m张；a个横式需要正方形纸板2a张，长方形纸板横3a张，可得方程组，
于是我们可得出a=，
因为已知了a的取值范围是290＜n＜306，
所以68.4＜a＜71.6，由a取正整数，
则，当取a=70，则n=298；
当取a=69时，n=303；
当取a=71时，n=293．
293或298或303．
考点3：分配问题
分析：根据题意设出适当的未知数，列出方程.
例题1：某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：
（1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？

解：（1）设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆．
根据题意，得，
解这个方程组，得．
答：这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆；

（2）租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6=1320（元），
租60座客车：240÷60=4（辆），所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）．
答：租用4辆60座客车更合算．
例题2：荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
（1）如果六辆车正好将100吨货物拉完且正好满载，则应租用甲，乙两种汽车各多少辆？
（2）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
解：设甲、乙两种型号的货车各x,y辆，甲每辆车费用a元，乙每辆车费用b元.
(1) 解得
(2) 解得
答：甲乙车有4、2辆，甲每辆车800元，乙每辆车的费用是850 元.
例题3：瑞安市某中学组织七年级学生秋游，由王老师和甲、乙两同学到客车租赁公司洽谈租车事宜.
（1）两同学向公司经理了解租车的价格.公司经理对他们说：“公司有45座和60座两种型号的客车可供租用，60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元.”王老师说：“我们学校八年级昨天在这个公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，你们能知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元吗？”甲、乙两同学想了一下，都说知道了价格.
你知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元？
（2） 公司经理问：“你们准备怎样租车？”，甲同学说：“我的方案是只租用45座的客车，可是会有一辆客车空出30个座位”；乙同学说“我的方案只租用60座客车，正好坐满且比甲同学的方案少用两辆客车”，王老师在一旁听了他们的谈话说：“从经济角度考虑，还有别的方案吗？” 如果是你，你该如何设计租车方案，并说明理由.
解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每灭的租金为（x+100）元，则
2（x+100）+5x=1 600，
解得x=200．
故 x+100=300．
答：45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元．
（2）设这个学校七年级共有y名学生，则
=+2．
解得：y=240，所以甲和乙的方案的费用为1 200元．
比甲和乙更经济的方案是：租用45座的客车4辆，60座的客车l辆．这个方案的费用为1 100元，且能让所有同学都能有座位．
考点4：行程问题
分析：根据题意设出适当的未知数，列出方程.
例题1：小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时两人相遇，相遇后小明即返回原地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米.请求出两人的速度.
解：设小明的速度为x千米/小时，小亮的速度为y千米/小时，
由题意得，，
解得：，
答：小明的速度为5.5千米/小时，小亮的速度为4.5千米/小时．
例题2：一船顺水航行43.5公里需要3小时，逆水行47.5公里需5小时，求此船在静水中的速度和水流的速度.
解：设此船在静水中的速度为x千米/小时，水流的速度为y千米/小时，由题意得
解得方程解为
答：此船在静水中的速度是12千米/小时，水流的速度是2.5千米/小时.
例题3：已知某铁路桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45秒，整列火车完全在桥上的时间是35秒，求火车的速度和长度.
解：设火车的速度为x米/秒，火车长为y米．
则，
两方程相加得：80x=1600，
∴x=20，
把x=20，代入得y=100，
∴．
答：火车的速度为20米/秒，长度为100米．
例题4：已知A,B两地相距70千米，甲匀速开汽车，先从A地出发到B地取货，在B地装货时间为0.5小时，然后返回A地，乙骑摩托车匀速从B地出发去A地游玩，当天不返回.两人同时出发，过了0.5小时两人第一次相遇，从开始出发计时，过了2小时甲又追上乙. 则甲的速度为 千米/小时.
解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时
解得
∴答案是100千米/小时
例题5：在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
解：设巡逻车的速度为；xkm/h，犯罪团伙的车的速度是ykm/h，根据题意可得：
，
解得：．
答：巡逻车的速度为80 km/h，犯罪团伙的车的速度是40 km/h．
考点5：工程问题
分析：根据题意设出适当的未知数，工作总量常常设为单位“1”.
例题1：在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用.
解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天．
由题意得方程组：，
解之得：x=40，y=60．
经检验x=40，y=60均是方程的根．
答：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天，60天．
（2）∵工程必须在规定时间30天内完成，
∴甲、乙两个工程队均不能单独完成且工作时间不超过30天．
又∵甲工程队每天的施工费用为0.6万元，完成整个工程需要0.6×40=24（万元），
乙工程队每天的施工费用为0.35万元，完成整个工程需要0.35×60=21（万元），
24＞21，
∴要使施工费用最低，需使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成．
由（1）知，乙工程队30天完成工程的，
∴甲工程队需施工÷=20（天）．
最低施工费用为0.6×20+0.35×30=22.5（万元）．
答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；
（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元．
例题2：某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，
依题意得：，
解得：．
答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天．
例题3：某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的80%；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，
依题意得：，
解得：．
答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天．
例题4：有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）张老板现有36个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？
解：（1）设每个房间需要粉刷的墙面面积为x m2．
由题意得，=+30，
解得：x=50．
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为50 m2．
（2）由（1）每位师傅每天粉刷的墙面面积为m2，
每位徒弟每天粉刷的墙面面积为120﹣30=90 m2，
1个师傅带两个徒弟粉刷36个房间需要50×36÷（120+180）=6天．
答：若请1名师傅带2名徒弟去，需要6天完成．
例题5：一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）
解：（1）设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元．由题意可得：
，
解得：．
答：甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元．
（2）∵甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，
∴单独请甲组需付300×12=3600（元），
单独请乙组需付140×24=3360（元），
∵3600＞3360，
∴单独请乙组费用较少；
（3）由题意，得
①甲组单独做12天完成，商店需付款3600元；
乙组单独做24天完成，商店需付款3360元；
但甲组比乙组早12天完工，商店12天的利润为200×12=2400元，
即开支为3600﹣2400=1200元＜3360元，
故选择甲组单独做比选择乙组单独做划算．
②甲、乙合作8天可以完成，需付费用3520元，
此时工期比甲单独做少4天，商店开业4天的利润为4×200=800元，
开支为3520﹣800=2720元＜3600元；
则甲、乙合作比甲单独做12天合算．
综上所述，甲、乙合作这一方案最优．
例题6：我市在一项市政工程招标时，接到甲、乙工程队的投标书：每施工一天，需付甲工程队工程款为1.5万元，付乙工程队1.1万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案1：甲队单独施工完成此项工程刚好如期完工；
方案2：乙队单独施工完成此项工程要比规定工期多用5天；
方案3：若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做也正好如期完工．
（1）你认为哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
（2）如果工程领导小组希望能够提前4天完成此项工程，请问该如何设计施工方案，需要工程款多少万元？（要求用二元一次方程组解答，天数必须为整数）
解：设甲队单独完成此项工程需要x天，乙队单独完成此项工程需要y天.
（1） 解得
这三种施工方案需要的工程款为：
方案1: 1.5×20=30（万元）
方案2： 1.1×25=27.5（万元）
方案3： 1.5×4+1.1×20=28（万元）
∵30＞28＞27.5
∴第二种施工方案最节省工程款
（2） 设甲乙合作a天后再由甲队单独做b天完成或由乙单独做b天2完成，由题意得：

a=5或
∵不是整数舍去
∴a=5
需要的工程款为：
1.5×16+1.1×5=29.5
答：需要的工程款为29.5万元.
考点6：分段计算问题
分析：根据题意设出适当的未知数，注意价格是超出部分还是其它情况，列出方程.
例题1：根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过180千瓦时的部分
a
超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分
b
超过350千瓦时的部分
a+0.3
（1）若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元．求a，b的值；
（2）实行“阶梯电价”收费以后，该户居民用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
解：（1）根据题意得：
，
解得：．
答：a=0.6，b=0.65．
（2）设该户居民用电x千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元，由题意，得
∵第一部分时，0.6＜0.62，符合要求，第三部分平均电价＞0.62，不符合要求，
∴只有第二部分符合题意，
∴180×0.6+0.65（x﹣180）≤0.62x，
解得：x≤300．
答：该户居民用电量不超过300千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元．
例题2：为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
解：（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得

解之，得
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时．
（2）80×0.6+（130﹣80）×1=98（元）．
答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．
例题3：某旅行社暑假期间面向学生推出“上海一日游”活动，甲、乙两所学校参加该活动．收费标准如下：

已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经
核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校联合组团只需花费18000元．
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
（3）现从甲校抽调a人，从乙校抽调b人，去参加体验活动.甲校每位成员必须参加5个项目，乙校每位成员必须参加6个项目．他们一共参加了420次项目体验活动．是否存在一个正整数n，使得a是b的n倍？若存在，请求出这个n，若不存在，请说明理由.
解：（1）这两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人，理由为：
设两校人数之和为a，
若a＞200，则a=18000÷75=240；
若100＜a≤200，则a=18000÷85=211＞200，不合题意，
则这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人．
（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则
①当100＜x≤200时，得
解得
②当x＞200时，得
解得不合题意，舍去．
答：甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人．
（3）由题意可知：5a+6na=420，即（5+6n）a=420，
又∵420=2×3×7×2×5，5+6n为奇数，
∴5+6n=21或5+6n=15或5+6n=35或5+6n=105，解得n=（舍去）或n=（舍去）或n=5或n=（舍去）．
所以n的值为5．
例题4：为了鼓励居民节约用水，万源市民生给排水公司对居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是我市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
12吨以下（含12吨）
a
0.15
超过12吨不超过18吨的部分
b
超过18吨的部分
4.5
[说明：①每户产生的污水量等于该户的用水量；②水费=自来水费+污水处理费]
（1）已知小李家2013年4月份用水量16吨，交水费45.2元；5月份用水量14吨，交水费37.9元．求表中a、b的值．
（2）设小李家每月用水量为x吨，交水费y元，求y（元）与x（吨）的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

解：（1）由题意可得：，
解之得：；
（2）当0≤x≤12时，y=（2.4+0.15）x，即y=2.55x；
当12＜x≤18时，y=12×2.4+（x﹣12）×3.5+0.15x=3.65x﹣13.2；
当x＞18时，y=12×2.4+（18﹣12）×3.5+（x﹣18）×4.5+0.15x=4.65x﹣31.2；
故答案为：y=．
考点7：方案设计问题
分析：根据题意设出适当的未知数，列出方程求解，这里可能会有不定解方程.
例题1：某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒广告每播1次收费0.8万元，30秒广告每播1次收费1.5万元．若要求每种广告播放不少于2次．问：
（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？
（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？
解：设15秒的广告播x次，30秒的广告播y次．
则15x+30y=120，
∵每种广告播放不少于2次，
∴x=2，y=3，或x=4，y=2
当x=2，y=3时，收益为：2×0.6+3×1=4.2万元；
当x=4，y=2时，收益为4×0.6+1×2=4.4万元
∴电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．
（2）当x=4，y=2时，0.8×4+1.5×2=6.2（万元）
当x=2，y=3时，0.8×2+1.5×3=6.1（万元）
所以，选择播放15秒的广告4次，播放30秒的广告2次，收益最大．
例题2：学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用W元钱购买奖品，若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60分奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品.设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本.
（1）请用y的代数式表示x；
（2）若用W元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？
（3）若王老师用W元钱恰好能买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有），请求所有可能的a，b值.
解：（1）由题意得：60（2x+3y）=40（2x+6y），
化简得：．
（2）60（2x+3y）÷y=360（本）．
答：总共可以买卖360本；
（3）由题意得：60（2x+3y）=30（ax+by），把代入得：
解得此方程的正整数解为，，．
例题1：学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得
，
解得．
答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆．
（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得
5a+8b+10（14﹣a﹣b）=120，
化简得5a+2b=20，
即a=4﹣b，
∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，
∴b只能等于5，从而a=2，14﹣a﹣b=7，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
∴需运费400×2+500×5+600×7=7500（元）．
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元．
例题3：江海化工厂计划生产甲、乙两种季节性产品，在春季中，甲种产品售价50千元/件，乙种产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4吨/件，B种原料2吨/件，生产乙产品需要A种原料3吨/件，B种原料1吨/件，每个季节该厂能获得A种原料120吨，B种原料50吨．
（1）如何安排生产，才能恰好使两种原料全部用完？此时总产值是多少万元？
（2）在夏季中甲种产品售价上涨10%，而乙种产品下降10%，并且要求甲种产品比乙种产品多生产25件，问如何安排甲、乙两种产品，使总产值是1375千元，A，B两种原料还剩下多少吨？
解：（1）设生产甲种产品x件，生产乙种产品y件，依题意有
，
解得，
15×50+30×20
=750+600
=1350（千元），
1350千元=135万元．
答：生产甲种产品15件，生产乙种产品20件才能恰好使两种原料全部用完，此时总产值是135万元；
（2）设乙种产品生产z件，则生产甲种产品（z+25）件，依题意有
（1+10%）×50（z+25）+（1﹣10%）×30z=1375，
解得z=0，
z+25=25，
120﹣25×4
=120﹣100
=20（吨），
50﹣25×2
=50﹣50
=0（吨）．
答：安排生产甲种产品25件，使总产值是1375千元，A种原料还剩下20吨，B种原料正好用完，还剩下0吨．
例题4：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案；
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同的电视机50台，请你设计进货方案．
解：（1）设购进甲种x台，乙种y台．
则有：，
解得；
设购进乙种a台，丙种b台．
则有：，
解得；（不合题意，舍去此方案）
设购进甲种c台，丙种e台．
则有：，
解得：．
通过列方程组解得有以下两种方案成立：
①甲、乙两种型号的电视机各购25台．
②甲种型号的电视机购35台，丙种型号的电视机购15台；
（2）方案①获利为：25×150+25×200=8750（元）；
方案②获利为：35×150+15×250=9000（元）．
所以为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案；
（3）设购进甲种电视x台，乙种电视y台，则购进丙种电视的数量为：z=（50﹣x﹣y）台．
1500x+2100y+2500（50﹣x﹣y）=90000，
化简整理，得5x+2y=175．
又因为0＜x、y、z＜50，且均为整数，
所以上述二元一次方程只有四组解：
x=27，y=20，z=3；
x=29，y=15，z=6；
x=31，y=10，z=9；
x=33，y=5，z=12．
因此，有四种进货方案：
1、购进甲种电视27台，乙种电视20台，丙种电视3台，
2、购进甲种电视29台，乙种电视15台，丙种电视6台，
3、购进甲种电视31台，乙种电视10台，丙种电视9台，
4、购进甲种电视33台，乙种电视5台，丙种电视12台．
例题5：已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a=
∵a、b都是正整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）
方案二需租金：5×100+4×120=980（元）
方案三需租金：1×100+7×120=940（元）
∵1020＞980＞940
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
例题5：某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米／时、100千米／时两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

（注：“元／吨千米”表示每吨货物每千米的运费；“元／吨小时”表示每吨货物每小时的冷藏费）
⑴若该批发商待运的海产品有30吨，为节省运费，应选哪个货运公司？
⑵若该批发商待远的海产品有60吨，他又该选哪个货运公司较为合算？
⑶当该批发商有多少吨海产品时，无论选哪家都一样？
解：设有海产品x吨，则由题意可知汽车运费可表示为：250x+200，
火车运费可表示为：222x+1600，
（1）把x=30别代入250x+200、222x+1600，可得：
250x+200=7700，222x+1600=8260，
所以选汽车更能节省运费．
（2）把x=60别代入250x+200、222x+1600，可得：
250x+200=15200，222x+1600=14920，
所以选火车更能节省运费．
（3）由题意可列方程：250x+200=222x+1600，
解之得x=50，
所以当该批发商待运50吨海产品时，无论选哪家都一样
考点8：和差倍分
分析：
例题1：某个夏令营活动，营地里有两种寝室，大寝室每间住8人，小寝室每间住4人，28位男同学刚好住满每间寝室，则安排这28位男同学寝室的方案共有（ ）
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
解：设有大寝室x间，小寝室y间，根据题意得
8x+4y=28即2x+y=7
∵x,y 为正整数
∴当x=1，y=5，当x=2时，y=3，当x=3 时，y=1
∴一共有3种方案.
选C.
例题2：甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？
解：设甲原来有x本，乙原来有y本
解得
答：甲乙两人各有40、20本.
例题3：某书店的两个下属分店共有某种图书5000册,若将甲书店的该种图书调出400册给乙书店,这样乙书店该种图书的数量仍比甲书店该种图书的数量的一半还少400册.求这两个书店原有该种图书各多少.
解：设甲书店原有图书x册，乙书店原有图书y册，
，
解得：，
∴4000﹣1000=3000册．
答：原来甲书店比乙书店多3000册这种图书．
例题4：甲乙两盒中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？
解：设甲盒原来有x，乙盒原来有y盒，
由题意得，，
解得：．
答：甲乙两盒原来的球数为40个，170个．
例题5：某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
解：（1）设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
解得：．
答：该店有客房8间，房客63人；
（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱；
若一次性订客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱；
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
考点9：数字问题
分析：注意一个数十位上是a，个位上是b，则这个两位数为10a＋b，而不是ab，列出方程.
例题1：一个两位数，个位数比十位数大2，如果个位数与十位数对调，则新数是原数的2倍少2、2、求原来的两位数.假设原来的两位数的个位数字为x十位数字为y，则原来的两位数可表示为 .个位数字与十位数字对调后的两位数可表示为 .
答案：10y+x，10x+y.
例题2：一个两位数的十位数字与个位数字和是，把这个两位数加上后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是______．
解：设十位数字为x，个位数为y

解得
∴这两位数是16.
例题3：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和为6，则符合这个条件的所有的两位数为_____；
解：设这两位数十位数为x，个位为y
x+y=6,所以这个两位数是60、51,42、33,24,15
例题4：一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数．
例题5：甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所得的和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得的和是65，求原来的两个加数．
解：设三位数为x，两位数为y，由题意得：
，
解得：，
答：三位数为250，两位数为25．
考点10：其它问题
分析：根据题意设出适当的未知数，然后列出方程.
例题1：如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各10克的砝码，将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，现从图2右侧盘中拿掉砝码和袋子外面的玻璃球，只剩下一小袋玻璃球，要使天平保持平衡，则左侧袋中需拿出玻璃球的个数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5

解：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，
根据题意得：m=n+20；
设被移动的玻璃球的质量为x克，
根据题意得：m﹣x=n+x+10，
x=（m﹣n﹣10）=（n+20﹣n﹣10）=5，
∴1个玻璃球的质量为5克，
∵5+10=15，15÷5=3，
∴要使天平保持平衡，则左侧袋中需拿出玻璃球3个；
选：B．
例题2：某市在“五水共治”中新建成一个污水处理厂，已知该厂库池中存有待处理的污水a吨，另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时b吨的固定流量增加）．若污水处理厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．现要求用5个小时将污水处理完毕，则需同时开动的机组数为（ ）
A.4台 　　 B.5台 　C.6台 　 D.7台
选：D
例题3：同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为 ．．

解：设白色皮块有x块，黑色的就有y块，
，
．
白色皮块有20块，黑色的就有12块．
答案：12，20．
例题4：某单位招聘员工采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩满分均为100分．根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）．已知小明应聘的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，现得知小明的最后综合成绩为88分．设小明的笔试成绩所占的百分比为x，面试成绩所占的百分比为y，根据题意列方程组得 ．
解：设小明的笔试成绩所占的百分比为x，面试成绩所占的百分比为y，
由题意得，．
答案：．

例题5：通过对某校营养午餐的检测，得到如下信息：每份营养午餐的总质量400g；午餐的成分为蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质，其组成成分所占比例如图1所示；其中矿物质的含量是脂肪含量的1.5倍，蛋白质和碳水化合物含量占80%．
（1）设其中蛋白质含量是x ( g)，脂肪含量是y( g)，请用含x 或y的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量．
（2）求每份营养午餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量．
（3）参考图1，请在图2中完成这四种不同成分所占百分比的扇形统计图．

解：（1）由题可知，矿物质的质量为1.5y（g）．
碳水化合物的质量为400×45%﹣1.5y=180﹣1.5y（g）．
（2），
解得
蛋白质质量为188g．
碳水化合物质量为180﹣1.5×32=132g，
脂肪质量为32g，矿物质质量为1.5×32=48g；
（3）蛋白质：，
碳水化合物：80%﹣47%=33%，
脂肪：55%﹣47%=8%，
矿物质：45%﹣33%=12%．
如图：

例题6：小钱同学有一个多功能的自动铅笔盒，这个铅笔盒除了基本的功能外，还安装这一个类似“温度计”的零部件，零部件的表面如图所示，第一行是摄氏温度的单位°C和华氏温度的单位°F,其余六行是相应的温度值，摄氏温度°C和华氏温度°F的换算公式是：F=aC+b(a,b为常数)，细心的小钱同学经过计算发现：当C=18时，F=64，当C=21时，F=69.8，也就是该“温度计”的部分数据是近似数.
（1） 根据小钱同学的计算，求a,b的值；
（2） 当F=95时，求摄氏温度C;
（3） 当摄氏温度C为24,27,30,33时，对应的华氏温度F中有几个近似数？为什么？

解：（1）由题意得：，解得：.
（2）1.8C+32=95，C=35.
（3）当C=24时，F=75.2；当C=27时，F=80.6；当C=30时，F=86；当C=33时，F=91.4，∴由3个近似数.
例题7：下图是小红在某路口统计20分钟各种车辆通过情况制成的统计表，其中空格处的字迹已模糊，但小红还记得7：50～8：00时段内的电瓶车车辆与8：00～8：10时段内的货车车辆数之比是7：2.

（1）若在7：50～8：00时段，经过的小轿车数量正好是电瓶车数量的，求这个时段内的电瓶车通过的车辆数；
（2）根据上述表格数据，求在7：50～8：00和8：00～8：10两个时段内电瓶车和货车的车辆数；
（3）据估计,在所调查的7：50～8：00时段内,每增加1辆公交车,可减少8辆小轿车行驶，为了使该时段内小轿车流量减少到比公交车多13辆,则在该路口应再增加几辆公交车．
解：（1）63÷=63×=56（辆）．
答：7：50～8：00时段内，通过电瓶车56辆．
（2）在8：00～8：10时段内通过货车56÷7×2=8×2+=16（辆）；
在7：50～8：00时段内通过货车30-16=14（辆）；
在8：00～8：10时段内通过电瓶车67-56=11（辆）．
答：在7：50～8：00时段内通过货车30-16=14辆，在8：00～8：10时段内通过货车56÷7×2=8×2=16辆，7：50～8：00时段内，通过电瓶车56辆，在8：00～8：10时段内通过电瓶车67-56=11辆．
（3）设在该路口应再增加x辆公交车．
63-8x-（5+x）=13，
63-8x-5-x=13，
58-9x=13，
-9x=-45，
x=5．
答：在该路口应再增加5辆公交车．
例题8：为了解决农民工子女入学难的问题．北京市自2009年建立了一套进城农民工子女就学保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，2009年秋季有15000名农民工子女在北京市某区中、小学学习．到2011年秋季在该区中、小学学习的农民工子女比2009年有所增加，其中小学增加20%，中学增加32%．这样，2011年秋季新增3600名农民工子女在该区中、小学学习．
（1）在2011年秋季新增的3600名学生中，小学生和中学生分别有多少名？
（2）如果40名小学学生需配备若干名教师，相同数量的中学学生则比小学生需多配备1名教师，2011年秋季入学后，按农民工子女在该区中、小学新增就读的3600名学生计算，一共需要配备310名中、小学教师，则40名小学学生需配备多少名教师？
解：（1）设2009年秋季在小学学习的农民工子女有x人，在中学学习的农民工子女有y人，
由题意可得：，
解得，
∴20%x=20%×10000=2000（人），
32%y=32%×5000=1600（人）
答：2011年秋季新增的3600名学生中，小学生有2000名，中学生有1600名；

（2）设40名小学学生需配备a名教师，则40名中学学生需配备（a+1）名教师由题意得：
，
解得：a=3．
答：40名小学学生需配备3名教师．
例题9：某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生．
（1）平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低10%，安全检查规定，在紧急情况下全楼的学生在4分钟内通过这4道门安全撤离，问：这栋教学楼平均每间教室最多多少人？
解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生，
由题意得，，
解得：，
答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生；
（2）设这栋教学楼平均每间教室有m人，
由题意得，4×8m≤4×2×（120+80）×（1﹣10%），
解得：m≤45．
答：这栋教学楼平均每间教室最多有45人．
例题10：某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下的未改装车辆每天燃料费用的，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天的燃料费用的．问：
（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
解：（1）设公司第一次改装了y辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x．依题意得方程组：
．
解得x==40%，y=20．
故两次共改：2y=40（辆）．
答：公司共改装了40辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%；
（2）设一次性改装后，m天可以收回成本，
则100×80×40%×m=4000×100，
所以m=125（天）
答：若公司一次性将全部出租车改装，125天后就可以从节省的燃料费中收回成本．