数学选择性必修 第一册1.2 一元线性回归方程巩固练习

第七章统计案例

§1　一元线性回归

1.已知某线性回归方程的斜率为2,样本点中心为,则线性回归方程为(　　).

A.Y=2X+6 B.Y=-2X+6

C.Y=2X-6 D.Y=X+6

解析:由斜率为2,可知B,D不正确,由于-3,a在回归直线上,经检验可知答案为A.

答案:A

2.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下:

由散点图可知,身高Y与年龄X之间的线性回归方程为Y=8.8X+,预测该学生10岁时的身高为(　　).

参考公式:

回归方程:Y=X,.

A.154 cm B.153 cm C.152 cm D.151 cm

解析:由题意得,=7.5,

=131.

代入Y=8.8X+,可得131=8.8×7.5+,所以=65,所以Y=8.8X+65,所以当X=10时,Y=8.8×10+65=153.

答案:B

3.某产品的广告费用X(单位:万元)与销售额Y(单位:万元)的统计数据如下表:

已知数据对应的线性回归方程Y=X中的=9.4,据此模型预计,当广告费用为6万元时的销售额为(　　).

A.63.6万元 B.65.5万元

C.67.7万元 D.72.0万元

解析:∵=3.5,=42,又回归直线必过样本点中心(),∴42=+9.4×3.5,解得=9.1.

∴线性回归方程为Y=9.4X+9.1.

∴当X=6时,Y=9.4×6+9.1=65.5(万元).

答案:B

4.已知两个变量X与Y之间具有线性相关关系,数据如表.

Y关于X的线性回归方程为(　　).

A.Y=0.56X+997.4 B.Y=0.63X-231.2

C.Y=50.2X+501.4 D.Y=60.4X+400.7

解析:×(10+15+20+25+30)=20,

×(1003+1005+1010+1011+1014)=1008.6,代入所给选项知A符合.

答案:A

5.对具有线性关系的变量X,Y有一组观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,8),其线性回归方程是Y=X,且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,则实数的值是(　　).

A. B. C. D.

解析:因为x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,所以,所以样本点中心的坐标为,代入线性回归方程得,解得.

答案:B

6.已知X与Y之间的几组数据如下表:

假设根据上表数据所得线性回归方程为Y=X.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为Y=b'X+a',则以下结论正确的是(　　).

A.>b',>a' B.>b',<a'

C.<b',>a' D.<b',<a'

解析:由(1,0),(2,2)求b',a',

b'==2,a'=0-2×1=-2.

求时,xiyi=0+4+3+12+15+24=58,

=3.5,,

=1+4+9+16+25+36=91,

∴×3.5=-,∴<b',>a'.

答案:C

7.某单位为了了解用电量Y(单位:kW·h)与气温X(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天的气温,数据如下表,并求得线性回归方程为Y=-2X+60.

但后来不小心丢失了表中数据c,d,那么由现有数据知2c+d=　　　　　. 

解析:依题意,=-2×+60,化简可得2c+d=100.

答案:100

8.调查了某地若干户家庭的年收入X(单位:万元)和年饮食支出Y(单位:万元),调查显示年收入X与年饮食支出Y具有线性相关关系,并由调查数据得到Y对X的线性回归方程Y=0.254X+0.321.由线性回归方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加　　　　　万元. 

解析:由Y=0.254X+0.321知,当X增加1万元时,年饮食支出Y平均增加0.254万元.

答案:0.254

9.某服装商场为了了解毛衣的月销售量Y(单位:件)与月平均气温X(单位:℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:

由表中数据算出线性回归方程中的≈-2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量为　　　　　件. 

解析:样本点中心是(10,35.5),

则=35.5-(-2)×10=55.5,

故线性回归方程为Y=-2X+55.5,

将X=6代入得Y=-2×6+55.5=43.5≈44.

答案:44

10.期中考试后,某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析,得到数学成绩Y对总成绩X的线性回归方程为Y=0.4X+6.由此可以估计,若两名同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差　　　　　分. 

解析:令两人的总成绩分别为x1,x2.

则对应的数学成绩估计为y1=0.4x1+6,y2=0.4x2+6,

所以|y1-y2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.

答案:20

11.已知施肥量X(单位:kg)对水稻产量Y(单位:kg)的影响的试验数据如表所示:

(1)试求出Y关于X的线性回归方程;

(2)请估计当施肥量为10 kg时水稻的产量.

解:(1)=22.5,

=361.25,

∴=4.9.

=361.25-4.9×22.5=251.

∴Y关于X的线性回归方程为Y=251+4.9X.

(2)由(1)知,当X=10时,Y=4.9×10+251=300(kg),

∴当施肥量为10 kg时,估计水稻产量为300 kg.

12.一般地,一个人的身高越高,他的手就越大.为了调查这一问题,对10名高三男生的身高X与右手一拃长Y测量得如下数据(单位:cm):

(1)根据上表中的数据画出散点图,能发现两者有何近似关系吗?

(2)如果两个变量存在近似的线性关系,求线性回归方程.

(3)如果一个学生身高185 cm,估计他的右手一拃长.

附:线性回归方程Y=X,其中

.

解:(1)以横轴表示身高,以纵轴表示一拃长,作散点图.

(第12题答图)

由散点图可以看出,各点散布在一条直线附近,即它们有近似的线性关系.

(2)设线性回归方程为Y=X+.

代入公式,可得≈0.303,≈-31.264,

∴线性回归方程为Y=0.303X-31.264.

(3)当X=185时,Y=24.791,即一个学生身高185 cm,估计他的右手一拃长24.791 cm.