专题13 几何初步与平行线（精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。
会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义
掌握基本事实：两点确定一条直线
掌握基本事实：两点之间线段最短
理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离
理解角的概念，能比较角的大小
认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差
理解对顶角的概念、探索并掌握对顶角的性质
理解互为余角和补角的概念
探索并掌握同角（等角）余角、补角的性质
理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线
理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离
掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
识别同位角、内错角、同旁内角
理解平行线概念
掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线
探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行
探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）
了解平行于同一条直线的两条直线平行
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5233" 第13讲 几何初步与平行线（精讲） PAGEREF _Tc5233 \h 1
\l "_Tc30780" 考点1：直线与线段 PAGEREF _Tc30780 \h 3
\l "_Tc27146" 考点2：角及相交线的相关计算 PAGEREF _Tc27146 \h 13
\l "_Tc21956" 考点3：垂线及其性质 PAGEREF _Tc21956 \h 23
\l "_Tc17687" 考点4：平行线的性质及其判定 PAGEREF _Tc17687 \h 31
\l "_Tc15816" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc15816 \h 48
\l "_Tc9508" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc9508 \h 50
考点1：直线与线段
①基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．

｛直线、线段与射线★｝轩轩同学带领自己的学习小组成员预习了“线段、射线、直线”一节的内容后，对图展开了讨论，下列说法不正确的是
A．直线与直线是同一条直线B．射线与射线是同一条射线
C．射线与射线是同一条射线 D．线段与线段是同一条线段
｛直线的基本事实★｝如图，从地到地有三条路线，由上至下依次记为路线、、，则从地到地的最短路线是，其中蕴含的数学道理是
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过一点有无数条直线D．直线比曲线短
｛线段的计算★★｝已知直线上有，，三点，其中，，则 ．
｛线段的计算★★｝线段，延长到点，使，反向延长到点，使为的中点，则线段的长为 ．
｛线段的计算★★｝点是线段的中点，点是线段的中点，点是直线上一点，，若，则 ．
｛直线、射线、线段★｝在下列生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
A．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拔木条，木条能转动
B．植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线
｛线段的计算★★｝如图，已知线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．若，则线段的长为 ．
｛线段的计算★★｝已知点是直线上一点，且，若，则 ．
｛线段的计算★★｝已知线段，若是的三等分点，是的中点，则线段的长度为 ．
间的距离，利用了三等分点的性质：距点近的三等分点，距点远的三等分点，以防漏掉．
｛线段的计算★★｝已知点，，都在直线上，，点，分别为，的中点，，则 ．
｛线段的计算★★｝点在直线上，，，点、分别是、的中点，则线段的长为 ．
（2017•黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
（2021•泰州）互不重合的、、三点在同一直线上，已知，，，这三点的位置关系是
A．点在、两点之间 B．点在、两点之间C．点在、两点之间 D．无法确定
（2020•凉山州）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为
A．B．C．或D．或
考点2：角及相交线的相关计算
①概念：
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
②角的度量：
1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
③余角和补角：
（1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
④对顶角、邻补角：
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.

｛角的概念★｝下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是
A． B．
C．D．
｛钟面角★｝9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
｛角的换算★｝计算的结果为 ．
｛角的换算★｝ 度 分 秒．
｛角的计算★｝如图，是的平分线，是的平分线，已知，则 度．
｛角的计算★｝将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．若与重合，则为 度．
｛角的计算★｝如图，在的内部，已知是的平分线，平分，若，，则 ．
｛余角、补角★｝一个角的余角的2倍比这个角的补角少，那么这个角的度数是 ．
｛角的大小比较★｝比较： （填“”、“ ”或“” ．
｛角的定义★｝下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是
A．B．C．D．
｛角的计算★｝如图所示，是的平分线，平分，且，则的度数是
A．B．C．D．
｛角的计算★｝把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中、、三点在同一直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是
A．B．C．D．
｛钟面角★｝钟表上1点30分，时钟的时针与分针所夹的角是 度．
｛角的计算★｝是内部一条射线，是平分线，是平分线，是平分线，是平分线，则
A．B．C．D．
｛角的计算★｝计算： ．
｛角的计算★｝计算： ．
｛余角、补角★｝一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的余角是 度．
（2010秋•江津区期末）比较大小： （填、或
（2021•兴安盟） ．
（2019•梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是
A．B．C．D．
（2017•呼伦贝尔）计算： ．
考点3：垂线及其性质
①垂线：
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

｛对顶角★｝下面各图中和是对顶角的是
A．B．C．D．
｛邻补角★｝以下图形中，与表示邻补角的是
A．B．C．D．
｛垂线性质★｝如图，，，平分，则的度数为
A．B．C．D．
｛对顶角★｝下列各图中，与是对顶角的是
A．B．C．D．
｛邻补角★｝已知与是对顶角，与是邻补角，则的度数为
A．B．C．D．
｛垂线性质★｝如图，直线与相交于点，，，则的度数为
A．B．C．D．
｛垂线性质★｝如图，，，表示点到直线距离的是线段 的长度．
｛垂线性质★｝如图所示，已知，若，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ．
（2020•北京）如图，和相交于点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
（2018•贺州）如图，下列各组角中，互为对顶角的是
A．和B．和C．和D．和
（2017•贺州）下列各图中，与互为邻补角的是
A．B．C．D．
（2019•广州）如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是 ．
考点4：平行线的性质及其判定
①三线八角
（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;（3）同旁内角：形如“U”.
②平行线：
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等两直线平行
②内错角相等两直线平行
③同旁内角互补两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．

｛三线八角★｝下面四个图形中，与是同位角的是
A．B．C．D．
｛三线八角★｝如图，下面结论正确的是
A．和是同位角B．和是内错角
C．和是同旁内角D．和是内错角
｛平行线的判定与性质★｝如图，已知，，，则的度数为
A．B．C．D．
｛平行线的判定与性质★｝如图，在下列条件中，能使的是
A． B．C．D．
｛平行线的判定与性质★｝如图，下列条件：①，②，③，④，⑤．其中能判断的是
A．①③④⑤B．②③④C．①④⑤D．①②③
｛平行线的判定与性质★｝在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，与之间的距离为5，与之间的距离为2，则与之间的距离为 ．
下列图形中，与不具有同位角、内错角或同旁内角关系的是
A．B．C．D．
｛平行线的判定与性质★｝如图，下列说法不正确的是
A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角D．与是同旁内角
｛平行线的判定与性质★｝如图，，则的度数是
A．B．C．D．
｛平行线的判定与性质★｝如图，给出下列条件①；②；③且；其中能推出的条件个数是
A．0个B．1个C．2个D．3个
｛平行线的判定与性质★｝如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥，其中能判断直线的有
A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④
｛平行线的判定与性质★｝在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，与之间的距离为8，与之间的距离为3，则与之间的距离为 ．
（2020•河池）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
（2019•邵阳）如图，已知两直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是
A．B．C．D．
（2021•锦州）如图，，，，则的度数是
A．B．C．D．
（2020•武汉）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且．求证：．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．如图，点在直线上，是的角平分线，，则的度数是
A．B．C．D．
2．如图所示，下列结论中正确的是
A．和是同位角B．和是同旁内角
C．和是内错角D．和是对顶角
3．如图，下列能判定的条件有 个
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
A．1B．2C．3D．4
4．如图，直线，如果，，那么的度数是
A．B．C．D．
5．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为
A．B．C．D．
6．如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是
A．B．C．D．
7．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，液面于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为
A．B．C．D．
8．将一副直角三角尺如图放置，已知，，，求的度数，以下是打乱的推理过程：
①，②
③，，④．
推理步骤正确的是
A．①②③④B．①④③②C．③④①②D．③②①④
9．如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是
A．B．C．D．
10．如图，已知直线，则、、之间的关系是
A．B．
C．D．
11．如图，，分别交，于，，，已知，则的度数是
A．B．C．D．
12．如图，，点在直线上，点在直线上，．若，则的度数为
A．B．C．D．
13．如图，直线，相交于点，于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
14．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，，则．以上结论正确的是
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
15．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应．若，则 ．
1．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是
A．B．
C．D．
2．如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①；
②；
③与互为余角；
④与互为补角．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②③B．①②C．③④D．①③④
3．如图，下列说法中，正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则
A．B．C．D．
5．如图所示，六边中，平行且等于，平行且等于，平行且等于，对角线．已知，．则六边形的面积是
A．423B．432C．405D．234
6．如图，已知，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为
A．B．C．D．
7．如图，下列判断正确的是
A．与是同旁内角B．与是同位角
C．与是对顶角D．与是内错角
8．如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于
A．B．C．D．
9．如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则的度数为
A．B．C．D．
10．如图，已知直线，直线分别交直线、于、，平分交于，是射线上一动点（不与、重合）．平分交于点，设，，现有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
11．如图，已知，，，平分，则
A．B．C．D．
12．如图，点，分别在直线，上，点，在两直线之间，线段与相交于点，且有，．三人说法如下：甲：；乙：；丙：，下列判断正确的是
A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲对，丙对D．乙对，丙错
13． 度 分 秒．
14．某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 种不同的票价，应发行 种不同的车票．
15．如图所示的是一个潜望镜模型示意图，，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，．
证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线．
请补全下述证明过程：
，
．
，，
．
， ，
．
．
1．小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知，，
小明说：“如果还知道，则能得到．”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由，可得到．”
小刚说：“一定大于．”
小颖说：“如果连接，则一定平行于．”
他们四人中，有 个人的说法是正确的．
A．1B．2C．3D．4
2．如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
其中正确的共有
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．
（1）若，，线段在线段上移动．
①如图1，当为中点时，求的长；
②点（异于，，点）在线段上，，，求的长；
（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则 或 ．
5．（1）探究：如图1，，点、分别在直线、上，连结、，当点在直线的左侧时，试说明；
（2）变式：如图2，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由；
（3）（问题迁移）如图3，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由；
（4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．
6．如图，在四边形中，，，于，于，能辨认吗？试说明理由．
7．如图（1），由线段、、、组成的图形像英文字母，称为“形”．
（1）如图（1），形中，若，，则 ；
（2）如图（2），连接形中、两点，若，，试探求与的数量关系，并说明理由；
（3）如图（3），在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系．