专题21 尺规作图（精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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学会作一条线段等于已知线段
学会作一个角等于已知角
学会作已知角的角平分线
学会过一点作已知线段的垂线
作已知线段的垂直平分线
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc22852" 第21讲 尺规作图（精讲） PAGEREF _Tc22852 \h 1
\l "_Tc6639" 考点1：作等线段 PAGEREF _Tc6639 \h 3
\l "_Tc25035" 考点2：作等角 PAGEREF _Tc25035 \h 8
\l "_Tc20428" 考点3：作角平分线 PAGEREF _Tc20428 \h 16
\l "_Tc19327" 考点4：过直线外一点作已知直线的垂线 PAGEREF _Tc19327 \h 26
\l "_Tc1007" 考点5：作垂直平分线 PAGEREF _Tc1007 \h 30
\l "_Tc8692" 考点6：综合运用 PAGEREF _Tc8692 \h 36
\l "_Tc21532" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc21532 \h 66
\l "_Tc12908" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc12908 \h 67
考点1：作等线段
作一条线段等于已知线段
已知：线段，作一条线段，？

作法：
①用直尺画射线
②用圆规在射线上截取
∴线段AB即为所求

在给出的图形中，完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）
①作的平分线，交于点；
②延长到，使，连接．
如图，在中，．
（1）用尺规作的平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求的度数．
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，
已知：如图，线段，．
求作：线段，使．
如图，已知线段，射线．按要求完成作图：
（1）用圆规在射线上截取，连接；
（2）以为一边，以为顶点，在射线上方，用三角尺作；延长，交于点；
（3）比较线段与的大小，与的大小，并直接写出结论．
如图，已知直线和直线外三点，，，请按下列要求画图：
（1）画线段；（2）画射线；（3）延长到，使得；
（4）在直线上找一点，使得最小，并说明你的作图依据： 两点之间线段最短 ．
考点2：作等角
作一个角等于已知角
已知：
求作：
作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA与点D，交OB于点E；
②作射线
③以为圆心,OD长为半径画弧,交于点
④以为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与
⑤过作射线,为所求
已知，如图，作的外接圆，在上方作弦使，连接，并求证：．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
已知：线段，，垂足为点．
求作：四边形，使得点，分别在射线，上，且，，．
（2021•福建）如图，已知线段，，垂足为．
（1）求作四边形，使得点，分别在射线，上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设，分别为（1）中四边形的边，的中点，求证：直线，，相交于同一点．
（2020•福建）如图，为线段外一点．
（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，，求证：，，三点在同一条直线上．

（2020•陕西）如图，已知，，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）
（2017•泰州）如图，中，．
（1）用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中的射线交于点，，，求的长．
（2017•青岛）已知：四边形．
求作：点，使，且点到边和的距离相等．
考点3：作角平分线
作已知角的角平分线
作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE。
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线

如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点，，．
用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在，两处参加植树劳动，现要在道路的，交叉区域内设一个茶水供应点，使到两条道路的距离相等，且使，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点的位置，保留画图痕迹，不要证明．
如图，在中，．
（1）作的垂直平分线，交于点，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当，时，求的周长．
如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点，，．
用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
如图，已知．
①请用尺规作图法作出边的垂直平分线，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
②在（1）的条件下，连接，若，，求的周长．
如图，在中，
（1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）是底边的延长线上一点，是的中点，连接，，若，求证：．
如图，已知，用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作的角平分线；
（2）在边上找一点，使得．
如图，在中，点为边上一点，连接，用尺规在边上找一点，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法）
如图，在中，
（1）用直尺和圆规分别作的平分线、线段的中垂线、它们的交点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点；
（2）过点作，，垂足分别为点、．求证：．
（2017•福建）如图，中，，，垂足为．求作的平分线，分别交，于，两点；并证明．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2017•陕西）如图，在钝角中，过钝角顶点作交于点．请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到的距离等于的长．（保留作图痕迹，不写作法）
考点4：过直线外一点作已知直线的垂线
过一点作已知线段的垂线
求作：AB的垂线，使它经过点C
作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。
③作直线CF，CF即为所求的直线

如图，在中，．
（1）尺规作图：在线段上找一点，以为圆心作圆，使经过、两点；
（2）在（1）中所作图中，求证：与的相切．
如图在中，，，请利用尺规作图法作使得与相切于点，同时与相切（保留作图痕迹，不写作法）．
作图与计算：如图正方形．
（1）用带刻度的直尺和圆规，分别作正方形的外接圆和内切圆．
（2）若正方形的边长是，求它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积（答案保留．
考点5：作垂直平分线
作已知线段的垂直平分线
作法：①以A为圆心大于长为半径作弧，以B为圆心大于长为半径作弧,两弧交于C、D两点
②连接CD，即为所求

如图，在四边形中，，请利用尺规作图法在边上求作一点，连接、，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（2021•阿坝州）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的大小为
A．B．C．D．
（2019•无锡）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，．
（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在上作一点，使得直线平分的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求的面积．
（2019•枣庄）如图，是菱形的对角线，，
（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求的度数．
（2018•河池）如图，在中，，
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的垂直平分线，垂足为；
②以为圆心，长为半径作圆，交于异于，连接；
（2）探究与的位置关系，并证明你的结论．
考点6：综合运用
如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为
A．B．C．D．
尺规作图：作角等于已知角．示意图如图所示，则说明的依据是
A．B．C．D．
如图①，已知，用直尺和圆规作的平分线．
如图②，步骤如下：第一步，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
第二步，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
第三步，画射线．射线即为所求．下列说法正确的是
A．B．C．D．
在中，，，，用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使，下列作法正确的是
A．B．C．D．
如图，的面积是，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作于点，连接，则的面积是
A．B．C．D．
（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：及其一边上的两点，．
求作：，使，且点在内部，．
（2021•湖北）已知和都为正三角形，点，，在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图1，当时，作的中线；
（2）如图2，当时，作的中线．
（2021•南京）如图，已知是外一点．用两种不同的方法过点作的一条切线．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
（2021•嘉峪关）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段的垂直平分线，分别交于点，于点，连接，；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点，两点不重合），连接，，．
（2）直接写出引理的结论：线段，的数量关系．
（2021•重庆）如图，在中，．
（1）用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接交于点，猜想按角分类的类型，并证明你的结论．
（2020•昆明）如图，点是的直径延长线上的一点，点是线段的中点．
（1）尺规作图：在直径上方的圆上作一点，使得，连接，（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明是的切线；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
（2020•咸宁）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，在上截取．连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点，使．（标出点的位置，保留作图痕迹，不写作法）
（2020•嘉峪关）如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．
（2019•陕西）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法求作，使与边相切．（保留作图痕迹，不写作法）
（2019•广州）如图，的直径，弦，连接．
（1）尺规作图：作弦，使（点不与重合），连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形的周长．
（2019•江西）在中，，点在以为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦，使；
（2）在图2中以为边作一个的圆周角．
（2019•金昌）已知：在中，．
（1）求作：的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则 ．
（2019•达州）如图，在中，，，．
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作的平分线，交斜边于点；
②过点作的垂线，垂足为点．
（2）在（1）作出的图形中，求的长．
（2019•德州）如图，，点、分别在射线、上，，．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积．
（2018•江西）如图，在四边形中，，，为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出的边上的中线；
（2）在图2中，若，画出的边上的高．
如图，点、、在上，．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．
（1）在图（1）中，作一个度数为的圆周角；
（2）在图（2）中，作一个度数为的圆周角．
（1）如图1，已知，是的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线；
（2）如图2，已知，且，分别平分与，与相交于，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线．
如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点为圆心，为直径，点，，，是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出边上的中线．
（2）在图2中作的角平分线．
（2021•阿坝州）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的大小为
A．B．C．D．
（2021•兴安盟）如图，中，、交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为14，则的长为
A．B．6C．8D．10
（2021•百色）如图，在中，尺规作图的部分作法如下：
（1）分别以弦的端点、为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点；
（2）作直线交于点．
若，，则等于
A．B．C．D．
（2021•鄂尔多斯）已知：的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．
③画射线，交于点，则点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
（2021•黄石）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为
A．3B．C．D．
（2021•贵阳）如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点和．
②作直线．直线就是线段的垂直平分线．
则的长可能是
A．1B．2C．3D．4
（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是
A．B．
C．D．
（2021•杭州）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则
A．B．C．D．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022秋•泰山区期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是
A．B．
C．D．
2．（2022秋•馆陶县期末）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过的边上一点（图①作（图②．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线；
②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点，；
③以点为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点；
④以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．
下列排序正确的是
A．①②③④B．④③①②C．③②④①D．②④③①
3．（2022•鄂州）如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则的度数为
A．B．C．D．
4．（2021•鄂尔多斯）已知：的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．
③画射线，交于点，则点的坐标为
A．，B．，C．，D．，
5．（2022•通辽）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数 ．
6．（2022•贵港）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，已知线段，．求作，使，，．
7．（2022•青岛）已知：，．
求作：点，使点在内部．且，．
8．（2022•陕西）如图，已知，，是的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法）
9．（2022秋•丹东期末）如图，已知平面上四个点，，，，请按要求完成下列问题：
（1）画直线，射线，连接；
（2）在线段上求作点，使得；（保留作图痕迹）
（3）请在直线上确定一点，使点到点与点的距离之和最短，并写出画图的依据．
1．（2022春•滑县期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下．
甲：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形；
乙：分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
对于甲、乙两人的作法，判断正确的是
A．甲、乙均正确B．甲，乙均错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
2．（2022•邯郸三模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在上任取一点，连接并延长交于点；②以点为圆心，为半径作圆弧分别交于，两点；③连接，并延长分别交于点，；④顺次连接，，，，，，得到六边形．连接，，交于点，则下列结论错误的是
A．的内心与外心都是点B．
C．点是线段的三等分点D．
3．（2020秋•五华区期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是
①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④若，则点到的距离是；⑤．
A．2B．3C．4D．5
4．（2021秋•兴隆台区校级期末）如图，点在的边上，用尺规作出了．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是
①以为圆心，长为半径画，交于点．
②作射线，则．
③以为圆心，长为半径画弧，交于点．
④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，．
A．①②③④B．③②④①C．④①③②D．④③①②
5．（2021•阳新县校级模拟）如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点；连接、．则的度数为
A．B．C．D．
6．（2023•小店区校级一模）如图，已知，点为上一点．
（1）画，垂足为；
（2）画的平分线，交于；
（3）过点画，交于点．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
7．（2022秋•灌南县期中）小明同学用圆规和直尺按下面方法作的平分线：
作法：①如图，以为圆心，以任意长为半径画弧与，交于点，；
②再以任意长为半径画弧与，交于点，；
③连接，交于点，连接，则平分．
老帅说：小明同学这种作角平分线的方法是正确的，并且小明已证出，从而得到了，下面请你帮助小明同学完成后面平分的证明．
8．（2022•丰泽区校级模拟）如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
（2）若，试确定的长．
9．（2021秋•霍邱县期末）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处．（注；
（1）如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
（2）如图②，将直角三角板绕点转动，如果在的内部，且，求的度数；
（3）将直角三角板绕点转动，如果在的外部，且，请在备用图中画出三角板的位置，并求出的度数．
10．（2022•治多县模拟）如图，在中，，
（1）按下列要求完成尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点；连接并延长至，使得；连接、（保留作图痕迹，请标明字母）；
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
11．（2021秋•海安市校级月考）作图题，不要求写作法，保留作图痕迹．
（1）如图，铁路和公路都经过地，曲线是一条河流，现欲在河上建一个货运码头，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头的位置．
（2）已知如图线段、线段，求作等腰三角形，使底边，底边上的高等于．
1．（2021秋•船山区校级期末）如图，求作一点，使，并且点到两边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
2．（2015•江阴市校级一模）提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．
尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图中画了一条直线分别交、于点、．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中，，，，，．请你找出梯形的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．